4.2. Ортогональное планирование первого порядка.

Ортогональное планирование – это такое планирование, при котором уровни факторов выбираются симметрично относительно центра плана.

В этом случае информационная матрица будет диагональной, что значительно упростит вычисление коэффициентов регрессии. Основным требованием ортогональности является выполнение условий:

и при . (4.6)

Рассмотрим пример ортогонального планирования.

Проводятся экспериментальные исследования зависимости коэффициента сцепления колесного движителя с пневматической шиной размером 12,00–20 от влажности грунта в относительных единицах и давления воздуха в шине . Требуется на основе результатов эксперимента получить математическую модель исследуемого явления.

По предварительной информации принято решение описывать рассматриваемое явление моделью первого порядка на двух уровнях по каждому из факторов:

. (4.7)

Число точек матрицы планирования равно

.

Для снижения статистических ошибок при оценке коэффициентов регрессии и возможности оценки воспроизводимости опытов, были проведены параллельные опыты, результаты которых представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Результаты испытаний

№ опыта	Уровни факторов		Значения функции отклика при параллельных опытах			Опытные средние арифметические
	Давление воздуха	Влажность грунта
1 2 3 4	2 2 5 5	0,38 1,17 0,38 1,17	0,81 0,53 0,91 0,21	0,96 0,44 0,74 0,28	0,90 0,47 0,84 0,26	0,89 0,48 0,83 0,25

Графическая интерпретация результатов эксперимента представлена на рис. 4.1.

Рис. 4.3. Поверхность функции отклика двухфакторной зависимости

на двух уровнях линейной модели ортогонального планирования

1. Кодируем уровни факторов:

, (4.8)

,

где – – центр плана (среднее значение уровней факторов).

2. Для определения значения свободного члена модели , введем фиктивную переменную и составим матрицу планирования для кодированного вида уровней факторов (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Матрица планирования двухфакторной зависимости на двух уровнях

в кодированном виде уровней факторов

№ опыта	Уровни факторов			Опытные средние значения функции отклика
	x0	x1 ( )	x2 ( )
1 2 3 4	1 1 1 1	-1 -1 1 1	-1 1 -1 1	0,89 0,48 0,83 0,25
		Σ= 0	Σ= 0

2. Составляем исходную и транспонированную матрицы

2. Для нахождения информационной матрицы умножаем слева исходную матрицу на транспонированную ( )

Коэффициенты уравнения регрессии можно определить при решении нормальных уравнений

,

.

Переходя от матричной формы записи к алгебраической, нормальные уравнения рассматриваемого примера запишутся

Из их решения

.

Тогда, в кодированном виде уравнение регрессии рассматриваемого примера запишется

Для получения окончательного выражения для математической модели явления перейдем от кодированных значений факторов к реальным

Поверхность функции отклика полученной линейной математической модели исследуемого явления показана на рис. 4.2.

Рис. 4.4. Вид поверхности функции отклика математической модели

исследуемого явления

Полученное регрессионное уравнение раскрывает зависимость функции отклика от каждого из факторов, а по величине коэффициентов регрессии можно судит о степени влияния каждого из факторов на величину функции отклика.