Учебное пособие 2121

Из соотношения (3.7) следует, что гамильтониан кристалла представляет собой сумму гамильтонианов (3.8), каждый из которых зависит от координат одной частицы. Для этого случая волновая функция системы частиц может быть представлена как произведение волновых функций, описывающих состояние отдельных частиц системы:

Это означает, что электроны ведут себя независимо друг от друга, а полная энергия системы частиц равна сумме энергии отдельных электронов:

Введение самосогласованного поля позволяет рассматривать электроны в кристалле как невзаимодействующие частицы. Это и является основанием для представления электронов проводимости в виде идеального газа.

Таким образом, введение самосогласованного поля позволяет задачу многих частиц свести к задаче для одного электрона:

где Ĥi, Ψ(r), Е – соответственно гамильтониан, волновая функция и энергия электрона в кристалле.

3.1.3. Приближения слабо и сильно связанных электронов

Если ввести обозначение для потенциальной энергии электрона в кристалле через функцию V(r), то уравнение Шредингера для электрона кристалла запишется в виде

61

Принимается, что член V(r) в уравнении (3.12) есть полный потенциал кристалла, обладающий трехмерной периодичностью решетки.

Стационарная волновая функция электрона в периодическом поле кристалла зависит от волнового вектора k и имеет вид:

где eikr – плоская волна, бегущая в направлении вектора k; Uk(r) – некая функция координат, зависящая от волнового вектора k и имеющая периодичность решетки. Выражение

(3.13) для Ψ(r) носит название волны (или функции) Блоха.

Следовательно, волновая функция электрона в периодическом поле кристалла представляет собой плоскую модулированную по амплитуде с периодичностью решетки кристалла волну, бегущую в направлении волнового вектора.

Если функцию Блоха (3.13) подставить в (3.11), то будем иметь:

Из (3.14) следует, что энергия электрона в кристалле должна зависеть от волнового вектора k, т. е. Е = Е(k).

Следовательно, решением уравнения Шредингера для электрона в периодическом поле кристалла является бегущая плоская волна, модулированная с периодичностью решетки, а закон дисперсии для энергии электрона в кристалле зависит от волнового вектора k.

Если считать, что кинетическая энергия электронов значительно больше пространственных изменений его потенциальной энергии, то периодический потенциал V(r) можно рассматривать как малое возмущение свободного движения

62

электронов. Такой подход, получивший название приближе-

ния почти свободных электронов, дает удовлетворительные результаты при решении некоторых задач для металлов.

Анализ свойств полупроводников более нагляден в

приближении сильно связанных электронов, в котором счита-

ют, что состояние электрона в кристалле мало отличается от его состояния в изолированном атоме. Но такой подход применим только для электронов, находящихся на глубоких энергетических уровнях атомов, т.е. он применим для электронов, которые слабо взаимодействуют с атомами других узлов решетки. Поэтому приближения ни слабо, ни сильно связанных электронов не позволяют количественно описать состояние валентных электронов в кристалле, но они хорошо иллюстрируют общие закономерности движения электрона в периодическом поле кристалла.

3.1.4. Энергетический спектр электронов в кристалле

Для нахождения собственных значений энергии Е электрона в кристалле при решении уравнения Шредингера будем считать, что энергетический спектр изолированного атома известен. Учитывая обменный интеграл А(Rg – Rg’), зависящий от степени перекрытия волновых функций атомов и энергии возмущения, а также интеграл S(Rg – Rg’), зависящий только от перекрытия атомных волновых функций, можно найти собственные значения энергии электронов в кристалле:

(3.15)

где Еа – энергия электрона на некотором уровне в изолированном атоме.

63

Из (3.15) следует, что энергия электрона в кристалле складывается из его энергии Еа и добавочного члена, представляющего собой периодическую функцию волнового вектора k. Теперь вместо одного атомного уровня для электронов в кристалле имеем энергетическую зону, границы которой определяются минимальным и максимальным значениями второго члена в (3.15).

Рассмотрим более подробно добавочный член в (3.15). Для упрощения будем считать, что атомные волновые функции очень быстро спадают и поэтому можно пренебречь их перекрытием даже для соседних атомов. Такое допущение является обоснованным в приближении сильно связанных электронов.

В простой кубической решетке с периодом а каждый атом окружен шестью ближайшими атомами. Если оси x, y, z направить по ребрам куба, то около узла с q = 0 соседние узлы будут расположены на расстоянии q = +а и q = - а. Поэтому выражение для энергии электрона в периодическом поле простой кубической решетки примет вид:

E = Ea + C + 2A(cos kxa + cos kya + cos kza). (3.16)

Из анализа данного выражения можно сделать ряд выводов относительно энергетического спектра электронов в кристаллах.

1.Уровень Еа изолированного атома при образовании кристаллической решетки в результате взаимодействия атомов смещается на величину С. Направление смещения зависит от знака С.

2.Атомный уровень в кристаллической решетке расщепляется в полосу или зону, внутри которой энергия электрона периодически зависит от компонент волнового вектора k.

