1.2. Силы инерции и их моменты
М
Рис. 1.1.
Пусть с звеном,
совершающим сложное пространственное
движение, связана центральная система
координат
,
а система координат
является
инерциальной системой отсчета (рис.5.1).
Частицу звена с объемом dV и массой
dm =
dV (
-
плотность материала звена в точке А)
можно считать материальной точкой.
Ускорение точки А
'=
+
+
=
,
поскольку
относительного движения у точки А
нет. Если
-
ускорение полюса, то
'=
=
+
+
(
),
где и - абсолютные угловые ускорение и скорость звена.
Согласно принципу Даламбера материальная точка А будет находиться в равновесии, если к действующим на нее внешним силам добавить силу инерции
=
-
dm
'
.
Действующая на все звено суммарная сила инерции
=
=
-
'dV
называется главным вектором сил инерции звена.
По определению
=-
[
+
+(
(
))]dV.
Поскольку для всех точек звена векторы , и одинаковы,
=
-
dV-
dV-
(
dV)=-
m
–
-
-
(
).
Если полюс совпадает с центром масс S, то =0 и
= - m , (2.1)
то есть главный вектор сил инерции, действующих на звено, равен произведению массы m звена на ускорение центра масс звена, направлен противоположно этому ускорению и приложен в центре масс звена.
Для звена с номером i
=
-mi
,
где - ускорение центра масс звена i.
Согласно (4.5.9) [7],
=
+
+
.
Пусть
=
- mi
,
=
- mi
.
Тогда
=
+
-
mi
. (2.2)
В некоторой системе координат Zi , связанной с звеном i, (2) принимает вид
=
-mi
, (2.3)
где
={
},
={
}
(k = 1,2,3) – матрицы-столбцы, определенные
проекциями векторов
и
на оси системы координат Zi,
связанной с звеном
.
В той же системе координат Zi (2) приобретает вид
=
+
-mi
, (2.4)
где
,
,
- трехмерные матрицы, определенные в
системе координат Zi.
В неподвижной
системе отсчета
=
+
-mi
, (2.5)
где
,
,
- трехмерные матрицы, определенные в
системе
.
Элементарная сила
инерции
создает относительно точки S элементарный
момент
=
=
-(
')dV.
Главный вектор – момент сил инерции относительно центра масс звена S определяется выражением
=
=
-
{
[
+
+
(
)]}dV=
= dV- [ + ( )]dV.
Поскольку начало
отсчета системы координат
находится в центре масс звена,
dV=
=0
и
=
-
[(
)+
(
)]dV, (2.6)
Векторы
,
и
удобно определять в связанной с звеном
системе
матрицами
={
},
={
},
={
}
(k=1,2,3)
Согласно Приложению [7], векторному выражению (6) соответствует выражение
=(
D(
)D(
)dV)
+D(
)(
D(
)D(
)dV)
.
Поскольку
=-
D(
)D(
)dV-
матрица инерционных характеристик
звена в системе координат
,
=
-
-D(
)
. (2.7)
В главной, связанной со звеном, системе Z
=
-J
-D(
)J
(2.8)
или
М1=
-J11
+(J22–J33)
2
3,
М2=
-J22
+(J33–J11)
3
1, (2.9)
М3=
-J33
+(J11–J22)
1
2.
Проекции вектора
на оси неподвижной системы
определяется матрицей
=
,
где
-
матрица преобразования Z
.
С учетом (8)
=
=
-
(J
+D(
)J
).
По определению
=
.
Если
={
}
(k= 1,2,3) – j -тый столбец матрицы
,
то
=
=
+
+
,
и
=
.
Тогда
=
-
(J
+D(
)J
).
Матрица
Т=
J
имеет элементы
tjk=J
k
. (2.10)
Пусть
={
k}
(k=1,2,3) и
=
-
D(
)J
. (2.11)
Тогда
=
(2.12)
и
=
-
Т
+
. (2.13)
Для звена i выражения (6), (8) и (10) принимают вид:
=
[(
)+
(
)]dV, (2.14)
=
- Ji
-(
)Ji
, (2.15)
=
- Ti
, (2.16)
где
Ti=
Ji
,
=
-
D(
)Ji
,
- матрица
преобразования Zi
.
В силу (4.5.8) [7],
=
+
+
,
и (14) принимает вид:
=
-
{
[(
+
+
)
]}dV-
- [ ( )]dV.
В этом выражении все векторы, за исключением не зависят от координат точки звена и могут при интегрировании считаться постоянными. Для вычислений более удобно матричное представление.
В силу (4.5.8) [7],
=
+
+
.
Пусть
=
-Ti
,
=
-Ti
+
.
Тогда
=
+
-Ti
. (2.17)
В проекциях на оси системы координат звена i получаем
(2.18)
При получении
выражений (4) и (18) предполагалось, что
начало отсчета системы Z (или
)
находится в центре масс звена S.
Однако выбор начала отсчета системы Z
не влияет на физические процессы (принцип
инвариантности физических законов).
Поэтому полученный результат будет
верен и при любом другом выборе начала
отсчета связанной с звеном системы
координат Z.
Таким образом, силы инерции, действующие на звено, приводятся к главному вектору сил инерции и главному моменту сил инерции , определенному относительно центра масс звена.