4. Моделирование рабочих процессов в элементах паротурбинных энергоустановок

4.1. Общие подходы к моделированию

При проектировании сложных технических систем математическое моделирование является единственным средством, позволяющим на этапе проектирования рассмотреть поведение конструктивных элементов в реальных условиях эксплуатации.

Это в полной мере относится к рассматриваемой водородной парогенераторной установке. В данной установке процесс получения рабочего тела для турбины (перегретого водяного пара) реализуется в парогенераторе за счет впрыска воды в продукты сгорания кислородно-водородного топлива при высоком давлении. Это приводит к сокращению габаритов при высокой удельной теплонапряженности элементов парогенератора, сравнимой с теплонапряженностью камер сгорания современных ЖРД. Вместе с тем по своему назначению данная установка должна иметь ресурс, как по времени работы, так и по числу включений во много раз превосходящий ресурс, характерный для ЖРД.

Решение такой сложной технической проблемы требует тщательного исследования физических процессов в агрегатах установки для точного определения нагрузок на элементы конструкции и поиска способов снижения уровня этих нагрузок. Особенно это касается наиболее сложных для анализа процессов запуска и выключения, когда кроме чисто силовых нагрузок на элементы конструкции воздействуют и температурные нагрузки из-за неравномерности прогрева этих элементов.

В настоящее время возросшие возможности современной вычислительной техники позволяют значительно повысить качество математического моделирования таких сложных систем, какой является рассматриваемая водородная парогенераторная установка. Появление эффективных программных средств и высокопроизводительной вычислительной техники позволили при проектировании энергоустановок и их агрегатов перейти от инженерных полуэмпирических одномерных моделей процессов к трехмерному моделированию и изучению развития физических процессов во времени. Если ранее разработка энергоустановок и их агрегатов осуществлялось по схеме проектирование-испытание-устранение обнаруженных дефектов – подтверждение при новом испытании, то использование математического моделирования позволяет осуществлять разработку по схеме: проектирование - трехмерное моделирование функционирования агрегата (математическое испытание) - уточнение конструкции – подтверждение при испытании. Такая схема разработки позволяет существенно сократить затраты на проведение испытаний агрегатов и установки в целом, которые составляют основную долю затрат при разработке.

4.2. Модели турбулентности

Применение численных методов для решения различных проблем значительно облегчается благодаря созданию специализированных расчетных комплексов, предназначенных для численного интегрирования уравнений движения жидкости в заданной пользователем расчетной области. Среди подобных расчетных комплексов (CFD-пакетов) наибольшую популярность имеют Fluent, Star-CD, CFX, Flow3D и некоторые другие.

Хорошо известно, что движение вязкой несжимаемой жидкости в поле массовых сил описывается системой уравнений Навье-Стокса, впервые полученных С. Навье. Для замыкания данной системы ее необходимо дополнить еще одним уравнением, в качестве которого используется уравнение неразрывности.

В компонентной форме в декартовой системе координат система уравнений движения ньютоновской жидкости может быть записана следующим образом

где – плотность жидкости;

– i-я компонента вектора скорости;

;

– гидродинамическое давление;

– молекулярная вязкость жидкости;

– j-я ось декартовой системы координат;

– i-я компонента вектора интенсивности массовых сил.

Здесь использовано правило Эйнштейна: если в одном члене уравнения индекс повторяется дважды, то по нему производится суммирование, т.е. уравнение неразрывности следует понимать так

.

Подробный вывод этих уравнений можно найти, например, в [45].

Задача будет поставлена, если система уравнений - дополнена начальными и краевыми условиями, в частности, условием прилипания на твердых границах: .

Трудности, возникающие при решении данных уравнений, обусловлены следующими основными причинами:

- нелинейностью уравнения;

- наличием в уравнении производных и по времени, и по пространству;

- невозможностью однозначно отнести уравнение к одной из классификационных групп дифференциальных уравнений (гиперболическим, эллиптическим или параболическим);

- сложностью геометрических и динамических граничных условий при решении инженерных задач.

Одним из вариантов обхода указанных проблем является путь, предложенный О. Рейнольдсом. Он состоит из следующих шагов:

1. Величины, входящие в полные уравнения Навье-Стокса разделяются на осредненные (по времени) и пульсационные: , длинная черта сверху обозначает операцию осреднения, например, следующим образом: , – временной интервал;

2. Уравнения осредняются на конечном интервале времени, при этом .

