Учебное пособие 2152
.pdf
11
Таблица 1
Траектории, векторы скорости и ускорения точки
Характер дви- |
|
|
|
|
|
|
|
Траектории, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
векторы ско- |
|||||||||||||||
жения |
|
|
|
|
|
|
рости и уско- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рения |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Прямолинейное |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
равномерное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямолинейное |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
переменное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Криволинейное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равномерное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Криволинейное |
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Направление вектора скорости определяется по направляющим косинусов
Cos (V,x)= , при движении точки в плоскости (см. рис.11).
y |
|
|
|
|
В |
|
|
М |
y |
A |
y |
|
|
|
О |
x |
X |
|
||
|
|
Рис. 11. Схема определения модуля и направления скорости точки в прямоугольных координатах
12
Ускорение точки тоже величена векторная, она характеризует быстроту изменения скорости как по величине, так и по направлению. Если движение точки задано в декартовых координатах, то модуль ускорения находится через его проекции на оси ОХ и OY (см. рис.4).
; ; . (14)
Направление вектора ускорения определяется по направляющим косинусов (рис.12).
y
М
y
A
O x
Рис. 12. Схема определения модуля и направления ускорения точки
сos( ,х)= |
|
; сos( , |
|
– при |
|
|
|||
движении точки в плоскости. |
|
|
||
В |
|
|
||
x
Метод исследования движения точки, заданного естественным способом, рассмотрен выше. Студентам следует помнить о размерности скорости [м/с] и ускорения [м/с ].
2. Задания для самостоятельного решения
Схемы исследуемых механизмов и параметры схем даны в разделе 2.1.. На каждой схеме показано направление движения входного звена стрелкой.
В табл. 2 дан закон движения входного звена: φ=(t) при вращательном и S=S(t) при поступательном движении. В этой же таблице приведены геометрические параметры схем механизмов и задано значение времени t.
Для точки М заданного механизма определить:
1)уравнение движения точки М;
2)траекторию движения точки М (вычертить ее в масштабе);
3)скорость, ускорение (касательное, нормальное и полное) точки М и ρ - радиус кривизны её траектории в общем виде(функция времени);
4)скорость, ускорение точки М и радиус кривизны её траектории для заданного момента времени (показать их на чертеже в масштабе);
13
Выполнить проверку определения радиуса кривизны, используя выражение из курса высшей математики:
2.1. |
Схемы вариантов механизмов |
|
|
1 |
|
4 |
|
Y |
|
V |
A |
|
|
||
A |
|
|
|
M |
|
S |
M |
|
|
||
O |
B |
|
|
|
|
|
|
|
X |
O |
|
5 Y |
A |
|
|
|
3 |
V |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
X |
|
O |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
2 |
|
Y |
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
||
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
X |
|
O |
|
|
|
|
B
X
A
X
X
14
|
|
Параметры схем механизмов решения задачи |
Таблица 2 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Размеры звеньев |
Законы движения |
Положе- |
|
Времяt |
|||
|
|
|
|
|||||||
Номер |
Номер |
|
|
|
|
звена |
ние точки |
|
||
вариа- |
|
L |
r |
φ=φ(t) |
|
S=S(t) |
М |
|
|
|
схемы |
|
|
|
|
||||||
нта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см |
см |
рад. |
|
см |
АМ,см |
|
Т,сек. |
1 |
1 |
|
54 |
54 |
πt |
|
|
l/3L |
|
1/3 |
2 |
2 |
|
15 |
15 |
2 πt |
|
|
0 |
|
1/4 |
3 |
3 |
|
40 |
|
|
|
40Sin πt |
l/2L |
|
1/3 |
4 |
4 |
|
30 |
|
|
|
30Cos πt |
l/3L |
|
1/4 |
5 |
5 |
|
40 |
|
|
|
40 Sin πt |
l/4L |
|
1/3 |
6 |
6 |
|
60 |
|
|
|
60 Cos2 πt |
l/3L |
|
1/6 |
7 |
1 |
|
60 |
60 |
3 πt |
|
|
l/4L |
|
1/3 |
8 |
2 |
|
10 |
10 |
πt |
|
|
1/2L |
|
1/6 |
9 |
3 |
|
60 |
|
|
|
60 Cos πt |
l/3L |
|
1/4 |
10 |
4 |
|
30 |
|
|
|
30 Sin 2πt |
2/3L |
|
1/3 |
11 |
5 |
|
30 |
|
|
|
30 Cos πt |
l/3L |
|
1/6 |
12 |
6 |
|
40 |
|
|
|
40Sin2πt |
l/2L |
|
1/4 |
13 |
1 |
|
50 |
50 |
2 πt |
|
|
l/2L |
|
1/2 |
14 |
2 |
|
10 |
10 |
2 πt |
|
|
1/3L |
|
1/6 |
15 |
3 |
|
20 |
|
|
|
20 Sin πt |
1/3L |
|
1/4 |
16 |
4 |
|
15 |
|
|
|
15 Cos πt |
2/3L |
|
1/4 |
17 |
5 |
|
20 |
|
|
|
20 Sin πt |
1/4L |
|
1/8 |
18 |
6 |
|
30 |
|
|
|
30 Cos3 πt |
2/3L |
|
1/6 |
19 |
1 |
|
15 |
15 |
πt /2 |
|
|
2/3L |
|
1/2 |
20 |
2 |
|
20 |
15 |
πt |
|
|
l/2L |
|
1/4 |
21 |
3 |
|
20 |
|
|
|
20 Sin3 πt |
l/4L |
|
1/6 |
22 |
4 |
|
20 |
|
|
|
20 Cos 2πt |
l/2L |
|
1/6 |
23 |
5 |
|
40 |
|
|
|
40 Sin πt |
l/4L |
|
1/4 |
24 |
6 |
|
40 |
|
|
|
40 Cos πt |
3/4L |
|
1/3 |
25 |
1 |
|
20 |
20 |
πt /4 |
|
|
l/4L |
|
1 |
Втаблице: г – длина кривошипа ОА, а L – длина шатуна АВ.
