Учебное пособие 2064

Рис. 1.23. Криостат для измерения термоЭДС дифференциальным методом: 1,2 — соответственно холодный и горячий спаи первой термопары (Au+Fe) — хромель (касаются исследуемого образца точно в том месте, где находятся контакты термопары Pb — образец); 3 — точка касания образца второй термопары (Au+Fe) — хромель; 4 — нагреватель, навитый на образец;

5 — стержень, связывающий все элементы конструкции; 6 — уплотнение из эпоксидной смолы, через которые выведены концы термопары

В установке применены цельные свинцовые проволочки, которые пропущены через трубку, служащую для откачки, а затем выведены из криостата через специальные уплотнения 6 из эпоксидной смолы. Такая конструкция минимизирует ложные ЭДС в термоэлектрической цепи. Подобные предосторожности не нужны для подводов к измерительным термопарам, поскольку их термоЭДС обычно много больше той, которую дает образец. Во всяком случае, влияние ложных ЭДС можно исключить, для ряда значений ∆Т от 0 до 0,5 К (вблизи температуры 300 К) или от 0 до 0,1 К (вблизи 4,2 К) построить зависи-мость ∆U = f(∆Т). Наклон получаемой прямой линии характеризует измеряе-мую дифференциальную термоЭДС образца, а ложные термоЭДС определяют величину отрезка, который эта линия отсекает на оси ∆U.

Контрольные вопросы

1. Назовите единицы измерения удельного электрического сопротивле-

ния.

2. Какие методы исследований используют при измерении электропроводности металлов?

51

3.Какие методы используют при измерении электропроводности полупроводников?

4.Назовите величину, определяющую отношение электрического напряжения к току.

5.Можно ли четырехзондовый метод применить для измерения электропроводности тонких пленок.

6.Каким методом можно измерить электрическое сопротивление полупроводниковых образцов произвольной формы?

7.Какую плотность тока используют при измерении удельного электрического сопротивления в полупроводниках двухзондовым методом?

8.Как повысить чувствительности двухзондового метода измерения электрического сопротивления полупроводников?

9.Назовите недостатки бесконтактных методов измерения электрической проводимости.

10.По какой формуле определяют удельное электрическое сопротивление полупроводников при использовании четырехзондового метода измерения?

11.По какой формуле определяют удельное электрическое сопротивление полупроводниковых тонких пленок при использовании четырехзондового метода измерения?

12.По какой формуле определяют удельное электрическое сопротивление полупроводников при использовании двухзондового метода измерения?

13.На каком расстоянии от границы образца можно использовать четырехзондовый метод измерения удельной электрической проводимости?

14.Назовите основные методы измерения термоЭДС.

15.Назовите основные методы определения типа (знака) носителей заряда в полупроводниках.

16.Какие параметры металлов можно определить по температурной зависимости электропроводности?

17.Какие параметры полупроводников можно определить по температурной зависимости электропроводности?

18.По какой формуле можно рассчитать ширину запрещенной зоны по температурной зависимости проводимости?

52

2. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЭФФЕКТА ХОЛЛА

2.1. Эффект Холла и сопутствующие ему явления

Эффект Холла представляет собой один из гальваномагнитных эффектов, наблюдающихся в веществе при совместном действии электрического и магнитного полей. Простейшее описание эффекта Холла можно получить при рассмотрении движения заряженной частицы в магнитном поле под действием силы

Пусть на полупроводник в виде тонкой пластины, по которой в направлении х протекает электрический ток плотностью j, вдоль оси z воздействует магнитное поле с индукцией В. Скорость дрейфа носителей заряда в электрическом поле равна v = j/ne. При этом поперечная сила, действующая на электрон в направлении у, равна jВ/n и в стационарных условиях, т.е. в отсутствие электрического тока по направлению у, компенсирующее электрическое поле в этом направлении определяют из условия

Возникающее в направлении у ЭДС электрического поля и представляет собой эффект Холла, который в общем случае определяется равенством

где R — коэффициент Холла.

