![](/user_photo/_userpic.png)
- •Элементы теории вероятностей и математической статистики
- •Кафедра высшей математики
- •И физико-математического моделирования
- •Элементы теории вероятностей
- •И математической статистики
- •Методические указания
- •Введение
- •Геометрическое определение вероятности
- •Контрольные вопросы и задания
- •Дополнительные вопросы
- •Примеры решения задач
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Контрольные вопросы и задания
- •Дополнительные вопросы
- •Примеры решения задач
- •Задачи и упражнения для самостоятельного решения
- •Занятие №4 числовые характеристики распределений пуассона, биноминального, равномерного, нормального и показательного
- •Контрольные вопросы и задания
- •Дополнительные вопросы.
- •Примеры решения задач
- •Задачи и упражнения для самостоятельного решения
- •Занятие №5 доверительный итервал
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Задачи и упражнения для самостоятельного решения
- •Занятие №6 система двух случайных величин
- •Контрольные вопросы и задания
- •Пример решения задачи
- •Занятие №7 статистические оценки параметров распределения
- •Контрольные вопросы и задания
- •Занятие №9 статистическая проверка статистических гипотез
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Заключение
- •Приложение
- •Библиографический список
- •Содержание
- •В авторской редакции
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Примеры решения задач
Пример.
Найти
доверительный интервал для оценки с
надежностью 0,95 неизвестного математического
ожидания
нормального
распределенного признака
генеральной
совокупности, если генеральное среднее
квадратическое отклонение σ=5, выборочная
средняя
и
объем выборки
Решение.
Доверительный
интервал равен:
Здесь все величины известны, кроме
.
Определим
из отношения
(см.
таблицу приложения),
=1,96.
Тогда получаем
Искомый доверительный интервал:
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
1) [5], №№ 501-504, 508-511.
2)
На двухчашечных стрелочных весах можно
определить вес предметов A
и B
двумя способами:- поочередно взвесить
каждый предмет и получить показания
весов
;
определить показания весов, положив
оба предмета на одну чашку:
,
и на разные чашки:
,
а затем рассчитать вес предметов A
и B
как полусумму и полуразность этих
показаний.
Определить, какой способ определения веса дает меньшую погрешность результата. Ответ получить в общем виде.
Форма отчетности: устный опрос, проверка решения задач преподавателем.
Занятие №6 система двух случайных величин
Литература: [4], с 155-167.
Распределение
двух случайных величин
и
,
или
двумерной
случайной величины (
,
не исчерпывается
распределением каждой из них , так как при этом не
учитывается зависимость, которая может существовать между ними.
Функции
распределения
двумерной
случайной величины(
,
)
определяется как вероятность совместного
выполнения неравенств
< x
и
<y:
.
Если представима в виде
,
где
некоторая
неотрицательная функция, то двумерную случайную величину
(
,
)
называет непрерывной,
функцию
плотностью
распределения двумерной случайной величины ( , ).
Плотность
распределения
случайной
величины выражается через совместную плотность p(x, y)
следующим
образом:
Аналогично для плотности распределения случайной
величины
имеем
В отличие от совместной плотности
распределения p(x,
y)
одномерные плотности
и
называют маргинальными.
Случайные величины и называются независимыми,
если их совместная функция распределения при любых
значениях аргументов x, y равна произведению маргинальных
функций
распределения
случайной величины
и
случайной величины :
Пусть
(
,
непрерывная двумерная случайная
величина
с плотностью распределения
.
Тогда для
независимости и необходимо и достаточно, чтобы совместная плотность распадалась в произведение маргинальных плотностей и :
Коэффициент корреляции
Величина
называется
ковариацией
случайных
величин
cov
(
,
).
Если (
,
непрерывная
двумерная случайная величина с плотностью распределения
, то
cov
(
,
)=
Величина
r=cov(
,
)/
называется
коэффициент
корреляции
случайных
величин
.
Свойства коэффициента корреляции
10.
Модуль коэффициента корреляции не
превосходит единицы,
20. Если независимые случайные величины, то r=0.
Обратное неверно: из условия r=0 (некоррелированность
случайных величин ) не следует независимость .
30.
Если
связаны линейной зависимостью, то
Свойства математического ожидания и дисперсии
10. Математическое ожидание постоянной равно этой
постоянной,
т.е.
20. Математическое ожидание суммы случайных величин
равно сумме их математических ожиданий, т. е.
(предполагается,
что
и
существуют).
30. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т. е.
(предполагается,
что
и
существуют).
40.
Дисперсия
постоянной равна нулю, т. е.
,
50.
Дисперсия
суммы случайных величин равно сумме их
дисперсий, т. е.
(предполагается,
что
и
существуют).