2.2.Рекомендации к решению задачи
1.Выбрать систему координат XOY, изобразить её на чертеже.
2.Показать заданную схему механизма в координатах XOY.
15
3.Выразить уравнение движения точки М в выбранной системе координат: x=f1(t) и y=f2(t) [1,6], для чего найти переменный угол φ из треугольника АОВ.
4.Определить траекторию движения точки М, исключая из уравнений движения время t и её характер (вид).
5.Определить проекции скорости точки М на оси OX и OY и выразить её величину (рис. 14 1 ):
Vм= |
|
|
|
. |
(15) |
6. Выразить проекции ускорения точки М в выбранной системе координат XOY и определить её величину (рис.14 2 ):
ам= |
|
(16) |
|
7. Для определения радиуса кривизны выбрать естественную систему координат, принимая за их начало непосредственно точку M(М ;Мн).
8. Определить проекцию ускорения данной точки на касательную ( ).
9. |
Зная полное ускорение точки |
М и её |
касательную составляющую |
||||
( ; |
), определить нормальную составляющую ( |
н) ускорения (рис.14 3 ): |
|||||
|
|
|
|
|
. |
(17) |
|
|
|
|
|
||||
10. Определить радиус кривизны траектории данной точки, используя из- |
|||||||
вестное выражение: |
|
|
|
|
|
||
|
ρ= |
|
|
. |
|
(18) |
|
|
|
|
|
||||
11.Положение точки М в данный момент времени показать на чертеже.
12.В масштабе (величину его выбирает студент) показать векторы проек-
ций скорости VM на оси X и Y и их геометрическую сумму, которая должна быть касательной к траектории точки М.
13.Аналогично в графической форме показать проекции ускорения точки
Мкак на декартовые, так и на естественные оси координат (рис. 14).
16
14. Используя известное выражение из высшей математики, проверить результаты расчетов радиуса кривизны по формуле
|
|
|
′ |
/ |
, |
|
|
|
′′ |
|
|
где |
и |
– 1-я и 2-я производные |
закона движения звена точки М |
||
[φ=φ(t),s=s(t)]. |
|
|
|
|
|
3.Вопросы для самоконтроля
1.Какие кинематические способы задания движения точки существуют и в чём состоит каждый из этих способов?
2.Как по уравнениям движения точки в координатной форме определить её траекторию?
3.Чему равен вектор скорости точки в данный момент времени и какое направление он имеет?
4.Чему равна проекция скорости точки на касательную к её траектории и модуль её скорости?
5.Как определяются проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат?
6.Как направлены естественные координатные оси в каждой точке кри-
вой?
7.Что характеризуют собой касательное и нормальное ускорения точки?
8.При каком движении точки равно нулю касательное ускорение и при каком – нормальное ускорение?
9.Как классифицируются движения точки по ускорениям?
10.В какие моменты времени нормальное ускорение в криволинейном движении может обратиться в нуль?
11.В какие моменты времени касательное ускорение в неравномерном движении может обратиться в нуль?
17
4 . Пример решения задачи
Для заданной схемы механизма (рис. 13 ) требуется определить траекторию движения точки М(y=f(x)), её скор остьVm, ускорение и радиус кривизны ρm
траектории в момент времени t=⅓ c.