Из сравнения выражений (2.2) и (2.3) следует, что для полупроводника n-типа коэффициент Холла R определяется величиной концентрации носителей заряда n и имеет отрицательное значение

Для полупроводника р-типа R положительно

Формулы (2.4) и (2.5), полученные на основе простейшей физической модели не вполне верны. При более строгом анализе эффекта Холла на основе ки-

53

нетического уравнения Больцмана с учетом статистического распределения носителей заряда по энергиям и с учетом зависимости времени релаксации от энергии в выражение для коэффициента Холла вводят численный множитель r, называемый холл-фактором.

Множитель r изменяется в пределах от 1 до 2 в зависимости от преобладающего механизма рассеяния, от степени вырождения носителей заряда, а также от величины магнитного поля. В слабых магнитных полях, если осно в- ным механизмом рассеяния носителей заряда являются тепловые колебания решетки, r = 3π/8; при рассеянии на ионах примеси r = 315π/512 = 1,93; в в ы- рожденных полупроводниках и металлах r = 1. В сильных магнитных полях r = 1 независимо от механизма рассеяния. Если полупроводник имеет смешанную электропроводность, то в слабом магнитном поле коэффициент Холла

Так как обычно β > 0, в собственном полупроводнике R < 0. Полагая в (2.6) n >> p, получим для полупроводника n-типа

что с точностью до холл-фактора r совпадает с (2.4). При условии в (2.6) p >> n получим коэффициент Холла для полупроводника р-типа

Всильном магнитном поле для полупроводника при наличии электронов

идырок коэффициент Холла выражается соотношением:

54

При больших значениях в коэффициент Холла стремится к

Поскольку значение коэффициента Холла определяется такими параметрами полупроводникового материала, как концентрация и подвижность носителей заряда, эффект Холла является эффективным методом определения этих параметров.

Прежде чем описывать методы измерения эффекта Холла и способы определения параметров по этим измерениям, отметим ряд физических явлений, которые возникают совместно с эффектом Холла и вносят систематические ошибки при его измерении. К этим явлениям относятся: эффект Эттингсгаузена, поперечный эффект Нернста и эффект Риги — Ледюка.

Эффект Эттингсгаузена возникает на помещенном в магнитном поле В образце, по которому в направлении, перпендикулярном В, протекает ток, и состоит в проявлении градиента температуры в направлении, перпендикулярном магнитному полю и току. Если, как и в случае эффекта Холла, вектор магнитной индукции направлен вдоль оси z, а электрический ток по оси х, то вдоль оси у возникает градиент температуры, пропорциональный магнитной индукции и электрическому току

здесь Кэ — коэффициент Эттингсгаузена.

Физический эффект Эттингсгаузена обусловлен тем, что магнитное поле действует на «горячие» носители заряда с большей силой, чем на «холодные». Поэтому происходит пространственное разделение носителей по скорости. В результате обмена энергией носителей заряда с кристаллической решеткой возникает градиент температуры. Знак эффекта Эттингсгаузена не зависит от типа носителей заряда. Возникающая вследствие эффекта Эттингсгаузена термоЭДС суммируется с холловским напряжением и не может быть отделена от него при изменении направления тока или магнитного поля.

Эффект Нернста аналогичен тепловому эффекту Холла. Если образец, по которому в направлении х проходит тепловой поток, поместить в магнитное поле В, направленное по оси z, то в направлении оси у возникает ЭДС Эффект состоит в том, что при наличии градиента температуры потоку тепла соответствует преимущественное движение быстрых носителей заряда от горячего конца к холодному. Отклонение носителей заряда магнитным полем пропорционально их скорости. Поэтому в направлении у возникает поперечная ЭДС и попе-

55

речный градиент температуры. Возникшая поперечная ЭДС пропорциональна градиенту температуры и магнитной индукции

где Кр — коэффициент Риги — Ледюка.