Применяя введенные правила к уравнениям - уравнения турбулентного движения можно записать таким образом

, ,

.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением Навье-Стокса можно увидеть, что оно содержит один дополнительный член, а именно

.

Это пространственная производная (дивергент) некоторых напряжений, являющихся результатом взаимодействий между флуктуациями в поле течения, и носящих название напряжений Рейнольдса.

На основе уравнение можно записать следующим образом

,

то есть , или, в декартовых координатах

,

где , , – пульсационные составляющие скорости относительно осей , , соответственно.

Напряжения Рейнольдса появляются вследствие реакции потока на конвективный перенос количества движения через жидкие площадки вследствие пульсаций скорости.

Очевидно, что система уравнений Рейнольдса - является незамкнутой, так как содержит неизвестные пульсационные компоненты. Для замыкания используются специальные реологические соотношения, называемые моделями турбулентности.

Таким образом, полный тензор напряжений в несжимаемой жидкости может быть записан следующим образом:

.

где – символ Кронекера;

– тензор скоростей деформаций;

– тензор напряжений Рейнольдса.

Следует отметить что, несмотря на присутствие знака «минус» в правой части выражения напряжений Рейнольдса, сами величины напряжений при являются положительными, и их знаки совпадают со знаками касательных напряжений осредненного потока.

Одной из важнейших характеристик турбулентного течения является распределение удельной кинетической энергии турбулентных пульсаций . При этом турбулентное течение, в котором , называется изотропным.

Одним и важнейших уравнений, используемых для описания турбулентных течений, является уравнение переноса удельной кинетической энергии турбулентных пульсаций. Оно получается на основе уравнения (10.4), для чего все переменные, входящие в уравнение (10.1) следует представить в виде суммы осредненных и пульсационных составляющих, после чего умножить все его члены на , и произвести осреднение по времени. Получившееся в итоге уравнение можно записать следующим образом [46]

,

где – диффузионный член, обусловленный молекулярной диффузией, турбулентной диффузией перемешивания посредством взаимодействия пульсаций скорости и турбулентной диффузией давления посредством корреляций давления и скорости;

– член генерации (порождения) турбулентности, определяющийся произведением рейнольдсовых напряжений и средних градиентов скорости (характеризует перенос энергии от осредненного течения к пульсационному);

– диссипативный член, характеризующий преобразование энергии, подведенной к пульсационному течению, в частности, перенос энергии от крупномасштабных вихрей к мелкомасштабным диссипирующим вихрям. Величину называют изотропной или псевдодиссипацией.

Уравнение иллюстрирует общую форму уравнений переноса: скорость изменения величины связывается с ее диффузией, генерацией и диссипацией.

Подобным же образом можно получить уравнение переноса для компонент тензора напряжений Рейнольдса.

Как уже отмечалось ранее, система уравнений в форме Рейнольдса - является незамкнутой, то есть требует для своего решения дополнительных соотношений, называемых моделями турбулентности. Наиболее распространенное из них основано на гипотезе Ж. Буссинеска и оперирует понятием изотропной турбулентной (вихревой) вязкости, а соответствующие модели называются линейными моделями турбулентной вязкости.

В соответствии с гипотезой Ж. Буссинеска напряжения Рейнольдса связываются с осредненным течением следующим образом:

.

Уравнение не вводит никакой модели турбулентности, но лишь определяет ее структуру. Таким образом, для определения шести компонент тензора необходимо найти одну скалярную величину . При этом весьма сильным допущением является предположение об изотропности турбулентности.

В настоящее время принята следующая классификация полуэмпирических моделей турбулентной вязкости [47]:

- алгебраические модели;

- модели с одним дифференциальным уравнением переноса характеристики турбулентности;

- модели с двумя дифференциальными уравнениями переноса (двухпараметрические модели);

- модели с большим числом уравнений.

Модели турбулентности с двумя уравнениями переноса ведут отсчет от основополагающей работы А.Н. Колмогорова, и вплоть до настоящего времени остаются наиболее популярными моделями для решения широкого круга задач.

Данный класс моделей предполагает решение дифференциальных уравнений переноса для двух характеристик турбулентности, которые позволяют определить турбулентную вязкость с помощью алгебраических соотношений. В качестве первой из характеристик в подавляющем большинстве случаев выступает величина кинетической энергии турбулентных пульсаций . В выборе же характеристики турбулентности, для которой формулируется второе уравнение, имеется определенная свобода. Наибольшее распространение получили модель турбулентности.

