1. Цель работы

Приобрести навыки измерения электрических величин нелинейных радиотехнических цепей, экспериментально проверить выполнение основных законов нелинейных радиотехнических цепей.

2. Краткая теория

Исследование нелинейной цепи в общем случае – задача сложная в том отношении, что при математическом описании ее функционирования исследователи сталкиваются с проблемой решения нелинейных дифференциальных уравнений. При этом неприемлемы большинство приемов и методов для линейных цепей.

Аналитическое описание характеристик нелинейных элементов.

Аналитическое описание заданной графически или в виде таб­лицы характеристики связано с решением задачи аппроксимации, то есть с приближенным выражением заданной

50

зависимости, выбранной функцией. Чем выше требования к точности описания, тем сложнее аналитическое выражение характеристики и тем труднее решение задачи аппроксимации. В связи с этим в каждом конкретном случае на­до выбирать разумное решение относительно точности приближения и сложности аппроксимирующей функции.

Решение задачи аппроксимации может осуществляться с ис­пользованием известных методов аппроксимации характеристик ли­нейных цепей (методов интерполяции, Тейлора и др.). Важным эта­пом при этом является выбор аппроксимирующей функции, который зависит от конкретной характеристики нелинейного элемента и ре­жима его работы. Рассмотрим наиболее распространенные виды ап­проксимации характеристик нелинейных элементов.

Аппроксимация характеристик нелинейных элементов степенными полиномами.

Сущность аппроксимации степенным полиномом заключается в том, что характеристика нелинейного элемента представляется в виде полинома n-ой степени:

(9.1)

Коэффициенты полинома (9.1) определяются исходя из условия приближения. При этом наиболее часто используются два метода решения: интерполяция и среднеквадратичное приближение. Степень полинома выбирается в зависимости от характера нелинейности и режима работы.

Пример. Дан резистивный нелинейный элемент с характеристикой и уровнем сигнала, представленными на рис. 9.1.

Аппроксимирующая функция для нелинейного элемента будет иметь вид:

51

(9.2)

Рис. 9.1 – Реакция в нелинейном

резистивном элементе

В уравнении два неизвестных коэффициента и , которые легко определить с использованием условий аппроксимации:

(9.3)

Таким образом, линейный участок характеристики нелинейного резистивного элемента аналитически определяется выражением

(9.4)

Такая аппроксимация пригодна лишь в линейном режиме рабо­ты нелинейного элемента, когда рабочая точка выбрана на линейном участке характеристики и воздействие изменяется в пределах, соот­ветствующих этому участку, например при изучении процессов в ли­нейных усилителях.

Кусочно-линейная аппроксимация. При больших амплитудах воздействия характеристики нелиней­ных элементов удобно представлять ломаной линией, каждый отдельный отрезок

52

которой примерно совпадает с определенным участ­ком характеристики нелинейного элемента.

Так, аналитическое выражение аппроксимирующей функции для характеристики, представленной на рис. 9.2, будет иметь вид:

(9.5)

г де - напряжение отсечки тока. То есть полное аналитиче­ское выражение для характеристики нелинейного элемента будет состоять из ряда составляющих, описывающих отдельные участки характеристики. Произведя ап­проксимацию характеристики нелинейного элемента, можно решать задачу анализа колебаний при заданном воздействии.

Рис. 9.2 – Кусочно-линейная аппрок­симация

характеристики нелиней­ного резистивного элемента (а),

аппроксимация характе­ристики диода (б)

Аппроксимация трансцендентными функциями. Аналитические функции, не представленные алгебраическими выражениями, называются трансцендентными. К ним относятся эле­ментарные функции: показательные, логарифмические, тригономет­рические. Экспоненциальная функция хорошо воспроизводит на­чальные участки резистивных нелинейных элементов,

53

в частности, диодов. Так, для аппроксимации характеристики, представленной на рисунке 9.2, можно применить аппрок­симирующую функцию вида:

(9.6)

Для определения неизвестных коэффициентов и составляют два уравнения , . Разделив почленно уравнения для токов и , получим . Откуда находим . Коэффициент можно легко определить из любого уравнения .

Методы определения реакции в нелинейных резистивных цепях

Нелинейная резистивная цепь представляет собой соединенные определенным образом нелинейные и линейные резистивные элемен­ты и источники питания. Задача анализа такой цепи состоит в опре­делении токов и напряжений на элементах цепи при заданных топо­логии цепи, характеристиках нелинейных элементов и воздействиях.