Рис. 13. Сх ема механизма к задаче
Концы стреж ня АВ движутся по двум взаимно перпенди кулярным прямым X и Y, причем угол φ изменяется п ропорционально времени по закону φ = πt. Длина стержня АВ=30 см; точка М принадлежит сте ржню и находится от точки В на расстоянии МВ=20 с м (рис. 13).
|
Решение |
|
1. |
Запишем ур авнение движения точки М в декартовой системе координат: |
|
|
Xm=МА сos πt, (M A=10) ; |
(20) |
|
Ym=МB sin πt (M B=20). |
|
2. |
Исключим из этих уравнений время t: |
|
|
= |
; |
|
, |
|
(21) |
|
|
|
; |
|
. |
22 |
|
18
После преобразований получаем уравнение эллипса
м |
м |
1. |
(23) |
3. Определим полуоси (a, b) эллипса:
x=0; y=b=√400= 20;
y=0; x=a=√ |
100 |
10. |
Как видим, эллипс вытянут по оси OY. Выразим точки в системе координат X,Y для его построения:
Таблица 3
Координаты точек эллипса
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
19,9 |
19,6 |
19,0 |
18,3 |
17,3 |
16,0 |
14,3 |
12 |
8,7 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Еще раз выделим координаты точки М:
Хm=10 соsπt=10 сos π ⅓= 10сos 600=5,
|
|
|
|
Ym=20 sin πt=20 sin π⅓=20 sin 600=10√ |
3 |
17,3. |
|
|||||
4. Выразим скорость точки М в системе её проекций на оси X и Y: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Vx= |
|
= (10 сos |
-10π sin πt ; |
|
(24) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Vy= |
|
= (20 sin πt) = 20π сos πt ; |
|
(25) |
|||
=10π |
|
|
|
|
. |
10 |
|
20 с |
√ |
2 с |
(26) |
|
Vm= |
√1 |
3с |
= |
|
|
|
|
= 10π |
|
= |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19
Выразим скорость точки М для момента времени t=⅓c:
Vx=-10π sin πt= -10π |
|
3 |
|
= -5π |
|
|
|
= -27,2 см/c; |
|||||
|
√3 |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Vy=20π cos πt=20π |
|
= 10π=31,4 см/c; |
|||||||||||
|
|||||||||||||
Vm=10 √1 3 |
= 10 |
1 |
3 |
|
|
|
= 5π√ |
7 |
= 41,54 cм/c. |
||||
|
|
|
|||||||||||
5. Выразим ускорение точки М (ам) в проекциях на оси координат X и Y:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (-10π sin πt) |
= -10 cos πt; |
|
|
|
|
(27) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=( 20π cos πt) |
=-20 |
|
|
πt ; |
|
|
|
|
(28) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
20 |
|
= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
=10 √1 |
3 |
|
|
|
|
|
= 10 |
√ |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(29) |
|||||
Численное значение ускорения точки :0 |
|
5 |
|
|
49,34 см/ |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
10 |
060 |
= |
|
|
|
; |
2 |
|
||||||||||
|
20 |
|
|
|
|
|
|
20 |
60 |
|
|
10 √ |
3 |
= |
170,942 |
см/ |
|
; |
|||||||
|
= |
49,34 |
|
170,94 |
|
=177,92 см/ . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Для определения радиуса кривизны |
траектории в точке М выразим проек- |
||||||||||||||||||||||||
цию её ускорения ( |
на естественныем оси координат (проекция |
|
|
на каса- |
|||||||||||||||||||||
тельную |
м): |
10 √1 |
3 |
|
|
= 10π(1+3 |
½ (1+3 |
|
) = |
||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
-10 |
|
√ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(30) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
20
6. Нормальное ускорение точки М может быть выражено по формулам 29 и 30 из соотношения:
; |
(31) |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
н |
10 |
1 |
3 |
10 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
√1 |
|
|
|||||||
10 |
|
1 3 |
|
3 |
1 3 |
|
20 |
|
; |
32 |
|
|
|
|
|
√1 3 |
|
||||||
7.Выразим численные значения ( ) тангенциального и нормального ( н) ускорений точки М по формулам (30) и (32):
10 |
|
3 |
1 |
600 |
600=- 96,72 см/c2, |
|
|
|
3 |
2600 |
|||
|
|
|
|
|
|
= 149,54 см/c2. |
н √ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
8. |
Известно выражение нормального (центростремительного) ускорения |
||||||||||||||||
|
вавшись, |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
искомый в нашей задаче радиус кривизны. Воспользо- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
выражениями формул (27) и (32), можно записать: |
|
|||||||||
|
м= |
м |
= |
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
= 5 1 |
3 |
/ . |
(33) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9. |
Численное значение м: |
3/2 |
2 |
3/2 |
=11,58 см. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
м |
1 3 |
|
|
|
= 5(1+3 ½) ) |
|
|
|||