4. Электрическая емкость. Конденсаторы. Энергия конденсаторов

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Электроемкость уединенного проводника и конденсатора

, .

2. Емкость плоского конденсатора

,

где S – площадь каждой пластины, d – расстояние между пластинами.

3. Емкость цилиндрического конденсатора

,

где l – длина обкладок конденсатора, r₁ и r₂ –радиусы коаксиальных цилиндров.

4. Емкость сферического конденсатора

,

где r₁ и r₂ –радиусы концентрических сфер.

5. Емкость системы конденсаторов при последовательном и параллельном соединении

, .

6. Энергия заряженного конденсатора

.

7. Объемная плотность энергии электростатического поля

.

Пример решения задач

Определить электрическую емкость плоского конденсатора с двумя слоями диэлектриков: фарфора толщиной d₁=2 мм и эбонита толщиной d₂=1,5 мм, если площадь пластин 100 см².

Решение. Емкость конденсатора по определению С=Q/U, где Q - заряд ; U- разность потенциалов пластин. Заменив в этом равенстве общую разность потенциалов U суммой U₁+U₂ напряжений на слоях диэлектриков, получим

С= Q/(U₁+U₂)

Приняв во внимание, что Q=S, U₁=Ed₁=Dd₁/₀,

U₂= Ed2=Dd₂/₀ , равенство можно переписать в виде

С=

Где - поверхностная плотность заряда, E₁ иE₂ – напряженности поля в первом и втором слоях диэлектрика, D-электрическое смещение поля в диэлектрике. Учитывая D=? окончательно получим C=

С= 9,83 10^-11 Ф

I

1. Как изменится емкость плоского воздушного конденсатора, если площадь обкладок уменьшить в 2 раза, а расстояние между ними увеличить в 2 раза?

2. Во сколько раз измениться емкость системы конденсаторов, если вначале два одинаковых конденсатора соединить параллельно, а затем эти же два конденсатора соединить последовательно?

3. Рассчитайте ёмкость трёх последовательно соединенных конденсаторов емкостями С, 2С и 3С .

4. Даны три плоских воздушных конденсатора емкостями 10 пФ, 20пФ и 30 пФ. Найти емкости системы этих трех конденсаторов при их: 1)параллельном и 2) последовательном подключении.

5. Конденсаторы соединены так, как показано на рис.3 Электроемкости конденсаторов С₁=С₃=1 мкФ, С₂=С₄=2 мкФ. Определить емкость батареи конденсаторов для двух случаев на рис. 1,33мкФ, 1,5 мкФ

С₁ С₃ С₃

С₂ С₄ С₂ С₄

Рис.3 а Рис.3 б

6. Определить электроемкость плоского слюдяного конденсатора (=7), площадь пластин которого равна 100 см², а расстояние между ними 0,1 мм. 6,2 нФ

7. Определить электроемкость металлической сферы радиусом 2 см, погруженной в воду. 180 пФ

8. К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциала 600 В и отключенному от источника напряжения, присоединили параллельно второй незаряженный конденсатор. После присоединения напряжение на конденсаторах стало равным 100 В. Во сколько раз емкость второго конденсатора отличается от первого? в 5 раз

9. Конденсатору электроемкость которого 10 пФ, сообщен заряд 1 пКл. Определить энергию конденсатора. 0,05 мкЖд

10. Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно 2 см, разность потенциалов 6 кВ. Заряд каждой пластины равен 10 нКл. Вычислить энергию поля конденсатора и силу взаимного притяжения пластин. 30 мкЖд, 15 мН

11. Найти энергию уединенной сферы радиусом 4 см, заряженной до потенциала 500 В. 0,209 Дж

12. Конденсатор с диэлектриком (=4) присоединили к источнику тока. Энергия электрического поля этого конденсатора равна W. После удаления диэлектрика какой станет энергия конденсатора?

13. У отключенного от источника плоского конденсатора заряд на обкладках равен Q. Если между обкладками поместить диэлектрик с диэлектрической проницаемостью , то чему будет равен заряд на обкладках?

II

1. Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно 1,33 мм, площадь пластин равна 20 см². В пространстве между пластинами конденсатора находятся два слоя диэлектриков: слюды (ε=7) толщиной 0,7 мм и эбонита (ε=3) толщиной 0,3 мм. Определить электроемкость конденсатора.

