9. Уравнение бернулли и его применение в гидравлических расчетах
9.1. Уравнение Бернулли
Для идеально движущейся жидкости гидродинамическое давление по всем направлениям одинаково (Px = Py = Pz = P) и уравнение будет иметь вид:
– дифференциальные уравнения Эйлера движения идеальной жидкости. Они устанавливают связь между действительными силами, гидродинамическим давлением, скоростными плотностями.
Смысл каждого уравнения состоит в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорений от сил давления. Уравнения Эйлера справедливы для любого вида движения жидкости.
Существуют дифференциальные уравнения движения реальной жидкости, но они дают очень часто результаты, отличные от действительных соотношений между параметрами движения и вообще интегрируются лишь в немногих частных случаях. Поэтому основой для практических расчетов обычно служат уравнения Эйлера при условиях введения в них экспериментально проверенных и теоретически оправданных поправок на вязкость жидкости. В полученной системе четыре неизвестных и для ее решения обычно добавляется еще уравнение неразрывности.
Преобразуем уравнения Эйлера и произведем их интегрирование для некоторых частных случаев. Уравнения Эйлера умножим соответственно на dx, dy и dz и сложим их:
-
dx
dy
dz
Имеется в виду, что:
;
;
,
получим:
Учитывая, что давление P – есть функция координат, выражение в скобках является полным дифференциалом давления dP, а:
;
;
;
,
Выражение согласно последним уравнениям запишется в следующем виде:
.
(*)
Произведем интегрирование полученного уравнения для некоторых случаев движения.
Рассмотрим установившееся движение идеальной жидкости, например, струйки, если струйка расположена горизонтально и ось ОХ совпадает с осью струйки, ось OZ направлена вертикально вверх и, кроме того, на струйку из массовых сил действует только сила тяжести, что возможно при плавно изменяющемся движении жидкости, когда вектор скоростей имеют очень малый угол расхождения. Тогда силы инерции можно не учитывать. В этом случае проекции единичной массовой силы будут равны:
Х=0; Y=0; Z= - g ,
тогда уравнение (*) примет вид:
-
,
или, учитывая, что γ=ρg, можно записать:
.
Проинтегрируем полученное уравнение:
.
Полученное уравнение называется уравнением Бернулли, которое связывает скорость U, давление P и геометрическую высоту точек Z. Первоначально оно было получено Коши путем интегрирования дифференциальных уравнений Эйлера. Бернулли получил свое уравнение в 1788 году исходя из известного закона механики об изменении кинетической энергии (закон живых сил).
Механический смысл уравнения Бернулли вытекает из самого вывода и его можно пояснить так: работа сил тяжести и сил давления расходуется на изменение кинетической энергии движущегося участка струйки:
(Z1-Z2) – работа сил тяжести на единицу веса жидкости;
– работа сил
давления на единицу веса жидкости;
– изменение
кинетической энергии на единицу веса
жидкости.
Уравнение Бернулли с геометрической точки зрения можно сформулировать следующим образом: при установившемся движении идеальной жидкости сумма высот положения, давления и скоростной есть величина постоянная вдоль данной элементарной струйки.
Эта постоянная величина называется полным или гидродинамическим напором НD:
.
Энергетический смысл уравнения Бернулли выражается в законе сохранения энергии элементарной струйки.
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости записывается следующим образом:
,
где
–
потерянная удельная энергия или потеря
напора;
α – коэффициент кинетической энергии или коэффициент Кориолиса.
С физической точки зрения он представляет собой отношение кинетической энергии потока, подсчитанной по действительным скоростям течения в данном сечении, и кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости в этом же сечении:
.
Коэффициент α учитывает неравномерность распределения скорости по сечению и для труб он изменяется в диапазоне от 1,04…1,13.
Если для струйки идеальной жидкости уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения энергии, то для потока реальной жидкости оно является уравнением баланса энергии с учетом потерь. Уравнение Бернулли в таком виде справедливо лишь для установившегося движения и его можно применять только для тех сечений, где выполняются условия плавно изменяющегося движения.