Задача №2
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Решение. Напомним определение несобственного интеграла. Если существует конечный предел
,
то
этот предел называют несобственным
интегралом от функции
на
промежутке [a, +∞) и
обозначают
.
Следовательно, по определению
.
В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае – расходится.
Так как полученный предел не существует, то интеграл расходится.
.
В данном случае интеграл расходится.
Задача №3
Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями
и
.
Сделать чертеж.
Решение.
Если фигура ограничена графиками
функций
и
и соответствующими отрезками прямых
и
,
то ее площадь вычисляется по формуле
.
В нашем случае
и
,
a и b
– абсциссы точек пересечения указанных
прямых (рис.1).
y
2
0
1
3 4
-2
Рис. 1
Найдем эти значения.
,
,
.
Найдем площадь фигуры:
.
Задача №4
Вычислить
длину дуги кривой, заданной уравнением
.
Решение.
Длина дуги кривой, заданной уравнением
при
,
вычисляется по формуле
.
В
рассматриваемом случае
.
Поэтому
.
Задача №5
Вычислить
объем тела, полученного при вращении
вокруг оси
фигуры, ограниченной линиями
.
Сделать чертеж.
Решение.
Объем V тела, образованного
вращением вокруг оси Ox
фигуры, ограниченной графиком функции
,
отрезками прямых
и
и отрезком оси
,
равен
.
Изобразим указанную в условии задачи фигуру (рис. 2).
y
0
3 x
Рис. 2
По формуле находим:
.
Пример
6. Решить
уравнение
.
Решение.
Разделим обе части уравнения на
.
Получим
.
Полученное
уравнение имеет вид
,
где
и
.
Правая часть уравнения является функцией
одной переменной, следовательно, решаемое
уравнение - однородное. Сделаем замену
,
тогда
и уравнение принимает вид
,
где
-новая
неизвестная функция. Осталось решить
уравнение
или
Правая
часть этого уравнения представляет
собой произведение двух функций
и
зависит только от
,
-только
от
,
это уравнение с разделяющимися
переменными. Для его решения разделим
переменные. Умножая уравнение на
и деля на
,
получим
.
Интегрируя последнее равенство, найдем
(произвольную постоянную можно обозначить
не
,
а
).
Тогда
,
т.е.
;
.
Возвращаясь
к исходной неизвестной функции, имеем
.
Пример
7. Найти
частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
.
Решение.
Сначала находим общее решение уравнения.
Разделим уравнение на
Получим уравнение вида
,
где
т.е. линейное уравнение первого порядка.
Будем его решать методом Бернулли, т.е.
искать решение
в виде
,
где
подлежат определению. Поскольку
,
то уравнение
принимает
вид
В
качестве
возьмем любую функцию, обращающую в
ноль сомножитель при
,
т. е. частное решение уравнения
Это уравнение
с разделяющимися переменными, поэтому,
умножая его на
и деля на
,
получим
т.
е.
.
Следовательно,
(произвольная постоянная не добавляется,
так как берется частное решение).
Подставим найденное v в исходное уравнения, тогда второе слагаемое в правой части обратится в ноль, и для получим уравнение
;
.
Отсюда, используя формулу интегрирования по частям, найдем
Возвращаясь
к исходной неизвестной функции
,
находим общее решение:
Найти частное решение – это значит, определить, исходя из начальных условий, постоянную . Подставляя начальные условия, получим
,
откуда
.
Тогда частное решение запишется в виде
Пример 8. Решить уравнение
Решение.
Уравнение имеет вид
где
,
т.е. это уравнение Бернулли. Решение
уравнения будем искать в виде
.
Поскольку
,
то уравнение примет вид
Возьмем
в качестве
любую функцию, обращающую в ноль второе
слагаемое левой части, т.е. частное
решение уравнения
.
Это уравнение с разделяющимися
переменными. Его решение имеет вид
Подставляя найденное
в исходное уравнение, получим
Опять получили уравнение с разделяющимися переменными, решение которого
Возвращаясь к исходной неизвестной функции , находим решение
Некоторые типы уравнений второго порядка приводятся к уравнениям первого порядка.
Наиболее простым является тот случай, когда правая часть уравнения зависит только от х
.
Общее решение в этом случае получаем с помощью последовательного интегрирования
,
;
,
,
.
Решение
задачи Коши с начальными условиями
,
может быть записано в виде
.
На практике обычно не пользуются готовыми формулами, а, используя начальные условия, находят значения постоянных постепенно, в процессе интегрирования.
Пример
9.
Решить уравнение
.
Решение. Умножая обе части на и интегрируя, получим
,
;
,
.
Пример
10.
Найти решение уравнения
,
удовлетворяющее условиям
,
,
.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
.
Отсюда получим
,
.
Подставим
начальное условие
и найдем постоянную
,
.
Следовательно,
.
Умножая обе части уравнения на
и интегрируя, получим
,
.
Используя
начальное условие
,
получим
,
.
Получим частное решение, удовлетворяющее
начальным данным:
.
Уравнения
вида
,
которые не содержат явным образом
.
Обозначим производную
через
т.е.
Тогда
Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка.
Уравнения
вида
,
которые не
содержат явным образом
.
