6.2. Определение сил давления покоящейся среды на плоские и криволинейные стенки

В общем случае на поверхность s, погруженную в жидкость, будет действовать совокупность сил гидростатического давления, которая в соответствии с законами статики твердого тела может быть приведена к одной силе, равной главному вектору сил давления

,

и к одной паре с моментом, равным

.

Найдем величину главного вектора, приложенного к некоторой криволинейной поверхности (рис. 6.3), погруженной в жидкость.

Рис. 6.3. Схема сил, воздействующих

на криволинейную поверхность

Вначале рассмотрим элементарную силу , действующую на площадку ds. Очевидно, сила будет направлена по нормали к площадке ds и равна

.

Проекции этой силы на оси х, у и z (рис. 6.3) представляют собой горизонтальные и вертикальную составляющие, величины которых соответственно равны

;

;

.

так как проекциями орта нормали на оси координат являются косинусы углов между нормалью и соответствующей осью координат.

Из рис. 6.3 видно, что

; (6.8)

Тогда составляющие силы давления, действующей на площадку ds, можно представить в виде

;

;

.

Если воспользоваться формулой (6.7) и пренебречь атмосферным давлением, то последние зависимости примут вид

;

;

.

Напомним, что индекс у буквы s означает проекцию площадки ds на плоскость, перпендикулярную соответствующей оси.

Компоненты сил давления на всю рассматриваемую криволинейную поверхность, погруженную в жидкость, будут равны

(6.9)

где U - объем жидкости, заключенный между рассматриваемой криволинейной поверхностью и поверхностью жидкости.

На рис. 6.3 этот объем ограничен поверхностью AA'BB'CC'. Таким образом, вертикальная составляющая суммарного давления жидкости на криволинейную стенку равняется весу жидкости в объеме цилиндрической поверхности с вертикальными образующими, ограниченной снизу криволинейной стенкой и сверху поверхностью жидкости.

Горизонтальные составляющие суммарной силы давления на криволинейную стенку, как видно из формул, тоже определяются через веса некоторых объемов.

Главный вектор сил давления на стенку по величине равен

.

Точка приложения главного вектора, называемая центром давления, определяется для криволинейной стенки довольно сложно.

Найдем главный вектор и центр давления для плоской стенки s, расположенной под некоторым углом к горизонту (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Главный вектор и центр давления

для плоской стенки

Для этого проведем плоскость Q, включающую стенку s, до ее пересечения с поверхностью жидкости и расположим две системы координат, имеющих общее начало в точке О, так, чтобы плоскость хОу одной системы лежала на поверхности жидкости, а плоскость системы x'Oy' совпадала с плоскостью Q. Если оси у и у' совместим с прямой, образованной от пересечения плоскости Q с поверхностью жидкости, то угол между осями х и x' будет равен углу наклона плоскости стенки. Ось z' будет нормалью к Q и s. Тогда в соответствии с выражениями (6.8) получим

;

;

.

Откуда величина главного вектора будет равна

.

Последний интеграл равен площади стенки s, умноженной на координату центра инерции или центра тяжести этой площадки. Следовательно, окончательно получим

. (6.10)

Так как , то .

Это означает, что сила давления жидкости на плоскую стенку определяется весом цилиндрического столба этой жидкости с площадью основания, равной площади стенки, и высотой от поверхности до центра тяжести стенки. Если воспользоваться последней формулой, то следует, что главный вектор сил давления на плоскую стенку по величине равен произведению гидростатического давления в центре тяжести стенки на ее площадь.

Точка приложения главного вектора, называемая центром давления, в общем случае не совпадающая с центром тяжести, может быть определена на основании законов статики твердого тела. Известно, что момент главного вектора системы сил равен сумме моментов составляющих сил, т.е. если обозначим координаты центра давления и , то уравнения моментов относительно осей координат будут

;

;

.

Из системы этих трех уравнений можно найти три неизвестные величины: и .

Нетрудно показать, что центр давления расположен ниже центра тяжести. Если в последнем соотношении заменим р по формуле (6.10) и разделим обе части на , то получим

.

Как известно, интеграл, стоящий в правой части, называется моментом инерции площади относительно оси Оу. Если представить соответствующий момент инерции относительно параллельной этой оси прямой, проходящей через центр тяжести, в виде и вспомнить, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, меньше момента инерции относительно любой другой параллельной оси, то можно написать неравенство

.

Сократив обе части неравенства на , окончательно получим .