4.5. Способы разложения функций в ряд Тейлора

Естественный и универсальный способ разложения аналитичес­кой функции в ряд Тейлора - это вычисление коэффициентов по формулам или .

Пример: разложить главную ветвь в степенной ряд в окрестности точки . Главная ветвь определяется условием , она имеет вид

.

В качестве комплексной плоскости рассматривается расширенная комплексная плоскость (включая бесконечно удаленную точку) с разрезом по полуоси . Вычислим значения функ­ции и ее производных в точке : ,

Следовательно, разложение имеет вид

Часто удается воспользоваться известными табличными разложениями и не делать громоздких вычислений связанных с нахождением коэффициентов . Например, в предыдущем примере можно было получить тот же результат проще, вводя новую переменную и пользуясь табличным разложением для логарифма:

Существует общий способ разложения функций, который называется подстановкой ряда в ряд. Пусть , причем аналитична в круге , (тогда ), пусть аналитична в кpyre , (тогда , коэффициенты разложения известны). Очевидно что , поэтому можно выбрать такое, что при выполнено , т.e. принадлежит кругу - области аналитичности . Так как аналитична в круге , то является аналитической в круге и разлагается в нем по степеням . Следовательно,

.

Ряд в правой части сходится равномерно в круге , n - кратное умножение возможно, так как умножаются степенные ряды, а они сходятся абсолютно в круге сходимости.

Таким образом, выведено правило подстановки ряда в ряд: для того, чтобы получить разложение в ряд Тейлора по степеням z , где аналитична в окрестности , a аналитична в окрестности , надо подставить ряд для в ряд для выполнить необходимые умножения рядов и сложить коэффициенты членов, содержащих одинаковые степени z. Полученный ряд дает разложение в ряд Тейлора и сходится в круге , где выбирается так, чтобы при было выполнено . Заметим, что возможность получать коэффициенты суммированием следует из первой теоремы Вейерштрасса: если аналитична в , то

.

Отсюда следует также возможность суммирования степенных рядов в общих областях сходимости.

Пример: разложить в ряд по степеням z функцию .

Решеие:

Известно, что . В предыдущем примере получено разложение

.

Подставляя ряд в ряд, получим

,

где ; выбирается из .

Примеры:

1. Разложить в ряд Тейлора по степеням z

Область - общая область сходимости степенных рядов. Суммируя в этой области оба разложения, получим разложение в ряд Тейлора в круге :

.

2. Разложить в ряд Тейлора по степеням z .

Решение:

Здесь удобнее дифференцировать ряд почленно два раза:

.

Упражнение: разложить в ряд по степеням z выписать три-четыре члена разложения

1. , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) .

4.6. Ряд Лорана, разложение функций в ряд Лорана.

Рядом Лорана называется ряд .

Его можно представить как сумму двух рядов: - степенного ряда (правильная часть), сходящегося в круге , - ряда по отрицательным степеням (главная часть). Если в главной части сделать замену , то главная часть перейдет в степенной ряд сходящийся в некотором круге . Если , то , т.е. ряд сходится во внешности круга: . Следовательно, ряд Лорана сходится в круговом кольце . Если или и на окружности нет общих точек схо­димости главной и правильной частей, то область сходимости - пустое множество. Если , но такие точки есть, то область сходимости вырождается в совокупность точек или дуги окружности. Если , то область сходимости представляет собой круг с выколотым центром, а при - внешность кру­га . Справедлива теорема Лорана: функция , аналитическая в кольце , представляется в нем сходящимся рядом Лорана. Ряд Лорана равномерно сходится в любом замкнутом кольце , целиком, содержащимся в исходном . Сумма ряда Лорана является аналитической функцией в кольце сходимости ряда Лорана.

При разложении в ряд Лорана можно использовать внутри кольца сходимости суммирование рядов, подстановку ряда в ряд, почленное дифференцирование и интегрирование. Коэффициенты ряда Лорана можно вычислить по формуле, аналогичной соответствующей формуле для коэффициентов степенного ряда , где l – кусочно-замкнутый контур, целиком лежащий в кольце сходимости и охватывающий точку .

Пусть ставится следующая задача: найти все разложения по степеням . - задано.

Первое, что здесь необходимо сделать, это найти все точки , в которых функция теряет аналитичность. Если можно выбрать число С такое, что, полагая удаётся сделать функцию аналитической в некоторой окрестности а (здесь - точка конечной плоскости), то такая точка а называется устранимой или правильной точкой функции. Если такого С не существует, но существует окрестность точки a , не содержащая других особых точек, то такая точка а называется изолированной особой точкой функции однозначного характера (или просто особой точкой). Например, точкам для функции - устранимая точка. Заметим, что если a - устранимая точка, то существует конечный предел . Если этот предел бесконечен, то точка а называется полюсом функции, если предела вообще не существует, то точка а называется существенно особой точкой функции. Можно показать, что разложение в ряд Лорана в окрестности особой точки a:

а) не содержит главной части, если а - устранимая;

б) содержит член , но не содержит члены низших степеней, , если a - полюс k-го порядка (т.е. a – нуль k-го порядка функции );

в) содержит бесконечное количество членов с отрицательными степенями , если a - существенно особая точка функции.

Предположи, все особые точки функции найдены. Заметим, что бесконечно удаленная точка всегда считается особой и анализируется отдельно, причем анализ может быть проведен аналогично, только вместо членов с отрицательней степенями надо рассматривать члены с положительными степенями. После того, как все особые точки найдены, надо провести на комплексной плоскости концентрические окружности с центром в точке и радиусами, равными расстояниям от точки до особых точек , . В каждом из образовавшихся круговых колец функция аналитична, и разлагается в свой ряд Лорана, ряды в различных круговых кольцах, как правило, различны. Если функция представлена в виде суммы функций (обычно специально разлагают функцию в сумму более простых функций), то надо построить разложения функций-слагаемых во всех круговых кольцах и суммированием получить разложение функции-суммы.

Примеры. I. Найти все разложения функции по степе­ням .

Решение:

Особая точка - полюс первого порядка, имеются две области разложения: - область 1 и - область 2. Выпишем разложение:

при , т.е. в области 1,

при , т.е. в области 2.

2. Найти разложения функции по степеням ,

Решение:

.

Имеются три области разложения: - область 1, - область 2, - область 3.

, .

В области I получим разложение

,

в области 2 получим разложение

,

в области 3 получим разложение

.

3. Найти все разложения функции по степеням , .

Решение:

Здесь одна область разложения, так как - единственная особая точка. Вводя новую переменную , используем табличное разложение для экспоненты:

Это и есть разложение функции в кольце .

Упражнение: найти все разложения по степеням

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5)