4.6.2. Аппарат идеального перемешивания (смешения)

Если в какую-то порцию непрерывно входящего в аппарат потока ввести определённое количество краски М₀, то она мгновенно равномерно окрасит всю жидкость. Концентрация в каждой точке сооружения составит

, г/м³. (4.28)

После этого концентрация краски в аппарате начнет убывать со временем, так как краска будет непрерывно выноситься потоком, а входящая жидкость уже не содержит краски. Однако в любой момент концентрация краски остаётся одинаковой во всех точках аппарата и все время уменьшается, смешиваясь с новыми порциями непрерывно входящего потока воды. Большая часть индикатора (согласно графику на рис. 37) будет выходить из аппарата за время между моментом его ввода (T= 0 с) и моментом, соответствующим среднему времени пребывания t₀, определенному по формуле (4.27). Для вымывания остальной части индикатора теоретически требуется бесконечно длительное время. Для описания закона изменения величины концентрации во времени составляется уравнение материального баланса – изменение массы есть изменение концентрации в объёме (уменьшение концентрации, т.к. краситель выносится):

, (4.29)

поскольку объём – это расход в единицу времени ( ), а изменение

массы – это единица расхода с единичной концентрацией во времени ( ), то можно заменить выражение

. (4.30)

	После преобразований останется . (4.31) Проинтегрируем данное выражение по известным граничным условиям – времени от 0 до t0; соответствует концентрация от 0 до с0. Тогда , (4.32)
Рис. 37. График изменения концентрации при идеальном смешении

, (4.33)

, (4.34)

где – безразмерная концентрация.

Концентрацию индикатора и время выражают в виде безразмерных величин (относительных):

, следовательно, .

Приняв за начальную концентрацию , а за масштаб времени – среднее время пребывания воды в сооружении (t₀) получим

, (4.35)

или . (4.36)

С усложнением процесса (например, при одновременном введении с перемешиванием биологического процесса, химических реакций) процесс обработки воды будет рассматриваться как система дифференциальных уравнений.

4.6.3. Процессы промежуточного типа между идеальным смешением и идеальным вытеснением

В реальных условиях процессы промежуточного типа между идеальным смешением и идеальным вытеснением чаще всего наблюдаются в аппаратах непрерывного действия.

Введём импульсом (мгновенно) во входной поток индикатор. На выходе он проявляется через некоторый промежуток времени (позднее чем в идеальном смешении), т.е. через t1 (рис. 38). Концентрация появления индикатора на выходе сначала увеличивается до некоторой определенной величины (сmax) в период времени tmax, а затем начинает стремительно уменьшаться и приближается к 0 при времени, стремящемся к бесконечности (t → ∞).

Рис. 38. График изменения концентрации при процессе промежуточного типа между идеальным смешением и идеальным вытеснением

Математическая модель распределения времени пребывания жидкости в сооружении следующая: есть бесконечно малый промежуток времени dt между произвольным временем t и t + Δt ( ); масса изменяется. Для определения всего количества индикатора по массе введенного и полностью удаленного из аппарата проинтегрируем полученное уравнение:

=М₀ = . (4.37)

Перейдем к безразмерным величинам (концентрации и времени):

, → , . (4.38)

Тогда преобразуем наше выражение:

. (4.39)

Поскольку объем сооружения есть расход в единицу времени, заменим и получим

. (4.40)

Поскольку M₀ # 0, разделим обе части уравнения на эту величину. Учитывая , получим

, (4.41)

. (4.42)

Формула (4.42) – закон нормального распределения, так как данное уравнение соответствует дифференцированной функции распределения времени пребывания жидкости в аппарате, который идёт по нормальному закону.

Для нахождения среднего значения времени пребывания используется зависимость

. (4.43)

Если в зависимости знать заранее расход, то можно определить объём W сооружения:

. (4.44)

Чаще всего описываемые в данном параграфе процессы наблюдаются в напорных трубопроводах, и для них используют дифференцированные методы расчёта формул (4.37) и (4.44).