ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет»
Кафедра высшей математики
и физико-математического моделирования
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы
по изучению раздела «Производная»
курса «Математический анализ»
для студентов направления подготовки
бакалавров 080100 «Экономика»
очной формы обучения
Воронеж 2014
Составители: канд. физ.-мат. наук Е.Г. Глушко,
канд. физ.-мат. наук Е.И. Максимова
УДК 517.9
Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению раздела «Производная» курса «Математический анализ» для студентов направления подготовки бакалавров 080100 «Экономика» очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Е.Г. Глушко, Е.И. Максимова. Воронеж, 2014. 41 с.
В методических указаниях содержатся основные теоретические положения по дифференциальному исчислению функции одной переменной, изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров и задач, приводятся задачи и упражнения для самостоятельной работы.
Методические указания предназначены для организации самостоятельного изучения студентами первого курса раздела «Производная» по курсу математического анализа.
Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе MS Word 2007 и содержатся в файле «DERIV1. doc».
Ил. 1. Библиогр.: 6 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Н.А. Борщ
Ответственный за выпуск зав. кафедрой
д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный
технический университет», 2014
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Производная. Правила дифференцирования
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Придадим значению переменной x в точке x0 приращение x, при этом f(x) получит приращение f = f(x0 + x) – f(x0).
Определение. Если существует конечный предел
,
то
он называется производной функции f(x)
в точке x0
и обозначается
.
Общеприняты
и другие обозначения производной функции
y
= f(x):
,
;
если же y
зависит от значения переменной t
(времени), то часто вместо
пишут
.
Если вышеуказанный предел существует
в каждой точке интервала (a,
b),
то
становится функцией, определённой на
(a,
b).
Пример 1. Используя определение производной, найти производную функции y = sin (2x + 1).
Решение. Придадим значению переменной x приращение
x , тогда функция y получит приращение
y = f(x + x) – f(x) = sin (2(x + x) + 1) – sin (2 x + 1)) =
= 2 sin x cos(2x + x + 1).
Отсюда находим
Таким
образом,
.
Процесс нахождения производной часто называют дифференцированием.
2. Таблица производных
(Здесь и ниже C – постоянная величина.)
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
3. Правила дифференцирования
Если
функции f(x)
и g(x)
имеют производные
и
,
то функции
,
,
,
также имеют производные (последняя –
при условии
),
и при этом
1.
;
2.
;
3.
;
4.
.
Теорема
1
(о
производной сложной функции).
Пусть функции
,
определённая в окрестности точки x0
, и z
= g
(y),
определённая в окрестности точки y0
= f
(x0)
, обладают тем свойством, что существуют
производные
и
.
Тогда функция u
(x)
= g
(f
(x))
имеет производную в точке x0
и при этом
.
Пример 2. Найти производные функций:
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
Решение. а), б) Применяя правила дифференцирования, находим
=
;
в), г) Применяя теорему о дифференцировании сложной функции, находим
=
;
Пример
3.
Показать,
что функция
удовлетворяет уравнению
.
Решение. Найдём производную функции
.
Подставив это выражение в уравнение, получим
,
или
.Это
и доказывает, что наша функция удовлетворяет
уравнению.
Для
дифференцирования степенно-показательной
(вида
)
и некоторых других функций удобно
пользоваться так называемым логарифмическим
дифференцированием.
Пример 4. Найти производные функций:
а)
; б)
.
Решение.
а)
Предварительно прологарифмируем обе
части равенства
,
имеем
.
Продифференцируем обе части последнего
равенства, считая ln
y
сложной функцией от x
:
;
отсюда
находим
.
Подставив
,
наконец получим
.
б) Действуя так же, находим:
;
4. Производные высших порядков
Производную
от производной
называют второй производной от функции
f(x)
и обозначают
.
Производную от
называют третьей производной функции
f(x)
и обозначают
.
Таким образом,
,
,
... ,
,
. . .
Общепринятыми
являются и другие обозначения производной
n-го
порядка функции y
= f(x):
или
.
Если функция f(x)
зависит от переменного t
(времени), то вторую и третью производные
иногда обозначают
.
Пример
5. Найти
,
если y
= ln(sinx)
.
Решение.
;
.