3. Элементарные функции комплексной переменной (кп)
Элементарные функции КП, изучаемые в данном курсе, является естественным распространением в комплексную область основных элементарных функций действительной переменной x .Однако при таком распространении функции приобретают подчас новые свойства: показательная функция КП оказывается периодической, функции sinx и cosx перестают быть ограниченными по модулю и т.д.
Теория элементарных функций КП была в основном создана Л. Эйлером в его работах сороковых годов ХУШв. Эти работы намного опережали эпоху. Например, теория логарифма была признана с большим трудом и далеко не сразу.
3.1. Дробно-линейная функция
Дробно - линейной функцией называется функция вида
,
(9)
где a,b,c,d - некоторые комплексные числа. Считаем, что а и с одновременно в нуль не обращаются.
Рассмотрим последовательность отображений, осуществляемых функцией (9).
1. Числитель выражения (9) есть линейная функция
.
(10)
Отображение
W1(z
) - конформно,
так как W1’=
а
0. Отображение
осуществляет
параллельный перенос всех точек плоскости
z
на вектор
(это следует
из
геометрического смысла операции сложения
комплексных
чисел).
Рассмотрим
выражение
:
,
(11)
.
(12)
Следовательно,
в общем случае линейная функция следующим
образом преобразует векторы плоскости
z:
а) концы всех векторов смещаются на
вектор
; б) полученные векторы растягиваются
в
раз и поворачиваются на угол
.
2.
Рассмотрим функцию
.
Точки А и B (рис. 4) называются симметричными относительно окружности радиуса R,
если А и B лежат на одном луче, проведенном из центра окружности;
произведение их расстояний от центра окружности равно квадрату радиуса окружности:
.
(13)
Из
(13) следует, что
т.е. точкой, симметричной центру
окружности,
является
.
z
y
x
zz
.
.
z
R
A
B
O
Рис.4.
Покажем,
что если центр окружности находится
в точке
,
то симметричной для точки
будет
точка
.
Проверим выполнение условий симметричности:
.
Отсюда
следует, что точки
и
симметричны относительно окружности
радиуса
.
В свою очередь точки
и
симметричны относительно оси ОХ плоскости
как взаимно-сопряженные.
П
y
1
. z
оэтому
отображение
состоит из
двух симметричных преобразований
(рис. 5).
x
γ1
γ1*
.
v
u
1
Р Рис. 5
Функция
осуществляет взаимно
однозначное
отображение полной плоскости
на плоскость W2
причем
,
;
при этом внутренность круга единичного
радиуса переходит в его внешность
на плоскости W2
, окружность единичного радиуса переходит
в такую же окружность (см. рис. 5). Докажите,
что сказанное выше верно только для
круга единичного радиуса.
В
точках
производная определена так:
(о вычислении производной степенной
функции см.
3.2), т.е.
осуществляет конформное отображение.