Студенческая олимпиада вгту, 2005
1.
Вычислить интеграл
2.
Вычислить интеграл
3. Найти сумму ряда
4.Планета имеет форму тела, полученного вращением квадрата со стороной вокруг одной из диагоналей. Путешествие по планете считается кругосветным, если его маршрут- замкнутая кривая, симметричная относительно ее центра. Найти длину кратчайшего маршрута кругосветного путешествия.
5.Период
полураспада лекарства А равен двум
часам. Лекарство должно приниматься
как можно реже. Как часто и в каких
количествах следует его принимать,
если присутствие в организме более m
грамм А опасно, а менее
грамм – неэффективно?
6.
«От сосны к березе, повернуть направо,
пройти столько же. От сосны к дубу,
повернуть налево, пройти столько же.
Копать посередине. С этим указанием
флибустьера Рождерса Вы прибыли на
остров. Береза цела, дуб есть, сосна
исчезла…Можно ли найти клад? (Повороты
делать на 90
).
7.
Найти число с наименьшим модулем среди
комплексных чисел, удовлетворяющих
условию
.
8.Найти
.
9.
Найти
10.
Даны
различных натуральных чисел, меньших
.
Доказать, что из них можно выбрать три
таких числа, что одно из них равно сумме
двух других.
Студенческая олимпиада вгту, 2006
1.Найти
наибольшее значение функции
на
отрезке
(3
балла)
2.
Непрерывная функция
на отрезке
удовлетворяет соотношению
,
где
и
- различные вещественные числа,
.
Вычислить интеграл
.
(3 балла)
3.
Найти корни уравнения
.
(2 балла)
4. Найти сумму коэффициентов многочлена
при четных степенях . (2 балла)
5.
Найти
для матрицы
.
(2 балла)
6.
Известно, что
и что уравнение
не имеет действительных корней. Определить
знак коэффициента
.
(1 балл)
7. Построить график функции
.
(3 балла)
8.
Решить уравнение
.
(2 балла)
9.
Найти параболу, касающуюся эллипса
в точках (-1,-1) и (1,-1).
(2 балла)
10.
Внутри треугольника
взята точка
.
Доказать, что
.
(5 баллов)
Студенческая олимпиада вгту, 2007
1.
Даны ∆ABC
и ∆ABD,
имеющие общую сторону, причем A(1,0,1),
B(0,1,1),
C(1,1,0),
D(0,-1,0).
Доказать, что векторы
не
компланарны. Найти множество точек
,
таких, что отношение объемов
и
равно 2.
(2 балла)
2.При
каких
матричное уравнение
имеет
решение среди действительных
матриц? Найти его. (2 балла)
3.Вычислить
,
если
(4
балла)
4. Доказать, что уравнение
где
-
направляющие углы некоторого вектора,
имеет единственное решение, и найти
его. (2 балла)
5.
Пусть
Доказать, что найдется
такое, что
.
(3 балла)
6.
Вычислить
,
где
.
(4 балла)
7. Решить дифференциальное уравнение
(4
балла)
8.
Вычислить интеграл
(3 балла)
9. Вычислить интеграл ,
где (4 балла)
10.
Найти функцию
,
если
-
объем прямого кругового конуса,
-
величина угла между образующей и
плоскостью основания конуса,
-
площадь сечения конуса плоскостью,
параллельной основанию и проходящей
через центр вписанного в конус шара.
(3 балла)
11.
Доказать, что если
-
комплексные числа и
,
то
(4 балла)
12. Имеется цилиндрический стакан с жидкостью. Стакан начинают вращать вокруг его оси с постоянной угловой скоростью. Как известно, с течением времени жидкость примет вполне установившуюся форму - ее поверхность будет параболоидом вращения. Доказать, что самая низкая точка этого параболоида и самая высокая будут равноудалены от поверхности жидкости в состоянии покоя. (5 баллов)