В качестве характеристик турбулентности в этих моделях используются следующие величины:

– кинетическая энергия турбулентных пульсаций, м²/с²;

– диссипация энергии турбулентности, м²/с³;

модели содержат два уравнения переноса для и , при этом . Уравнение переноса для строится на основе (10.8), а уравнение переноса для строится на основе физических соображений. В основе моделей лежит предположение о том, что течение является полностью развитым турбулентным течением, и влияние на поток молекулярной вязкости незначительно, что заметно ограничивает область ее приложения. Чтобы преодолеть эти ограничения в настоящее время созданы ряд модификаций модели, расширяющих область ее применения:

а) Стандартная - модель

Простая двухпараметрическая модель турбулентности, в которой решаются два уравнения переноса определяющие турбулентную скорость и масштаб длины. Стандартная - получила широкое применение в решении практических инженерных задач, с тех пор, как она была предложена Лаундером и Сполдингом. Ошибкоустойчивость, экономичность, и разумная точность для широкого диапазона турбулентных потоков делает ее наиболее применимой в промышленных задачах. Постоянные коэффициенты для этой модели турбулентности получены опытным путем и поэтому она является полуэмпирической. На базе стандартной - с учетом ее недостатков были созданы RNG - и Realizable - модель [5].

б) RNG - модель

RNG - модель была разработана на основе строгих статистических методов (renormalization group theory), Она аналогична стандартной - модели, но имеет ряд существенных отличий:

- дополнительное условие в уравнении скорости турбулентной диссипации  улучшает точность решения высоконапряженных потоков;

- дополнительный параметр, учитывающий циркуляцию турбулентности, улучшает точность расчета течений с закруткой потока;

- RNG теория предлагает аналитическую формулу турбулентных чисел Прандтля, в то время, как в стандартной - модели данный параметр является константой.

- в то время как стандартная - модель является высокорейнольдсовой моделью, RNG теория предоставляет полученную аналитическим путем дифференциальную формулу эффективной вязкости, что более приемлемо при расчете низкорейнольдсовых течений. Но стоит отметить, что данная формула работает при качественном сеточном разрешении в области пограничного слоя.

Эти особенности делают RNG - модель более точной и надежной для широкого диапазона турбулентных течений, чем в случае со стандартной - моделью.

в) «Realizable» - модель

Данная модель была относительно недавно разработана и отличается от стандартной - модели:

Улучшенная форма записи турбулентной вязкости.

Новое уравнение переноса скорости диссипации, , получено из точного уравнения переноса среднеквадратичного пульсационного вихря.

Непосредственное преимущество Realizable - модели состоит в том, что она более точно предсказывает распределение диссипации плоских и круглых струй. Это также вероятно обеспечит более лучшее предсказание вращающихся потоков, пограничных слоев подверженных сильным градиентам давления, отрывных течений и рециркуляционных течений. Обе модели Realizable и RNG - показывают существенное преимущество перед стандартной - моделью турбулентности для искривленных, вихревых и вращающихся потоков.

Термин «realizable» (реализуемая) означает, что модель разрешает некоторые математические ограничения для нормальных напряжений, что соответствует физике турбулентных потоков. Если рассматривать совместно гипотезу Буссинеска

и определения турбулентной вязкости

,

то можно получить следующее выражение для нормальных Рейнольдсовых напряжений в осредненном несжимаемом напряженном потоке

.

Используя определение турбулентной вязкости для выражения , получается, что нормальное напряжение , которое по определению является положительной величиной, становится отрицательным, т.е. «нереальным», что происходит при достаточно больших напряжениях удовлетворяющих условию

.

Точно так же можно показать, что неравенство Шварца для касательных напряжений ( , и не суммируются) нарушается при достаточно высоких значениях осредненных напряжений. Наиболее легким способом, гарантирующим «реализуемость» (положительные нормальные напряжения и выполнение неравенства Шварца для касательных напряжений), является зависимость параметра от характера деформации осредненного потока и турбулентности (, ). Значения параметра предложено, в частности, Рейнольдсом, и хорошо обосновано экспериментальными данными. Например, в инерционном подслое равновесных пограничных слоев, и в ярко выраженных гомогенных потоках с касательными напряжениями.

Другим недостатком стандартной - модели турбулентности или ее явным грубым упрощением является запись уравнения переноса скорости турбулентной диссипации (), это приводит к тому, что стандартная - модель позволяет удовлетворительно описать процессы переноса только в области со значительной неоднородностью потока (асимметричные турбулентные потоки), а для осесимметричных потоков, характеризующихся небольшой неоднородностью, описание процессов переноса является очень грубым.