Таким образом, ЭДС эффекта Нернста и термоЭДС под влиянием эффекта Риги — Ледюка возникают в том же направлении, что и эффект Холла, и складываются с ним. Градиент температуры ∂Т /∂х , обусловливающий возникновение этих эффектов, как правило, существует на образце при проведении холловских измерений в результате протекания тока через контакты к образцу и выделения на них некоторого количества тепла. Знак градиента температуры, обусловленный эффектом Пельтье или нелинейностью вольтамперных характеристик токовых контактов, зависит от направления тока через образец. Значит, знаки эффектов Нернста и Риги — Ледюка зависят от направления протекающего через образец тока.

Другой причиной существования градиента температуры ∂Т /∂х может быть неравномерный нагрев образца при проведении температурных измерений или неоднородности образца. Относительная оценка величины этих эффектов показывает, что наиболее важным является эффект Эттингсгаузена, который для полупроводников может достигать 70 % от ЭДС Холла. Другие эффекты менее существенны, и играют более важную роль в металлах.

2.2. Основные методы измерения эффекта Холла

Для измерения эффекта Холла применяются образцы самой различной формы (рис. 2.1). Для прямоугольного образца, который применяют чаще всего, с размерами а, b и d (соответственно по направлениям х, у и z) соотношение (2.3), выраженное через холловскую разность потенциалов Ux = ExВ и ток I =jВd через образец, приобретает вид

56

Если при измерении входящих в формулу (2.15) величин использовать единицы измерения Си (вольт, ампер, метр и тесла), то коэффициент Холла б у- дет иметь размерность м3/Кл.

Рис. 2.1. Форма образцов, применяемых для измерения эффекта Холла

Таким образом, для определения коэффициента Холла R необходимо измерить четыре величины: холловскую разность потенциалов, ток, протекающий через образец, магнитную индукцию и геометрический размер образца d в направлении магнитного поля. Отношение длины образца а к его ширине b может оказывать существенное влияние на величину Ux. Но если образец достаточно длинный, т.е. а/b >> 1, можно считать, что токовые контакты не влияют на результаты измерений.

Согласно выражению (2.15) холловскую разность потенциалов Ux можно измерить, по крайней мере, четырьмя различными способами, используя постоянный и переменный ток, а также постоянное и переменное магнитное поле.

2.2.1. Метод постоянного магнитного поля и постоянного тока

Этот метод измерения эффекта Холла является самым простым и наиб о- лее распространенным. От источника тока ИТ (рис. 2.2) через образец прямоугольной формы пропускают постоянный ток. Образец помещают между полюсами постоянного магнита или электромагнита, создающего в рабочем зазоре магнитную индукцию до 1 Тл.

Изменение величины магнитной индукции в рабочем зазоре магнита осуществляют, изменяя величину тока электромагнита. Желательно, чтобы источник тока ИТ имел высокое выходное сопротивление и протекающий через образец ток не изменялся за счет эффекта магнитосопротивления при включении магнитного поля. Протекающий через образец ток измеряют по падению напряжения на эталонном сопротивлении, включенном последовательно с образцом.

57

В 1

2 П

ИТ

R эт

Рис. 2.2. Схема для измерения эффекта Холла на постоянном токе в постоянном магнитном поле

Измерение ЭДС Холла производят на прижимных контактах или точечных зондах, установленных на соответствующих гранях образца. Для большей надежности используют паяные или сварные контакты. Однако в этом случае электроды, имея достаточно большую площадь, могут значительно искажать токораспределение в образце, что особенно существенно для образцов с высоким сопротивлением. Чтобы исключить влияние контактных сопротивлений на результаты измерений, необходимо использовать компенсационный метод и з- мерения ЭДС Холла.

При измерении эффекта Холла напряжение на холловских электродах состоит как минимум из четырех составляющих: ЭДС Холла Ux, термоЭДС эффекта Эттингсгаузена Uэ, ЭДС поперечного эффекта Нернста Uн и термоЭДС эффекта Риги — Ледюка Uр. Существует ещё один «эффект», который также влияет на величину ЭДС холловских электродов, Uо — напряжение, возникающее за счет неточного расположения холловских электродов на одной эквипотенциали образца. Эта разность потенциалов холловских зондов Uо равна падению напряжения на образце между этими точками под влиянием тока, протекающего через образец. Следовательно, в общем случае напряжение на холловских электродах равно сумме пяти составляющих. Предполагая, что продольный градиент температуры ∂Т/∂х вызван неравномерным нагревом образца за счет внешнего нагревателя и, следовательно, не зависит от направления тока через образец, можно записать систему уравнений для напряжения на холловских электродах, которая соответствует всем возможным сочетаниям направлений тока и магнитного поля

