5.2. Двухфакторный анализ технологического процесса

Если на признак качества деталей при механической обработке оказывают влияние два и более факторов, то нецелесообразно изучать поочередно воздействие каждого фактора на результат. Такой способ не дает достаточной информации о возможных воздействиях между исследуемыми факторами.

Дисперсионный анализ позволяет получить достоверные результаты в том случае, когда в эксперименте одновременно участвуют два и более факторов. Рассмотрим воздействие на признак качества двух факторов А и В. Фактор А принимает р различных уровней. Разные уровни фактора А, как и ранее, обозначим буквой i. Значения i изменяются от 1 до р.

Фактор В принимает q различных уровней. Разные уровни фактора В обозначим буквой k. Значения k изменяются от 1 до q. На каждом уровне фактора А и на каждом уровне фактора В сделано п наблюдений, что в общем составляет N = npq наблюдений. Отдельные результаты наблюдений на i-м уровне фактора А и k- м уровне фактора В обозначим буквой j. Значения j изменяются от 1 до n.

Распределение значений признака качества по уровням двух факторов дано в табл. 72.

Для данного уровня фактора А и данного уровня фактора В отклонение значения признака качества x_ikj от общего среднего арифметического значения X связано с действием на данный признак факторов А и В. Поэтому

x_ikj -X = A_i + B_k + A_iB_k + ε_ikl (226)

где X — общее среднее арифметическое значение N = npq наблюдений; А_i — эффект, обусловленный i-м уровнем фактора А; B_k—эффект, обусловленный k-м уровнем фактора В; A_iB_k — эффект, обусловленный взаимодействием факторов A и B; ε_ikl — остаточная часть отклонений внутри отдельной ячейки, соответствующей i-му уровню фактора A и k-му уровню фактора В.

Член ε_ikj в уравнении (226) учитывает все неконтролируемые факторы, оказывающие случайное воздействие на признак качества.

Рассматривая табл. 72, можно выделить, пять типов рассеяния:

1. Рассеяние всех значений признака качества вокруг общего среднего арифметического значения X. Это рассеяние характеризуется дисперсией

(227)

где значок ikj около знака суммы обозначает, что суммирование производится по всем значениям признака качества и по всем уровням фактора А и фактора В, a (pqn—1) — число степеней свободы для общей дисперсии.

2. Рассеяние по фактору А. Это рассеяние характеризуется дисперсией

(228)

где (р—1) — число степеней свободы для дисперсии S²_Ai.

3. Рассеяние по фактору В. Это рассеяние характеризуется дисперсией

(229)

где (q—1) — число степеней свободы для дисперсии S²_bk

4. Рассеяние, связанное с взаимодействием факторов А и В. Это рассеяние характеризуется дисперсией, где (p—1) (q—1) — число степеней свободы дисперсии S²_AiBk

5. Рассеяние случайных отклонений (внутри всех ячеек). Это рассеяние характеризуется дисперсией, где pq (n—1) — число степеней свободы дисперсии S²_εikj.

Схема двухфакторного анализа приведена в табл. 73.

Существование эффекта влияния факторов А и В и их взаимодействия на признак качества определяют с помощью критериев F₁, F₂, F₃.

Таблица 72

Распределение значений признака качества по уровням двух факторов

Уровни фактора В

Сумма по уровням фактора A TI ,

Средние по уро вням фактора А Xi

1

2

k

Q

Уровни фактор A

Значения xiln

Показатели

Значения xi2n

Показатели

…

Значения xikn

Показатели

…

Значения xiqn

Показатели

х111 x112 ... х11n

T11 X11

х121 x122 ... х12n

T12 X12

х1k1 x1k2 ... х1kn

T1k X1k

х1q1 x1q2 ... х1qn

T1q X1q

1

T1

X1

2

x211 х212 ... x21n

T21 X21

x221 х222 ... x22n

T22 X22

x2k1 х2k2 ... x2kn

T2k X2k

x2q1 х2q2 ... x2qn

T2q X2q

T2

X2

…

xi11 xi12 … xi1n

Ti1 Xi1

xi21 xi22 … xi2n

Ti2 Xi2

xik1 xik2 … xikn

Tik Xik

xiq1 xiq2 … xiqn

Tiq Xiq

i

Ti

Xi

…

xp11 xp12 … Xp1n

Tp1 Xp1

xi21 xi22 … xi2n

Tp2 Xp2

xik1 xik2 … xikn

Tpk Xpk

xiq1 xiq2 … xiqn

Tpq Xpq

Р

Tp

Xp

-

T1

-

Т2

-

Tk

-

Tq

T

-

Ч

-

X1

-

X2

-

Xk

-

Xq

-

X

Таблица 73

Схема двухфакторного дисперсионного анализа

Источник изменчивости	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия
Влияние фактора А		p-1
Влияние фактора В		q-l
Взаимодействие АхВ		(P-1)*(q-l)
Различие внутри ячеек		pq(n— l)
Общее (сумма)		pqn — l	—

1. Оценку влияния фактора А на признак качества определяют по формуле

(232)

По табл. 53 в зависимости от числа степеней свободы (р—1) и [pq (n—1)] находят значение F_t. Если F₁ > F_T, то фактор А оказывает существенное влияние. Если F₂ < F_T , то фактор А не оказывает влияния.

