3. Описание динамики мм на основе уравнений Лагранжа II рода

Уравнения Лагранжа II рода часто используются для получения уравнений динамики систем с несколькими степенями подвижности, к которым можно отнести и манипуляционные механизмы.

Пусть m - число подвижных звеньев механизма, без учета базового звена, а n=m+1 общее число подвижных звеньев

= { } (i=0,1,2, …, m) –

блочная матрица размерности n;

= { , , , , , }^T –

матрица - столбец квазискоростей звена i; , (k=1,2,3) – компоненты векторов угловой скорости звена i и линейной скорости центра масс звена i, определенные в главной центральной системе звена Z_i . Тогда кинетическая энергия звена i примет вид

E_i =0,5( J_i +m_i ),

где = { } (k=1,2,3); ={ }₃;

J_i = -

тензор инерции звена i, определенный в системе Z_i; m_i – масса звена i.

Вводя диагональную матрицу инерционных характеристик звена порядка 6 6 в главной системе координат звена Z_i

= diag{ , , , m_i , m_i , m_i},

можно записать кинетическую энергию звена i в виде

E_i =0,5 ,

а кинетическую энергию всего механизма – в виде

E =0,5 =0,5 Ф ,

где

Ф = diag { , , , …, } –

блочная диагональная матрица инерционных характеристик механизма порядка 6n 6n.

Пусть обобщенные координаты механизма в каждой кинематической паре являются угловыми или линейными перемещениями и образуют вектор обобщенных перемещений

={q_{0 ,} q₁ , q₂ , …q_r}^T,

где р=r+1 – число приводов механизма, совпадающее с его числом степеней подвижности. Связь матрицы с матрицей можно записать в виде

= С , (5.1)

где С – матрица порядка 6n р.

Соотношения (1) связывают обобщенные скорости и квазискорости звеньев манипулятора и называются системой уравнений связей манипуляционного механизма.

С учетом системы уравнений связей (1), кинетическая энергия ММ преобразуется к виду

E=0,5 Ф =0,5(С )^ТФ(С )=0,5 С^ТФС =0,5 А ,

где А =С^ТФС – матрица порядка р р, зависящая непосредственно от времени и матрицы обобщенных координат манипулятора , также зависящих от времени.

Система дифференциальных уравнений динамики относительно обобщенных координат q_l (l=0,1,2,…,p) в форме уравнений Лагранжа II рода имеет вид

=Q_l (l= 0,1,2,…,p), (5.2)

где Q_l – обобщенная сила (сила или момент), совершающая работу на обобщенном перемещении q_l.

Подстановка в (2) выражения для Е дает

А + ( Ds ) = ,

где - р -мерная матрица, компонент которой с номером s равен единице, прочие компоненты равны нулю; Ds – матрица порядка р р, элементами которой являются символы Кристофеля первого рода

=[j, l, s]= , (j=0,1,2,…r).

Для построения матрицы С матрицу удобно представить в блочной форме в виде

= { , }^T ,

где ={ }^Т₃ , ={ }₃.

Для этих же целей матрицу С также удобно представить в блочной форме

С = { U₀ , L₀ , U₁ , L₁ , L₂ , …, U_m , L_m}^T ,

U_i , L_i , - матрицы порядка 3 р , такие, что =U_i , =L_i .

Структура матриц U_i и L_i определяется рекуррентными соотношениями для матриц угловых и линейных скоростей звеньев ММ.

Для вращательной i-1, i кинематической пары, согласно соотношениям (2.6.4 - 2.6.5) [7],

=K_i + ,

=K_i ( + ) - ,

где K_i матрица перехода Z_i-1Z_i.

Тогда

U_i = K_iU_(i-1) + M_i ,

L_i =K_i( + U_(i-1) )- U_i ,

где M_i – матрица порядка 3 р, у которой = (k=1,2,3), а все прочие элементы – нулевые. Отсюда следует

U_i =K_i U_i-1+ M_i , (5.3)

L_i = K_i [ + U_(i-1)]- U_i .

Если , - матрицы, характеризующие кинематику базового звена, то для звена 1

=К₁ + =К₁( + )- .

Матрицы , не зависят от компонентов матрицы с номерами, превышающими 0 и поэтому матрицы U_o и L_o строятся формально. Можно положить, например, что элементами этих матриц являются безразмерные величины

= / (k=1,2,3),

если базовое звено движется вращаясь и

= / ,

если базовое звено движется поступательно.

Здесь q – номер какого либо из компонентов , отличного от нуля.

Тогда

=U₀ , =L₀

и формулы (5.3) становятся применимыми для всех i от 0 до m.

Если кинематическая пара, соединяющая первое и базовое звенья ММ, поступательная, то согласно соотношениям (2.6.1 – 2.6.2) [7],

=K_i , и = K_i ( -D_p )+ .

Тогда

U_i =K_iU_(i-1) ,

L_i = K_i[ -D_pU_(i-1) ]+M_i .

Отсюда следует

U_i =K_iU_i-1 , L_i=K_i[ -D_pU_(i-1)]+ M_i . (5.4)

Если в этих соотношениях определить Uo и Lo так, как описано выше для вращательных пар, то они становятся применимыми при всех i.

Определение элементов матрицы С по рекуррентным соотношениям (3) и (4) значительно упрощает процесс программирования решения задач динамики ММ на основе рассматриваемого метода.

С учетом блочной структуры матрицы С матрицу А удобно вычислять по формуле

А=С^ТФС= Ф_i С_i ,

где C_i = {U_i , L_i }^T – блок матрицы С первые три строки которого занимает U_i , а три нижние строки – матрицы L_i .

Поскольку к звеньям ММ приложены две группы сил: внешние силы и их моменты и силы и моменты сил приводов , можно представить обобщенные силы в виде

= + ,

где ={g_G1 , g_G2 , …, g_Gp} – определяется только внешними силами, действующими на механизм.

Если i-1, i кинематическая пара является поступательной, то q_Gi= , где - сила, приведенная к центру i-1, i пары.

Если i-1, i кинематическая пара является вращательной, то q_Gi= , где - приведенный к оси i-1, i кинематической пары момент, определенный силами и моментами .

Вектор по определению является вектором обобщенных сил приводов ММ. Тогда система уравнений динамики ММ примет вид

A + ( Ds ) = + .

Следует помнить, что матрица Ds получается дифференцированием матрицы А по времени. Это не только осложняет процесс вычисления Ds при аналитическом дифференцировании А, но и снижает точность получаемого решения на компьютере при численном дифференцировании А.