58

т.е. выполняя четыре измерения при различных направлениях магнитного поля и электрического тока через образец, из результатов измерений можно исключить все эффекты, кроме эффекта Эттингсгаузена. Необходимость четырех измерений, требующих большого времени, является существенным недостатком этой методики измерения эффекта Холла. Если же знак продольного градиента

температуры ∂Т/∂х зависит от направления тока через образец, то проведение четырех измерений позволяет исключить только неэквипотенциальность холловских электродов. Однако теоретическую возможность избавиться от влияния неэквипотенциальности холловских электродов практически не всегда можно реализовать, особенно для высокоомных образцов. Чтобы пропустить через высокоомный образец достаточно большой ток, увеличивают приложенное к образцу напряжение, а это приводит к увеличению разности потенциалов на холловских электродах. Если же эта разность потенциалов значительно превосходит холловскую разность потенциалов, точность измерения Ux может снизиться настолько, что сделает невозможным холловские измерения. Поэтому стремятся не только уменьшить неэквипотенциальность холловских электродов за счет точной установки, но и используют другие способы, позволяющие избавиться от влияния U0 на результаты измерений.

Таким образом, напряжение на холловских зондах, определяемое (2.15), складывается из ЭДС Холла и сопутствующих ему явлений. Поэтому для опр е- деления ЭДС Холла при использовании постоянного тока необходимо проводить четыре измерения: для двух направлений тока и двух направлений магнитного поля.

2.2.2. Метод переменного тока или переменного магнитного поля

Способ четырех отсчетов, устраняющий влияние побочных эффектов и помех, эффективен при измерении на постоянном токе в постоянном магнитном поле, но неприменим при измерениях переменной ЭДС Холла. При измерении переменной ЭДС Холла используют следующий способ. Для этого рассмотрим связь холловской ЭДС с напряжением, возникающим на холловских зондах. Пусть переменное напряжение на холловских зондах в отсутствие магнитного поля равно U1. Оно складывается из напряжения неэквипотенциальности холловских электродов и некоторого напряжения помех, причем оба напряжения находятся в произвольном соотношении с ЭДС Холла.

Переменное напряжение на холловских зондах U1 можно представить в виде двух составляющих, сдвинутых по фазе на 90°. Активная составляющая U1а этого напряжения совпадает по фазе с ЭДС Холла. Реактивная составляю-

59

щая U1р сдвинута на 90° (рис. 2.3). При включении постоянного магнитного поля активная составляющая увеличивается на ЭДС Холла Uх и равна U2а = U1х + Uх; реактивная составляющая не изменяется.

Измерительный прибор регистрирует напряжение U2. Если изменить н а- правление магнитного поля на обратное, то активная составляющая напряжения станет U3а = U1а − Uх. На основании рис. 2.3 составим систему уравнений

Uа

U2а U2

U1а U1

U3а U3

U1р Uр

Рис. 2.3. Векторная диаграмма напряжений на холловских электродах

Таким образом, для определения холловской ЭДС необходимо измерить три напряжения на холловских зондах, отличающихся значением магнитной индукции В: U1 — при В = 0; U2 — при В = соnst и U3 — при В = −соnst.

Метод позволяет определить холловскую ЭДС и в том случае, когда измеряемые напряжения значительно превосходят Uх, но при этом падает точность измерений. Используя этот метод, необходимо учитывать, что вследствие шунтирующего действия распределенных емкостей схемы возникают погрешности при измерении тока образца, которые возрастают с увеличением частоты и определяют предельную частоту тока.

Способ трех отсчетов, аналогичный описанному, применим и тогда, когда переменная ЭДС Холла возникает при использовании переменного магнитного поля и постоянного тока. Формула (2.19) остается справедливой и в этом сл у-

60