Решение задачи анализа сводится к составлению математиче­ской модели цепи, то есть уравнений цепи, и их решению. Строгое решение задачи анализа нелинейной цепи возможно только в част­ных случаях, поэтому при определении реакций в нелинейных цепях в основном используются приближенные методы. Наиболее широко применяются метод составления уравнений цепи и их численного решения и метод, основанный на использовании входных и переда­точных характеристик цепи.

54

Определение реакций по уравнениям цепи. Уравнения нелинейной резистивной цепи, аналогичные линей­ной, включают в себя уравнения элементов и топологические урав­нения. Уравнения элементов записываются в виде аналитических вы­ражений, аппроксимирующих характеристики нелинейных элементов одним из рассмотренных выше методов аппроксимации. То есть уравнения элементов представляются в виде функциональных зави­симостей. Следовательно, процессы в нелинейных резистивных цепях описываются системами функциональных, нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений.

Топологические уравнения зависят только от структуры цепи, и их число, составленное по законам Кирхгофа, равно числу ветвей. Совокупность уравнений элементов и топологических уравнений об­разует систему, которую можно решить относительно искомой реак­ции для фиксированного момента времени. Если же требуется реакцию определить как функцию времени, то необходимо будет иметь n решений уравнений для n фиксированных значений времени t=tn. Особенностью уравнений нелинейных резистивных цепей яв­ляется возможность многозначности решений. Решения системы функциональных уравнений нелинейной резистивной цепи, соответствующих каждому дискретному моменту времени, возможны только с помощью численных методов. В на­стоящее время имеется целый ряд алгоритмов численного решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Однако в ряде практических задач анализа простейших нелинейных резистив­ных цепей возможно решение и аналитическим методом (например, для цепей с одним нелинейным элементом).

Метод входных и передаточных характеристик. Входная характеристика используется при определении реакции в двухполюсной цепи и представляет собой зависимость мгновенного значения реакции на входе исследуемой цепи от мгновенного значения воздейст­вия. В частном случае, когда нелинейный

55

двухполюсник состоит из одного нелинейного элемента, входная характеристика такой цепи представляет собой вольт-амперную характеристику (ВАХ) нелинейного элемента. Под передаточной характеристикой нелинейной резистивной цепи подразумевается зависимость мгновенного значения реакции на выходе цепи от мгновенного значения воздействия.

Передаточные характеристики могут определяться эксперимен­тально путем изменения напряжения (тока) на входе и измерения то­ка (напряжения) на выходе цепи. Если же цепь состоит из последова­тельно-параллельных соединений элементов, то передаточную харак­теристику можно получить путем эквивалентных преобразований при известных характеристиках нелинейных элементов.

Графоаналитический метод. Несмотря на все многообразия методов определения реакций в нелинейных радиотехнических цепях самым распространенным является графоаналитический метод. Преимуществом данного метода является простота и наглядность. Недостатком низкая точность. Однако описанные выше математические методы, как было указано выше, приводят к многозначности решения и на практике используются лишь в простых случаях.

К входной цепи нелинейного элемента, как правило, приложено два напряжения: постоянное напряжение смещения , определяю­щее положение рабочей точки на ВАХ, и переменное напряжение, являющееся входным воздействием и при графоаналитическом методе анализа считающееся гармоническим с частотой и амплитудой . Таким образом, входное воздействие представляется в виде

(9.7)

Суть метода показана на рисунке 9.3.

56

Рис. 9.3. Определение реакции графоаналитическим

методом

Путем графических построений можно определить реакцию (ток ) для каждого мгновенного значения входного колебания, а затем с ис­пользованием уравнения найти значения напряжения на выходе цепи. То есть путем графических построений в соответст­вующем масштабе можно определить реакцию цепи.

Если амплитуда воздействия будет выходить за пределы ли­нейного участка ВАХ (режим большого сигнала) форма входного колебания искажается, вследствие чего появляются новые гармонические составляющие то­ка нелинейного элемента, которые можно определить графоаналити­ческим методом.

В общем виде ток нелинейного элемента при нелинейном режи­ме работы представляется в виде ряда Фурье

(9.8)

Амплитуды гармоник тока рассчитываются графоаналитиче­ским методом. Постоянная составляющая и амплитуды гармоник рассчитываются методом численного интегрирования:

57

;

(9.9)

Также применяются и упрощенные методы расчета.

Графоаналитический метод определения спектрального со­става реакции нелинейной цепи на гармоническое воздействие достаточно прост и широко ис­пользуется при оценке нелиней­ных искажений в нелинейной цепи. Для оценки величины нелинейных искажений используется коэффициент нелинейных искажений, который определяется по формуле

(9.10)