64

3. Экстремальные значения выражения (3.16), имеющие место при cos kia = ±1 (i = x, y, z), будут:

Emax = Ea + C + 6A,

Emin = Ea + C - 6A.

Следовательно, для простой кубической решетки

т.е. зависит от величины обменного интеграла.

4. Каждый энергетический уровень изолированного атома в кристалле расщепляется в зону. Поскольку величина обменного интеграла определяется перекрытием электронных облаков соседних атомов, то, чем сильнее перекрываются волновые функции электронов соседних атомов, тем больше А и, следовательно, тем больше ширина энергетической зоны. В силу этого для более высоких атомных уровней из-за большего перекрытия волновых функций электронов образуется более широкая энергетическая зона (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Образование зон энергии из энергетических уровней при сближении атомов: а – постоянная решетки

кристалла

65

5.Энергетические зоны в общем случае разделены

запрещенными интервалами энергии Eg, называемыми запре-

щенными зонами (рис. 3.1).

6.С ростом энергии ширина энергетических зон увеличивается, а ширина запрещенных зон уменьшается (рис.

3.1).

7.Уровень Еа в изолированном атоме может быть вырожденным. В кристаллической решетке вырождение может быть частично или полностью снято. При этом атомный уровень расщепляется на несколько зон, число которых соответствует степени его вырождения. Например, для р-состояния фактор вырождения g = 3, так как g = 2l + 1, где l – азимутальное квантовое число, которое для р-состояния равно 1. Следовательно, из атомного р-состояния в кристалле возможно образование трех зон.

8.Энергия электрона в кристалле зависит от компонент волнового вектора k. Она является четной функцией волнового вектора k, т.е. E (k) = E (- k).

9.При воздействии на кристалл температуры и давления, приводящих к изменению расстояния между атомами, будут изменяться области перекрытия волновых функций электронов и, следовательно, значение обменного интеграла. Это вызовет изменение ширины энергетических зон. В результате изменится и ширина запрещенной зоны между этими зонами.

10.Метод сильной связи неприменим к внешним валентным электронам атомов кристаллов, так как из-за большого перекрытия волновых функций электронов соседних атомов ширина энергетической зоны валентных электронов примерно равна расстоянию между уровнями энергии в изолированном атоме или превосходит их.

66

3.2.Элементарная теория электропроводности

Вотсутствие внешнего электрического поля свободный электрон, совершая тепловое движение в кристалле, сталкивается с дефектами кристаллической решетки, в результате чего изменяется направление его движения. В силу этого тепловое движение свободного носителя заряда является беспорядочным.

Расстояние, проходимое свободным носителем заряда между двумя столкновениями, называют длиной свободного пробега, а усредненное значение всех отрезков пути, прой-

денного носителем, есть средняя длина свободного пробега.

Время между двумя соударениями и его усредненное значе-

ние называют временем свободного пробега и средним вре-

менем свободного пробега.

Средняя длина свободного пробега l и среднее время

где v0 – средняя скорость теплового движения свободного носителя заряда.

В полупроводниках при комнатной температуре скорость теплового движения электронов порядка 107 см/с, а ее средняя величина, равна нулю. Поэтому в отсутствие внешнего электрического поля суммарный заряд, переносимый в любом направлении, равен нулю.

Оценим величину плотности тока для донорного полупроводника, электроны проводимости которого будем рассматривать как идеальные частицы, не имеющие собственного объема и не взаимодействующие друг с другом. Так как по классической теории радиус электрона r0 ~10-13 см, то при концентрации их п ~1022 см-3 объем электронов составляет ~10-17 объема вещества и первое предположение вполне оправдано.

67

Расстояние, которое пройдут все электроны по направлению х, совпадающему с направлением внешнего электриче-

Есть определенная вероятность того, что среди электронов имеются такие, которые обладают одним и тем же временем свободного пробега l. Это электроны, испытавшие соударения в момент времени от t до t+dt. Количество таких электронов согласно (3.20) составит п dt/ , время их движения будет t п dt/. Тогда, интегрируя это выражение по всем временам свободного пробега, которые вследствие случайного характера столкновений могут принимать значения от 0 до , определяем время движения электронов

Воспользовавшись выражениями (3.26), (3.27) и (3.21), получаем:

69

Среднее время свободного пробега есть , т. е. среднее время движения электронов между двумя соударениями. Тогда, скорость дрейфа электронов

пропорциональна напряженности электрического поля, времени свободного пробега и обратно пропорциональна массе электрона. Параметр, связывающий дрейфовую скорость носителей заряда с напряженностью электрического поля, назы-

вают подвижностью носителей заряда .

т. е. подвижность носителей заряда численно равна скорости дрейфа в электрическом поле единичной напряженности.

С учетом (3.31) выражение (3.19) для плотности тока

так как вектор скорости электронов v направлен в противоположную сторону вектора E. Удельная проводимость на основании закона Ома может быть выражена при помощи (3.32) как

С учетом (3.31) удельная проводимость

Если выразить из (3.18), то соотношение (3.34) можно записать в виде

70