35,4 пФ

2. Электроемкость плоского конденсатора равна 1,5 мкФ. Расстояние между пластинами равно 5 мм. Какова будет электроемкость конденсатора, если на нижнюю пластину положить лист эбонита (ε=3) толщиной 3 мм? 2,5 мкФ

3. На пластинах плоского конденсатора равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью 0,2 мкКл/м². Расстояние между пластинами равно 1 мм. На сколько изменится разность потенциалов на его обкладках при увеличении расстояния между пластинами до 3 мм? 22,6 В

4. Между пластинами плоского конденсатора находится плотно прилегающая стеклянная (ε=7) пластинка. Конденсатор заряжен до разности потенциалов 100 В. Какова будет разность потенциалов, если вытащить стеклянную пластинку из конденсатора? 700 В

5. Две концентрические металлические сферы радиусами 2 см и 2,1 см образуют сферический конденсатор. Определить его электроемкость, если пространство между сферами заполнено парафином (ε=2) 93,3 пФ

6. Конденсатор состоит из двух концентрических сфер. Радиус внутренней сферы равен 10 см, внешней – 10,2 см. Промежуток между сферами заполнен парафином (ε=2). Внутренней сфере сообщен заряд 5 мкКл. Определить разность потенциалов между сферами. 4,41кВ

7. К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов 600 В и отключенному от источника напряжения, присоединили параллельно второй незаряженный конденсатор таких же размеров и формы, но с диэлектриком. Определить диэлектрическую проницаемость диэлектрика, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до 100 В. 5

8. Конденсатор электроемкостью 0,2 мкФ был заряжен до разности потенциалов 320 В. После того как его соединили параллельно со вторым конденсатором, заряженным до разности потенциалов 450 В, напряжение на нем изменилось до 400 В. Вычислить емкость второго конденсатора. 0,32 мкФ

9. Плоский воздушный конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом 10 см каждая. Расстояние между пластинами равно 1 см. Конденсатор зарядили до разности потенциалов 1,2 кВ и отключили от источника тока. Какую работу нужно совершить, чтобы удаляя пластины друг от друга, увеличить расстояние между ними до 3,5 см? 50 мкДж

10. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком (ε=5), объем которого равен 100 см³. Поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора равна 8,85 нКл/м². Вычислить работу, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить диэлектрик из конденсатора. 63,5 нДж

11. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов 500 В. Площадь пластин 200 см², расстояние между ними 1,5 мм. Пластины раздвинули до расстояния 15 мм. Найдите энергию конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением отключался. 14,8 мкДж; 148 мкДж

12. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов 500 В. Площадь пластин 200 см², расстояние между ними 1,5 мм. Пластины раздвинули до расстояния 15 мм. Найдите энергию конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением не отключался. 14,8 мкДж; 1,48 мкДж

III

1. Плоский конденсатор, между обкладками которого помещена стеклянная пластинка (=6) толщиной 2 мм, заряжен до напряжения 200 В. Пренебрегая величиной зазора между пластинкой и обкладками, найти поверхностную плотность свободных зарядов на обкладках конденсатора, а также поверхностную плотность связанных зарядов на стекле.

5,3 мКл/м²; 4,4 мКл/м²

2. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого 400 см², заполнен двумя слоями диэлектрика. Граница между ними параллельна обкладкам. Первый слой имеет толщину 0,2 см (=2), второй 0,3 см (=7). Конденсатор заряжен до разности потенциалов 600 В. Найти энергию конденсатора. 44 мкДж

3. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (=7). Расстояние между пластинами 5 мм, разность потенциалов 1 кВ. Определите: 1) напряженность поля в стекле, 2) поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 3) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле.

200 кВ/м; 12,4 мКл/м²; 10,6 мКл/м².

4. Две концентрические металлические сферы радиусами R_l=2 см и R₂=2,1 см образуют сферический конденсатор. Опреде­лить его электроемкость С, если пространство между сферами за­полнено парафином. 93,3 пФ

5. Уединенная металлическая сфера электроемкостью С= 4 пФ заряжена до потенциала =1 кВ. Определить энергию W поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 4 раза больше радиуса сферы. 1,5 мкДж

6. Две концентрические проводящие сферы радиусами 20 см и 50 см заряжены соответственно одинаковыми зарядами 100 нКл. Определите энергию электростатического поля, заключенного между этими сферами. 135 мкДж