4. ЦИфровые системы автоматики
4.1. Определение дискретной системы. Разностные
уравнения
Входные и выходные сигналы непрерывных систем являются функциями непрерывного времени t.
Если независимая переменная t принимает только конечное множество значений , то сигнал называется дискретным.
Формулирование дискретного сигнала можно представить себе следующим образом (рис.4.1).
54
Рис. 4.1
g(t)
Пусть имеется ключ Кл (рис. 4.1), который включается на очень короткий промежуток времени . Если на вход такого ключа подать непрерывный сигнал g(t), то на его выходе образуется последовательность импульсов g*(t). Причём величена (амплитуда) каждого из импульсов, будет равна амплитуде непрерывного сигнала в дискретные моменты . В дальнейшем принимают, что интервал , (называемый интервалом или шагом дискретизации по времени) является постоянным =const. Поэтому для интервала наблюдения имеем:
;
где К – целое число.
Ключ по существу является импульсным амплитудным модулятором непрерывного сигнала и называется импульсным элементом.
Известно, что непрерывные системы описываются дифференциальными уравнениями, а дискретные – разностными уравнениями.
Понятие разностного уравнения поясним на следующем примере. Предположим, что нам необходимо вычислить интеграл:
(4.1)
55
Предположим, что подынтегральная функция не интегрируемая в замкнутом контуре. Тогда обычный прием интегрирования заключается в том, что функция u(t) аппроксимируется кусочно-постоянной функцией (t) (рис. 4.2), причём
,
(4.2)
Формула (1.2) требует запоминания всех прежних значений сигнала для того, чтобы определить значение интеграла в данный момент .
Гораздо более простой способ состоит в том, что вначале находят:
, (4.3)
а затем вычисляют выражение для разности (4.2) и (4.3):
56
(4.4)
или
(4.5)
Согласно (4.5), необходимо запомнить только предыдущее значение интеграла и его значение в данный момент времени, чтобы определить значение интеграла в последующий момент .
Выражение (4.5) является разностным уравнением 1-го порядка. Алгоритм его решения заключается в следующем:
1).запоминается начальное условие: y(0)=0 – начальная сумма;
2).формулу (4.5) применяют последовательно для значений к = 0, 1, 2, …, то-есть:
…………….
На каждом шаге этого итерационного процесса каждое последующее значение выхода вычисляют сложением его предыдущего значения c предыдущем значением выхода , умноженным на .