8.2. Аналитическое решение задачи с использованием метода перехода от граничных условий третьего рода к граничным условиям первого рода со стороны огневого воздействия

Такой подход к решению задачи прогрева ограждающих конструкций предложил А.И.Яковлев [47], применительно к температурному режиму стандартного пожара. С этой целью со стороны огневого воздействия на поверхности конструкции граничные условия третьего рода заменяются граничными условиями первого рода, для чего к фактической толщине конструкции добавляется фиктивный слой. Температура поверхности фиктивного слоя со стороны огневого воздействия принимается постоянной, равной 1250 ⁰С. При этом, толщина фиктивного слоя принимается равной , где k – коэффициент, зависящий от плотности материала, где k – коэффициент, зависящий от плотности материала (табл. П. 3.1); а – коэффициент температуропроводности материала стенки.

Схема перехода к краевой задачи первого рода представлена на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Схема нагрева ограждающей конструкции (слева)

и расчетная схема (справа)

В этом случае математическая задача сводится к решению системы уравнений

(8.2)

где t_const = 1250 ⁰С;

На не обогреваемой поверхности коэффициент теплоотдачи принимается усредненным в исследуемом температурном интервале по формуле

, (8.3)

где ε – степень черноты не обогреваемой поверхности (табл. П. 4.2) [21,37].

Решение системы уравнений (8.2) получено в виде следующей формулы:

, (8.4)

где x – расстояние от не обогреваемой поверхности до расчетной точки, м; – средний коэффициент теплопроводности пластины при t=250 ⁰C, Вт/м ^{. 0}С;

, (8.5)

где Bi – критерий Био; – толщина пластины, м; а – приведенный коэффициент температуропроводности; – корни характеристического уравнения и соответствующие им тепловые амплитуды, определяемые критерием Bi; F₀ – число Фурье (безразмерное время), определяется по формуле

. (8.6)

Ввиду того, что члены ряда уравнения (8.4) быстро сходятся, то для практических расчетов достаточно использовать только первый член ряда, поэтому формулу (8.4) можно записать в виде

. (8.7)

Температура не обогреваемой поверхности определяется из уравнения (8.7) при х=0, тогда вместо (8.7) получим

. (8.8)

Решая это уравнение относительно F₀, а затем и в [92] была получена формула для определения времени прогрева ограждающих конструкций при стандартном пожаре по признаку прогрева не обогреваемой поверхности до расчетной предельной (нормативной) температуры t_н.пр., то есть до наступления предела огнестойкости конструкции по признаку I:

. (8.9)

Для упрощения практического применения представим формулу (8.9) в виде

, (8.10)

где I – предел огнестойкости ограждающих конструкций по признаку нагрева не обогреваемой поверхности до нормативной температуры.

Анализ этого уравнения показывает, что предел огнестойкости ограждающих конструкций зависит от параметра ( ), который по сути представляет собой толщину модифицированной стенки, а также условий теплообмена на не обогреваемой поверхности, так как значения и А₁ являются функциями критерия Вi и определяются по формулам

, (8.11)

. (8.12)

Из уравнения (8.10) также следует, что сомножитель, стоящий во вторых квадратных скобках, является аргументом искомой функции I, а сомножитель, стоящий в первых квадратных скобках, является обобщенным параметром. На основании этого анализа уравнение (8.10) табулировано и представлено в виде номограммы на рис. 8.2.

Полученная номограмма позволяет наглядно проанализировать влияние различных параметров на предел огнестойкости ограждающих конструкций. Из номограммы видно, что основное влияние на время прогрева не обогреваемой поверхности ограждающих конструкций до нормативной температуры оказывают толщина конструкции ( ) и его теплофизические характеристики (а), что отражено в обобщенном параметре . Чем больше его значение, тем выше будет предел огнестойкости ограждающей конструкции. По существу этот параметр включает в себя два аргумента – это толщина конструкции и значение коэффициента температуропроводности а, который характеризует скорость изменения температуры материала стенки. Эмпирический коэффициент k зависит от плотности материала стенки (табл. П. 3.1), которая также входит в коэффициент температуропроводности а. Таким образом, увеличение толщины стенки повышает предел огнестойкости, а увеличение коэффициента температуропроводности приводит к уменьшению предела огнестойкости стенки.

Следует подчеркнуть, что полученное А.И.Яковлевым расчетное уравнение (8.9) и разработанная на его основе расчетная методика являются единственным примером аналитического решения поставленной задачи. Как показано в [47], практическое применение этой методики не представляет никаких сложностей, а получаемые при этом результаты расчета, соответствуют результатам стандартных испытаний. Однако, для практических целей по определению предела огнестойкости ограждающих конструкций, по признаку прогрева не обогреваемой поверхности, в последнее время, в нормативных документах [14,32 ] применяются графики для определения предела огнестойкости ограждающих, выполненные из различных материалов и различной толщины, конструкций, полученные численным методом.

Однако, следует отметить, что современные методы математического анализа, и средства вычислительной техники позволяют значительно упростить применение полученного уравнения в расчетной практике, и более того, получить новые результаты, которые могут представить интерес как с методической, так и с практической точек зрения.