Преобразования математических моделей в процессе получения рабочих программ анализа
При определении класса функциональных математических моделей на различных иерархических уровнях как системы уравнений определенного типа, подразумевает выбор численного метода решения уравнений и преобразование уравнений в соответствии с особенностями выбранного метода. Конечная цель преобразований - получение рабочей программы анализа в виде последовательности элементарных действий, реализуемых командами ЭВМ. Все указанные преобразования исходной ММ в последовательность элементарных действий ЭВМ выполняет автоматически по специальным программам, создаваемым инженером-разработчиком САПР. Инженер-пользователь САПР должен указать, какие имеющиеся программы он хочет использовать. Процесс преобразований ММ, относящихся к различным иерархическим уровням, иллюстрирует рисунок 1.
Рис. 1.
Инженер-пользователь задает исходную информацию об анализируемом объекте и о проектных процедурах, подлежащих выполнению, на удобном для него проблемно-ориентированном входном языке программного комплекса. Ветви 1 на рисунке 1 соответствует постановка задачи, относящейся к микроуровню, как краевой, чаще всего в виде ДУЧП. Численные методы решения ДУЧП основаны на дискретизации переменных и алгебраизации задачи.
Применяют различные способы дискретизации и алгебраизации переменных при решении ДУЧП. Эти способы составляют сущность методов числового решения; большинство используемых методов относится либо к методам конечных разностей, либо к методам конечных элементов. Если ДУЧП стационарное, то дискретизация и алгебраизация преобразует ДУЧП в систему алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных (ветвь 2 на рисунке 1). Если ДУЧП нестационарное, то дискретизацию и алгебраизацию можно представить состоящей из двух этапов:
устранение производных по пространственным координатам (ветвь 3), результат - система ОДУ;
устранение производных по времени (ветвь 4).
Для числового решения ОДУ при заданных начальных условиях (задача Коши) разработано большое количество численных методов, причем многие из эффективных методов получили развитие под влиянием потребностей автоматизированного проектирования. Специфика алгебраизации производных по времени и обусловливает целесообразность выделения для ветви 4 специальных средств математического и программного обеспечения, отличных от таких же средств для ветвей 2 и 3.
Сведение задачи решения алгебраических уравнений к последовательности элементарных операций может быть либо непосредственным (ветвь 5), например, на основе методов простых итераций или релаксации, либо через посредство предварительной линеаризации уравнений (ветвь 6), что составляет сущность метода Ньютона. Решение, системы линейных алгебраических уравнений в этом случае (ветвь 7) выполняется с помощью прямых методов (метода Гаусса).
Ветви 8 на рисунке 1 соответствует преобразование исходного описания задачи, относящегося к макроуровню, в систему ОДУ с известными начальными условиями. Если это система нелинейных ОДУ, то дальнейшие преобразования происходят по охарактеризованным выше ветвям 4, 6, 7 или 4, 5; если же система линейных ОДУ, то целесообразен непосредственный переход к системе линейных алгебраических уравнений (ветвь 9).
Для анализа объектов на метауровне применяют либо переход к системе ОДУ (ветвь 10), либо переход к системам логических уравнений, моделям массового обслуживания или аналитическим моделям, отображающим упрощенно технико-экономические показатели объекта (ветвь 11). Сведение этих форм моделей в последовательность элементарных вычислительных операций (ветвь 12) не вызывает затруднений.
Сказанное показывает важное значение, отводимое в математическом обеспечении САПР численным методам решения систем ОДУ, нелинейных и линейных алгебраических уравнений. Из рисунка 1 видно, что такие системы уравнений приходится решать при проектировании объектов на микро- и макроуровнях, а часто и на метауровне. От эффективности этих методов существенно зависит общая эффективность выполнения проектных процедур функционального проектирования.
Воронежский государственный технический университет
УДК 681.3
Е.Д. Федорков, С.В. Лобанова