2. Оценку влияния фактора В находят с помощью критерия

(233)

По табл. 53 в зависимости от числа степеней свободы (q—1) и [pq (n—1)] находят значение F_T. Если F₂ ≥ F_t, то фактор В оказывает существенное влияние. Если F₂ < F_t, то фактор В не оказывает влияния.

3. Оценку влияния взаимодействия фактора А и фактора В определяют по формуле

(234)

По табл. 53 в зависимости от числа степеней свободы [(р—1) (q—1)] и [pq (n—1)] находят значение F_T.

Если F₃ ≥ F_T, то эффект взаимодействия можно считать доказанным. Если F₃ < F_t, то эффект взаимодействия отсутствует.

В случае подтверждения влияния фактора А или фактора В анализ опытных данных, представленных в таблице типа табл. 73, поможет технологу выбрать такие уровни исследуемых факторов, которым соответствует наилучшее качество выпускаемой продукции.

Таблица 74

Опытные и расчетные данные

Операторы		Прибор
		1						2
		xiki	x2ikj		Показатель				xiki		x2ikj
1		41	1681		T11= 197 Х11 = 39.4				43		1849
		51 35 28 42	2601 1225 784 1764						56		3136
									30		900
									39		1521
									41		1681
2		42	1764		T21= 218 Х21 = 43.6				30 47 46		900
44 41 40 51	1936 1681 1600 2601								2209
									2116
						40	1600
						51	2601
Tk					Т.1 = 484
Xk					Х.1 = 48,4

Для получения достоверных результатов при использовании критерия F необходимо, чтобы в каждой ячейке, соответствующей различным уровням факторов A и В, было не менее двух наблюдений (n > 2).

Пример. В табл. 74 приводятся результаты пятикратного (n = 5) измерениям коробления поршневого кольца двумя операторами (р = 2) на трех приборах (q = 3) различной конструкции. Определить влияние прибора и оператора на погрешность показаний.

1. Рассеяние по фактору А (оператор) характеризуется дисперсией

где сумма квадратов

число степеней свободы (р — 1) = (2 — 1) = 1.

2. Рассеяние по фактору В (прибор) характеризуется дисперсией

где сумма квадратов

число степеней свободы (q — 1) = (3 — 1) = 2.

3. Рассеяние, связанное с взаимодействием факторов А и В, характеризуется дисперсией

где сумма квадратов

число степеней свободы (p — 1) (q — 1) = (2 —1) (3 — 1) — 2.

4. Различие внутри ячеек определяется дисперсией

где сумма квадратов

число степеней свободы pq (n — 1) = 2 * 3 (5 — 1) = 24.

Результаты вычислений сводят в таблицу типа табл. 73.

Так как FT > 1, то F1 < FT. Это указывает на отсутствие влияния операторов на погрешности измерения. Следовательно, можно считать, что операторы данную работу выполняют одинаково.

Оценку влияния фактора В (прибор) определяют с помощью критерия

По табл. 53 в зависимости от числа степеней свободы 2 и 24 находят значение F_T = 3,4. Так как F₂ < F_T, то конструкция прибора также не оказывает влияния на погрешность измерения. Сточки зрения результатов измерения приборы равноценны.

Оценку взаимодействия факторов А и В вычисляют с помощью критерия

Так как F₃ < F_T то взаимодействие факторов A и В не оказывает влияния на погрешность измерения.

Таким образом, влияние операторов и конструкции прибора на погрешность измерения оказалось несущественным. В связи с этим, в качестве оценки дисперсии результатов измерения следует взять по формуле (227) общую дисперсию

и, соответственно, среднее квадратическое отклонение

Среднее арифметическое значение результатов измерения составляет X = 44,1 мкм.

Увеличение числа одновременно действующих факторов до трех и больше (многофакторный анализ) вызывает лишь увеличение вычислительных работ, но методика анализа остается прежней.