Realizable - модель предложенная Шином учитывает описанные выше недостатки традиционных - моделей:

Новая формулировка турбулентной вязкости, включает в себя параметр , который для различных областей потока принимает необходимое значение предложенное Рейнольдсом.

Используется другая модель переноса скорости турбулентной диссипации, , которая базируется на динамическом уравнении пульсационных среднеквадратичных вихрей.

Уравнения переноса для  и  представляются в следующем виде

,

,

где

и .

В этих уравнениях, - производство турбулентной кинетической энергии, вызванное градиентами осредненного потока.

- производство турбулентной кинетической энергии, вызванное плавучестью.

- параметр, характеризующий пульсации вызванные расширением в сжимаемых турбулентных потоках.

и - константы;

и - турбулентные числа Прандтля для  и , соответственно.

и – источники определяемые пользователем.

Стоит обратить внимание на то, что уравнение переноса  для всех трех моделей турбулентности записывается в одинаковом виде. Однако, уравнение переноса для Realizable модели различно по сравнению со стандартной и RNG моделями. Важной положительной особенностью является то, что второе слагаемое в правой части уравнения не содержит в себе параметр , как в других моделях. Предполагается, что представленная форма лучше предсказывает спектральный перенос энергии. Другой положительной особенностью является то, что третье слагаемое в правой части уравнения не имеет математических «особенностей», т.е. его знаменатель никогда не станет равным нулю, даже если  станет равным или меньше нуля, что может иметь место в стандартной и RNG моделях.

Эта модель была экстенсивно утверждена для широкого диапазона течений, включая вращающиеся гомогенные потоки с касательными напряжениями, свободные потоки, течения в осесимметричных каналах и в области пограничного слоя, течения с зонами отрыва пограничного слоя. Для всех этих случаев данная модель турбулентности зарекомендовала себя значительно лучше стандартной - модели турбулентности. Особенно важен тот факт, что Realizable модель качественно решает процессы переноса в задачах с малыми неоднородностями потока, т.е. дает качественные результаты для ярко выраженных осесимметричных турбулентных течений.

Как и для других - моделей турбулентная вязкость определяется выражением

.

Различие между Realizable - моделью и двумя другими заключается в том, что параметр не является константой, а находится в процессе решения и определяется выражением

,

где

и

,

где - тензор осредненной скорости вращения «проявляющийся» во вращающихся системах координат с угловой скоростью . Константы модели и

, ,

где

, ,

, .

Из выше описанного видно, что является функцией осредненных напряжений и интенсивности вращения, угловой скорости и турбулентности (, ). в уравнении принимает стандартное значение 0,09 для инерционного подслоя и в равновесных пограничных слоях.

Константы модели , , и имеют значения, которые показали хорошие результаты для некоторых канонических потоков

, , , .

Параметр , представляющий производство турбулентной кинетической энергии, моделируется идентично, как для стандартной, так и для RNG и «realizable» - - моделей. Из точного уравнения переноса , этот параметр можно определить, как

,

оценивается совместным методом с гипотезой Буссинеска,

,

где - модуль тензора осредненных напряжений, определяемый как:

_.

Для течений с большими числами Маха, сжимаемость влияет на турбулентность через так называемую «диссипацию расширения», которой обычно пренебрегают при моделировании несжимаемых течений. При пренебрежении диссипацией расширения невозможно предсказать уменьшение скорости распространения при увеличении числа Маха для сжимаемого смешивания и других слоев со свободными касательными напряжениями. Для учета всех этих эффектов в - моделях, параметр диссипации расширения, , включен в уравнение . Этот параметр рассчитывается, как предложено Саркаром

,

- турбулентное число Маха, определяемое как:

,

где – скорость звука.

Данный метод вступает в силу при использовании закона сжимаемого идеального газа.

Турбулентный теплоперенос моделируется с использованием концепции Рейнольдсовой аналогии переноса турбулентного импульса. «Моделируемое» уравнение энергии таким образом выглядит:

,

где - полная энергия,

- эффективный коэффициент теплопроводности,

– тензор напряжения, определяемы как:

.

Параметр представляет нагревание вызванное вязкостью потока.

Для стандартной и realizable - моделей, эффективный коэффициент теплопроводности, определяется выражением:

,

где , в этом случае, коэффициент теплопроводности.