3.3. Показательная функция и логарифм

Показательная функция определяется для любого комплексного соотношением

(21)

Из этого определения вытекают следующие свойства :

1. Для действительных чисел получаем пока­зательную функцию действительного переменного .

2. Функция всюду аналитична и ее производная вычис­ляется по формуле

.

Выполнение условий Даламбера-Эйлера проверяется элементарно. Используя факт независимости производной от направления, по которому происходит стремление текущей точки к предельной, возьмем производную по направлению, параллельному оси Оx:

.

3. Сохраняется основное свойство показательной функции (в области действительного переменного), выражаемое теоремой сложения

4. Показательная функция не обращается в нуль ни при каких значениях показателя, так как

.

Полагая в (21) , , получим формулу Эйлера:

(23)

С помощью формулы Эйлера любое комплексное число можно записать в показательной форме

(24)

5. Показательная функция является периодической с периодом , так как . В силу свойства периодичности изучение функции сводится к изучению ее свойств в полосе шириной и параллельной оси Оx, например в полосе /вообще говоря, в одной из полос /.

Действительно, силу периодичности. Отсюда, .

Значит отображение, определяемое функцией , однолистно в указанных полосах.

Введем в плоскости W полярные координаты . Тогда по формуле Эйлера. Из (21)

Отсюда следует, что прямые , (в плоскости z ) отображаются в окружности радиуса и лучи соответственно, рис. 10

y₀=φ

2π

x

y

G

F(X= -∞)

D

E

C

B

A

0

E’

B’

D’

A’

F’

G’

v

0’o’

C’

Рис. 10.

При этом ось Оx ( ) и прямая преобразуются в лучи и . Чтобы соблюсти взаимную однозначность отображения, на плоскости w производим разрез по полуоси и . Тогда Оx переходит в верхний берег разреза, а - в нижний берег.

Таким образом, функция отображает каждую горизон­тальную полосу плоскости z шириной на плоскость с разрезом по полуоси . Вся плоскость Z при этом отображается в бесконечнолистную плоскость w .

Логарифмическая функция определяется как функция, обратная к показательной; число W называется логарифмом числа z, ес­ли и обозначается .

Из определения логарифмической функции и свойств показа­тельной функции получим основные свойства логарифмов от комп­лексных чисел.

I.Пусть

(25)

(25) - есть обобщение известного из элементарной математики свойства логарифма.

2. Пусть . Тогда по формуле (25)

В этой формуле, так как - действительное положительное число, в первом слагаемом использовано обычное обозначение натурального логарифма.

Как известно - бесконечнозначная функция, поэтому любое комплексное число имеет бесконечное множество значений логарифма:

(26)

В этой формуле - главное значение аргумента комплексного числа.

Условимся через обозначать главное значение бесконечнозначной функции соответствующее :

,

Значение зависит от того, какое значение выбрано для

Рис.11.

аргумента комплексного числа.

Рассмотрим в плоскости Z две кривые C и L , рис. 11.

y

x

Ĺ

A

Z₀

C

W=Lnz

Z

x

y

W

Č₁

Č

w₀

Ļ

Пусть точка пробегает кривую С от начального положения . Выберем для значений аргументов точек главные их значения. При возвращении в точку значение аргу­мента, которое менялось от точки к точке при прохождении кривой С , останется прежним - .

Соответствующая точка в плоскости w также опишет замкнутую кривую Ć и вернется в прежнюю точку .

При выборе в качестве аргументов z значений точки в плоскости W будут описывать кривые , которые получаются из смещением на по оси . Таких кривых будет бесконечно много. Они дадут бесконечно много отделенных друг от друга ветвей функции .

Если кривая L в, плоскости Z содержит внутри своего контура точку , то при каждом обходе по замкнутому контуру L аргументы соответствующих точек z возрастают на , поскольку радиус-вектор поворачивается на угол при возвращении в точку z. Следовательно, соответствующая точка будет описывать незамкнутую кривую , ибо у функции

мнимая часть изменится на при каждом возвращении точки z в прежнее положение .

В этом случае говорят, что ветви функции отделить нельзя: они непрерывно переходят одна в другую. Таким образом, если область не содержит кривых, обходящих начало координат , ветви отделяются и каждая из них осуществляет взаимно-однозначное отображение области D.

Следовательно, по теореме о производной обратной функции

(27)

3.4. Тригонометрические и гиперболические функции

По формуле Эйлера (23) имеем

(28).

Формулы (28) дают выражение тригонометрических функций действительного переменного через показательную функцию.

Примем по определению для любого комплексного числа z

(29)

Определенные функции и являются линейными комбинациями показательных функций переменного , поэтому свойства тригонометрических функций, в основном, обусловлены свойствами показательной функции.

1. Для действительных и совпадают с соответствующими функциями и .

2. sinz и cosz всюду аналитичны, так как всюду аналитична показательная функция.

3. sinz и подчиняются обычным (из анализа действительной переменной) формулам дифференцирования:

(30

4. и периодичны с периодом . Вследствие периодичности показательной функции

.

Аналогично .

С помощью несложных выкладок можно убедиться, что выполняются обычные тригонометрические тождества

и т.д.

Поскольку периодом функций и является действительное число , областями однолистности соответствующих отображений будут вертикальные полосы , так как, например,

5. Тригонометрические функции в комплексной плоскости обладают новым, по сравнению с теми же функциями действительного переменного, свойством: их модули бесконечно возрастают при стремлении вдоль оси Оy, т.е. при .

Действительно

Отсюда видно, что является периодической по x функцией (при фиксированном y ) и .

Гиперболические функции комплексного переменного и - определяются по аналогии с соответствующими функциями действительного переменного:

(31)

Эти функции в силу определения выражаются через тригонометри­ческие по формулам

(32)

Гиперболические функции вместе с показательной являются периодическими, , и всюду аналитическими:

.

Функции тангенса и котангенса определяются обычными формулами:

.