Следует обратить внимание на тот факт, что применение дисперсионного анализа вызывает определенные изменения в построении плана исследования. В связи с этим при составлении плана анализа технологического процесса следует также разработать план статистической обработки опытных данных. в этом случае выбор основных факторов и их уровней, разработка таблиц дисперсионного анализа позволят наметить кратчайшие пути для получения необходимых данных по составленной схеме исследования. Этим и определяется большое значение дисперсионного анализа в новой, быстроразвивающейся отрасли статистического анализа — планирование экспериментов.

Заключение

Изложенные принципы анализа и оценки условий выполнения технологических операций при обработке материалов резанием могут быть распространены и на другие методы обработки материалов.

Для всех методов обработки резанием и аналогичных случаев характерно наличие цикла в изменении вероятностных состояний технологической системы. Поэтому её функционирование может быть качественно и количественно оценено критериями из числа тех, которые приведены в настоящей книге и, в конечном счете экономическими показателями, учитывающими значения этих критериев. При этом используются общие аналитические зависимости или ряд соответствующих графиков, разработанных для облегчения практических расчетов.

Последовательность изложения учебного материала от объекта исследования к общим законам анализа точности обработки должно способствовать глубокому усвоению студентами дисциплины «Резание материалов». Применение рассматриваемых алгоритмов к конкретным объектам обработки позволяет на конкретных примерах изучить основные существующие закономерности анализа и прогнозирования точности обработки.

Данная работа существенно восполнит имеющийся пробел в учебной литературе по резанию материалов. Она важна студентам специальности «Металлообрабатывающие станки и комплексы» при изучении лекционного материала, аспирантам, преподавателям, и инженерно-техническим работникам, занятым проектированием процессов обработки материалов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Адлер Ю. П. Введение в планирование эксперимента. М.: «Металлургия», 1979, 160 с.

2. Бородачев И. А. Основные вопросы теории точности производства. М,—Л.: изд. АН СССР, 1950, 415 с.

3. Браунли К. А. Статистические исследования в производстве. М.: Изд-во иностр. лит. 1969, 227 с.

4. Вентцель Е. С. Теория вероятности. М.: «Наука», 1964, 576 с.

5. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: «Наука», 1979, 400 с.

6. Гостев В. И. Статистический контроль качества продукции. М.: «Машиностроение», 1985, 204 с.

7. Журцев В. Г., Кубарев А. И., Усан М. В. Статистические методы контроля качества на часовом производстве. М.: Изд-во стандартов, 1972, 220 с.

8. Крамер Г. Математические методы статистики. Перевод с англ. Под ред. академика А. Н. Колмогорова. М.: Изд-во иностр. лит. 1978. 631 с.

9. Коуден Д. Статистические методы контроля качества. Перевод с англ. Под ред. Б. Р. Левина. М.: Физматгиз, 1971, 623 с.

10. Кутай А. К. Унификация показателя качества процессов изготовления.— «Стандартизация», № 6, 1964.

11. Кутай А. К., Кордонекий X. Б. Анализ точности и контроль качества в машиностроении. М.—Л.: Машгиз, 1967, 363 с.

12. Лукомский Я. И. Теория корреляции и ее применение к анализу производства. М.: Госстатиздат, 1958, 388

13. Маталин А. А. Точность механической обработки и проектирование технологических процессов. Л.: «Машиностроение». 1970, 320 с.

14. Митропольский А. К. Техника статистических вычислений. М.: «Наука», 1971, 576 с.

15. Налимов В. В., Чернова Н, А. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: «Наука», 1965, 340 с.

16. Солонин И. С. Математическая статистика в технологии машиностроения. М.: «Машиностроение», 1972, 215 с.

17. Шакалис В. В. Моделирование технологических процессов. М.: «Машиностроение», 1973, 136 с.

18. Шор Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежности. М.: «Советское радио», 1962, 552 с.

19. Шторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества. М.: «Мир», 1970, 368 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ:

Стр

Введение Статический анализ технологических процессов Определение объема выборки Оценка грубых погрешностей эксперимента Представление опытных данных Определение статических характеристик Законы распределения случайных величин Оценка соответствия эмпирического распределения теоретическому Анализ точности технологического процесса Надежность технологических процессов Оценка устойчивости и стабильности технологического процесса Оценка качества функционирования технологического процесса и эффективности технологических мероприятий Настройка станков и расчет настроечных параметров Корреляционный анализ технологических процессов Определение степени взаимосвязи между параметрами и показателями технологического процесса Ранговая корреляция Регрессионный анализ технологических процессов Математическое описание технологических процессов Анализ технологических цепей Дисперсионный анализ технологических процессов Однофакторный дисперсионный анализ технологического процесса Двухфакторный анализ технологического процесса Заключение Литература

3 4 6 16 19 24 41 84 92 102 102 116 129 136 137 156 163 163 177 190 191 197 206 207

211