Приложение а (справочное) Описание аппарата теории нечетких множеств

Определение 1. Нечетким множеством на универсальном множестве U называется совокупность пар ( ), где  - степень принадлежности элемента к нечеткому множеству . Степень принадлежности - это число из диапазона [0, 1]. Чем выше степень принадлежности, тем в большей мере элемент универсального множества соответствует свойствам нечеткого множества.

Определение 2. Функцией принадлежности называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечеткому множеству.

Если универсальное множество состоит из конечного количества элементов , тогда нечеткое множество записывается в виде . В случае непрерывного множества U используют такое обозначение .

Примечание: знаки и в этих формулах означают совокупность пар и u.

Определение 3. Лингвистической переменной называется переменная, значениями которой могут быть слова или словосочетания некоторого естественного или искусственного языка.

Задание значения переменной словами, без использования чисел, для человека более естественно. Ежедневно мы принимаем решения на основе лингвистической информации типа: "очень высокая температура"; "длительная поездка"; "быстрый ответ"; "красивый букет" и т.п. Психологи установили, что в человеческом мозге почти вся числовая информация вербально перекодируется и хранится в виде лингвистических термов. Понятие лингвистической переменной играет важную роль в нечетком логическом выводе и в принятии решений на основе приближенных рассуждений. Формально лингвистическая переменная определяется следующим образом.

Определение 4. Лингвистическая переменная задается пятеркой , где x  - ; имя переменной; T  - ; терм-множество, каждый элемент которого (терм) представляется как нечеткое множество на универсальном множестве U; G - синтаксические правила, часто в виде грамматики, порождающие название термов; M  - ; семантические правила, задающие функции принадлежности нечетких термов, порожденных синтаксическими правилами G.

Таблица A.1 - Правила расчета функций принадлежности

Квантификатор	Функция принадлежности ( )
не t
очень t
более-менее t

Определение 5. Терм–множеством называется множество всех возможных значений лингвистической переменной.

Определение 6. Термом называется любой элемент терм–множества. В теории нечетких множеств терм формализуется нечетким множеством с помощью функции принадлежности.

Определение 7. Дефаззификацией называется процедура преобразования нечеткого множества в четкое число.

Определение 8. Нечеткой базой знаний о влиянии факторов на значение параметра y называется совокупность логических высказываний типа:

…

,

, для всех ,

где - нечеткий терм, которым оценивается переменная x_i в строчке с номером jp ( );

- количество строчек-конъюнкций, в которых выход y оценивается нечетким термом d_j, ;

m- количество термов, используемых для лингвистической оценки выходного параметра y.

С помощью операций (ИЛИ) и (И) нечеткую базу знаний из определения 8 перепишем в более компактном виде:

(1)

Для учета различной степени уверенности эксперта в адекватности правил используют весовые коэффициенты. Нечеткую базу знаний с весовыми коэффициентами правил можно записать следующим образом:

,

где   - весовой коэффициент правила с номером jp.

Определение 9. Нечетким логическим выводом называется аппроксимация зависимости с помощью нечеткой базы знаний и операций над нечеткими множествами.

Пусть - функция принадлежности входа x_i нечеткому терму , , , , т. е. ; -

функция принадлежности выхода y нечеткому терму d_j, , т. е. . Тогда степень принадлежности конкретного входного вектора нечетким термам d_j из базы знаний (1) определяется следующей системой нечетких логических уравнений:

, (2)

где  - операция максимума (минимума).

Нечеткое множество , соответствующее входному вектору , определяется следующим образом:

, (3)

где - операция объединения нечетких множеств.

Четкое значение выхода y, соответствующее входному вектору , определяется в результате деффаззификации нечеткого .

Определение 10. Нечетким числом называется выпуклое нормальное нечеткое множество с кусочно-непрерывной функцией принадлежности, заданное на множестве действительных чисел. Например, нечеткое число "около 10" можно задать следующей функцией принадлежности: .

Определение 11. Нечеткое число называется положительным (отрицательным) если .

Свойства нечетких множеств.

Определение 12. Высотой нечеткого множества называется верхняя граница его функции принадлежности: .

Определение 13. Нечеткое множество называется нормальным, если его высота равна единице. Нечеткие множества, не являющиеся нормальными, называются субнормальными. Нормализация ‑ преобразование субнормального нечеткого множества в нормальное , определяется так:

.

Определение 14. Носителем нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют ненулевые степени принадлежности: .

Определение 15. Нечеткое множество называется пустым, если его носитель является пустым множеством.

Определение 16. Ядром нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют степени принадлежности равные единице: . Ядро субнормального нечеткого множества пустое.

Определение 17.  -сечением (или множеством -уровня) нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества U, элементы которого имеют степени принадлежности большие или равные : . Значение называют -уровнем. Носитель (ядро) можно рассматривать как сечение нечеткого множества на нулевом (единичном) -уровне.

Определение 18. Нечеткое множество называется выпуклым если: , , . Альтернативное определение: нечеткое множество будет выпуклым, если все его -сечения - выпуклые множества.

Определение 19. Нечеткие множества и равны ( ), если .

Операции над нечеткими множествами.

Определения нечетких теоретико-множественных операций объединения, пересечения и дополнения могут быть обобщены из обычной теории множеств. В отличие от обычных множеств, в теории нечетких множеств степень принадлежности не ограничена лишь значениями 0 и 1 ‑ она может принимать значения из интервала [0, 1]. Поэтому нечеткие теоретико-множественные операции могут быть определены по-разному. Ясно, что выполнение нечетких операций объединения, пересечения и дополнения над не нечеткими множествами должно дать такие же результаты, как и при использовании обычных теоретико-множественных операций. Ниже приведены определения нечетких теоретико-множественных операций, предложенных Л. Заде.

Определение 20. Дополнением нечеткого множества , заданного на U, называется нечеткое множество с функцией принадлежности для всех .

Определение 21. Пересечением нечетких множеств и , заданных на U, называется нечеткое множество с функцией принадлежности для всех . Операция нахождения минимума также обозначается знаком , т.е. .

Определение 22. Объединением нечетких множеств и , заданных на U, называется нечеткое множество с функцией принадлежности для всех . Операция нахождения максимума также обозначается знаком , т.е. .

Нечеткие логические операции

Нечеткая логика является разновидностью многозначной логики, в которой значения истинности задаются лингвистическими переменными или термами лингвистической переменной "истинность". Правила выполнения нечетких логических операций получают из булевых логических операций с помощью принципа обобщения.

Определение 23. Обозначим нечеткие логические переменные через и , а функции принадлежности, задающие истинностные значения этих переменных через и , . Нечеткие логические операции И ( ), ИЛИ ( ), НЕ ( ) и импликация ( ) выполняются по таким правилам:

;

;

;

[108].