2.2. Геометрический смысл аргумента и модуля производной

Рассмотрим аналитическую в окрестности некоторой точки функцию .

Пусть в плоскости через точку проведены две гладкие кривые , угол между которыми (угол между касательными к этим кривым в точке ) равен (рис. 3).

Рис.3.

W=f(z)

z

τ₁

τ₂

y

x

Z₀

Θ

γ₂

γ₁

φ

w

v

u

W₀

υ

ψ

γ₂^٭

γ₁^٭

Пусть параметрические уравнения кривой , Тогда точки плоскости , принадлежащие кривой , соответствуют комплексным числам при .

Так как в точке ( ) кривая гладкая, то , ибо в противном случае , и касательная в точке была бы не определена.

Угловой коэффициент касательной

.

Отсюда

. (4)

В результате отображения, осуществляемого функцией , , - кривая на плоскости .

При этом точки определяются одним параметром и могут быть получены из соотношения

,

причем, когда параметр изменяется от до , точка пробегает всю кривую . Пусть - образ точки : . Аналогично (4) в плоскости .

(5)

По правилу дифференцирования сложной функции

. (6)

Условие (6) выполняется в силу неравенства нулю производной в точке . Аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей, поэтому

(7)

Из (4), (5), (7) следует, что

.

Анализируем выражение (8): зависит только от вида функции и выбора точки z₀. Следовательно, угол между касательной к любой гладкой кривой и осью в точке есть сумма углов: между касательной и кривой и .

Так как этот результат верен для любой гладкой кривой, то при отображении посредством аналитической функции пучка гладких кривых, проведенных через точкуz₀, касательные ко всем отображенным кривым – образом прежних кривых – поворачиваются на один и тот же угол, равный .

Очевидно, углы между кривыми-образами (на плоскостиW) равны углам между соответствующими кривыми-прообразами (на плоскостиZ). Например (см. рис. 3), угол между кривыми и в точке есть . Соответствующие кривые-образы и (на плоскости ) имеют углы с осьюOu:

, угол между и .

.

Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным.

Следовательно, отображение, осуществляемое аналитической функцией, конформно во всех точках, где . Требование неравенства производной нулю существенно, так как аргумент нуля неопределен.

В ыясним геометрический смысл модуля производной . Рассмотрим окрестность точки и соответствующую ей окрестность точки . Расстояния от точек этих окрестностей до их центров –точек и запишутся в виде

, Отношение рассматриваем как коэффициент растяжения (или сжатия), возникающего при отображении. Далее,

.

Так как значение производной не зависит от направления стремления к точке , то окрестность точки растягивается при отображении равномерно, с коэффициентом растяжения, равным для любого направления из точки z₀.

Таким образом, при конформном отображении окрестность каждой точки z₀ испытывает равномерное растяжение с коэффициентом ,касательные ко всем гладким кривым, проходящим через точку , поворачиваются на один и тот же угол , углы между кривыми сохраняются.