11.3.Примеры

Балка, защемленная одним концом (консоль) и нагруженная двумя численно равными силами (рис. 11.5).

Рис. 11.51

Двухопорная балка нагружена между опорами А и В силой F (рис. 11.6).

Рис. 11.52

Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях. Прочность балки обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, возникающие в опасном сечении, не превышают допустимых.

Условие прочности балки из пластичного материала имеет вид:

_maxM_z/W_z

Момент сопротивления для прямоугольного сечения, размеры которого b-h (рис.28): W_Zbh²/6.

Момент сопротивления для балки круглого поперечного сечения: W_z=d³/32.

12.Устойчивость сжатых стержней

12.1.Основные понятия

Соблюдение условий прочности и малость перемещений по сравнению с допускаемыми нормами еще не гарантируют способности конструкций выполнять предназначенные им функции.

Наряду с анализом прочности и жесткости необходим анализ устойчивости конструкций.

Назовем исходное состояние равновесия тела невозмущенным, отклонения его от состояния равновесия – возмущениями, а новое состояние равновесия – возмущенным.

Если при действии малых возмущений тело отклоняется от своего невозмущенного состояния равновесия незначительно, то такое состояние равновесия называется устойчивым. Если же состояние равновесия тела не обладает этим свойством, то оно называется неустойчивым.

Рассмотрим абсолютно жесткий стержень, шарнирно закрепленный нижним концом и сжатый силой F. В вертикальном положении стержень удерживается упругой пружиной, имеющей жесткость c (рис.12.1). Она означает, сто при повороте стержня на единичный угол в упругом шарнире возникает момент, равный c.

Допустим, что стержень получил отклонение от вертикального положения, определяемое углом . Если новое положение стержня является равновесным, то, составляя уравнение m₀=0, получим:

Flsin=c. (12.1)

Рис. 12.53

Таким образом, рассматриваемая задача является нелинейной, причем нелинейность обусловлена конечным перемещением стержня.

Если угол  достаточно мал, то можно положить sin. В результате нелинейное уравнение (12.1) заменяется линеаризованным

(Fl-c)=0.

Последнее уравнение имеет два возможных решения. Первое из них, при =0, означает, что вертикальное положение равновесия стержня соблюдается при любом значении силы F.

Решение (0) возможно в том случае, когда обращается в нуль множитель Fl-c=0. Отсюда следует, что отклоненное положение равновесия имеет место только при F=c/l=F^*.

Таким образом, при F=F^*, наряду с вертикальным положением равновесия стержня, возможно другое положение равновесия, как угодно близкое к первому. Силу F^* называют критической силой.

При F<F^* стержень имеет только одно вертикальное положение равновесия. При F=F^* стержень начинает отклоняться от вертикального положения равновесия. При F>F^* стержень отклонится от вертикального положения еще больше.

Таким образом, при F<F^* вертикальное положение равновесия стержня является устойчивым, а при F>F^* -- неустойчивым. При F>F^* происходит переход стержня от исходного вертикального (неустойчивого) положения равновесия к отклоненному (устойчивому) положению равновесия. Этот переход называют потерей устойчивости исходного положения равновесия стержня.

Потеря устойчивости может произойти при напряжениях, значительно меньше тех, которые допустимы с точки зрения прочности конструкции.