Положим
и, так как
,
то
для определения производной
применим правило дифференцирования
сложной функции
Подставляя
выражения производных в исходное
уравнение, получим уравнение первого
порядка относительно вспомогательной
функции
.
Пример
11.
Решить уравнение
.
Решение.
Вводим новую функцию
,
,
тогда
.
Подставив ее в уравнение, имеем
.
Это
линейное уравнение первого порядка
относительно
и его решение разыскиваем в виде
произведения
Учитывая
требования
,
,
находим функцию
:
подставляем в уравнение для определения
Отсюда
.
Таким
образом,
,
и можно найти функцию y
,
Пример
12.
Найти общий интеграл уравнения
.
Решение.
Уравнение не содержит явным образом
.
Следовательно, допускается понижение
порядка. Обозначим
Тогда
.
Получим
уравнение с разделяющимися переменными
,
интегрируя которое, находим
или
Откуда
Решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и непрерывной правой частью вида
(1)
ищется
в виде суммы
,
где
-частное
решение исходного уравнения (1), а
-общее
решение соответствующего однородного
уравнения
.
(2)
Вид
общего решения
определяется корнями характеристического
уравнения. Вид частного решения
-
видом правой части
уравнения (1).
1)
Пусть
(3)
где
-
многочлен
-ой
степени. Тогда существует частное
решение вида 
,
где
,
а
принимает одно из трех возможных значений
0, 1, 2:
2) Пусть правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде
(4)
где
и
степени многочленов
и
.
Тогда существует частное решение вида
(5)
где
,
-полные многочлены степени
,
а
принимает одно из двух значений 0 или
1:
Если
правая часть уравнения (1) может быть
представлена в виде суммы функций (3),
(4), т. е.
,
то частное решение уравнения ищется в
виде суммы
,
где
-частное
решение уравнения
,
а
-частное
решение уравнения
.
Пример 13. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
Общее решение уравнения имеет вид
,
где
-общее
решение однородного уравнения
.
Составляем и решаем характеристическое
уравнение
-частное
решение исходного уравнения, которое
определяем по виду правой части
Здесь
следовательно
2
5
1
0
1
Для
определения коэффициентов А
и В
нужно решение
и его производные подставить в исходное
уравнение. Для этого умножаем
соответственно на
,
и
(коэффициенты уравнения) и складываем.
Затем приравниваем коэффициенты при
в одинаковых степенях, представив правую
часть уравнения в виде
,
,
,
.
Решая
полученную систему, найдем
,
.
Следовательно,
.
Общее решение заданного уравнения имеет вид
.
Пример 14. Найти решение неоднородного уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
Решение.
Характеристическое уравнение
соответствующего однородного уравнения
имеет корни
и общее решение однородного уравнения
имеет вид
Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме
.
(
,
так как характеристическое уравнение
имеет корень, равный
).
Коэффициенты
определим,
подставляя решение частное решение в
исходное уравнение
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых функциях
в левой и правой частях тождества,
получим систему уравнений для определения
:
.
Решая
ее, найдем
:
и общее
решение неоднородного уравнения будет
иметь вид:
Чтобы определить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (решить задачу Коши), найдем производную общего решения неоднородного уравнения
Подставляя
найденное решение и его производную в
начальные условия, получим систему
уравнений для определения коэффициентов
:
Решая
ее, определим
:
.
Следовательно, искомое частное решение запишется в виде
.
Система дифференциальных уравнений вида
где
,
,
…,
- неизвестные функции независимой
переменной
,
называется нормальной системой.
Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , , …, , то система дифференциальных уравнений называется линейной.
Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению -го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).
Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.
Пример 15. Найти общее системы дифференциальных уравнений
Решение.
Продифференцируем по
первое уравнение:
.
Подставляя сюда выражения
и
из системы, получим
или
имеем
.
Характеристическое уравнение
имеет
корни
.
Следовательно, общее решение для
запишется в виде
Общее решение для находим из первого уравнения:
.
Пример 16. Найти общее системы дифференциальных уравнений
Решение.
Продифференцируем по
первое уравнение:
.
Исключая из полученного уравнения
,
имеем
.
Еще раз продифференцируем по
полученное уравнение второго порядка:
.
Исключая
,
получим
,
т.е. мы пришли к уравнению с одной неизвестной функцией. Решив это линейное однородное уравнение третьего порядка, получим
.
Общее уравнение для получим из первого уравнения системы:
или
.
Из
второго уравнения системы найдем
:
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица производных простейших элементарных функций.
I. (С) = 0.
II.
в
частности
III.
(logа
х)
=
logа
е,
в частности (ln
х)
=
.
IV.
в частности,
V. (sin х) = cos х.
VI. (cos х) = sin х.
vii.
(
)
=
VIII.
(ctg x)=
IX.
(arcsin х)
=
.
X.
(arccos x)
=
.
XI.
(arctg
x)
=
.
(arcctg x) =
.
XIII. (sh х) = ch х.
XIV. (ch х) = sh х.
(th x) =
XVI.
(cth
x)
=
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица интегралов простейших элементарных функций
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX
.
.
X.
XI.
.
XII.
XIII.
XIV.
