Учебное пособие 1966

Задачи для самостоятельного решения

3.3.1.Найти условный экстремум в задачах

2) x1 max

(1 x1 )3 x2 0

3.3.2.Доказать, что определения 2 и 2' эквивалентны.

3.3.3.Доказать, что определения 3 и 3' эквивалентны.

3.3.4.Доказать замечание 2 к теореме 5.

3.3.5.Сформулировать и доказать теоремы, соответствующие диагональным связям приведенной таблицы.

4.ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

4.1.Общая постановка задачи линейного программирования. Разные формы записи задач линейного программирования

Вобщем виде постановка задача линейного программирования (ЗЛП) выглядит следующим образом:

j1

иудовлетворяющий линейным ограничениям

84

Векторная форма записи:

CT X min

A1X1 ... A n X n B, x 0.

Функцию z(x) называют целевой функцией ЗЛП, ее

критическое значение обозначают z* . Систему ограничений называют допустимым множеством, его элементы – планами задачи.

План x* на котором целевая функция принимает критическое значение называют решением задачи (оптимальной планом).

Рассмотрим наиболее часто используемые формы записи задачи линейного программирования.

Стандартная (симметричная):

Независимо от того, как записана исходная задача, ее можно

85

эквивалентно переписать в любой желаемой форме. При этом используется понятие эквивалентности задач.

Две задачи оптимизации называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество оптимальных точек.

Однако, так как при переходе от одного вида задачи к другому возможно изменение размерности задачи (увеличение числа переменных, увеличение числа ограничений), то следует в каждом конкретном случае аккуратно формулировать, как понимается эквивалентность данных задач. Существуют правила, позволяющие осуществить эквивалентные перезаписи задач.

1.Изменение цели критерия оптимизации возможно путѐм умножения исходной целевой функции на -1.

2.Изменение знака неравенства также возможно умножением

4.От ограничений неравенств можно перейти к равенствам, добавляя или отнимая неотрицательные новые переменные (далее –

5.Обеспечить условие неотрицательности переменных можно, используя очевидный факт: любое число может быть представлено в виде разности двух неотрицательных чисел:

86

В связи с тем, что основной метод решения ЗЛП - симплексный метод предназначен для решения задач в канонической форме, проиллюстрируем работу описанных выше правил на примере приведения задачи к канонической форме.

Пример 1. Привести ЗЛП к канонической форме:

1. К левой части первого неравенства добавим неотрицательную переменную u1 и перейдем к ограничениям

В результате задача принимает канонический вид:

87

Последовательность применения правил приведения к канонической форме не существенна и может быть любой.

Заметим, что замена переменных порождает неединственность решения полученной канонической задачи, даже если исходная имела единственное решение. Этот факт должен быть выделен при фиксировании ответа. Симплексный метод позволяет это сделать, что будет отмечено в дальнейшем при описании соответствующего алгоритма.

4.2. Графический метод решения задачи линейного программирования

Рассмотрим алгоритм решения задачи следующего вида: c1x1 c2 x2 max(min)

4.2.1. Построение допустимого множества

Каждое ограничение задачи определяет некоторую полуплоскость (в случае неравенства) или прямую (в случае равенства). Допустимым множеством будет пересечение всех полуплоскостей и прямых, заданных условиями задачи. Таким образом, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

а) для каждого i-го ограничения нарисовать прямую,

то определить полуплоскость, задаваемую данным неравенством. Это легко сделать, подставив в него координаты точки, не расположенной на соответствующей прямой. Если неравенство оказывается справедливым, то выбрать полуплоскость, содержащую данную точку, в противном случае - выбрать противоположную полуплоскость;

в) найти пересечение полученных полуплоскостей и прямых.

88

4.2.2. Графическое отыскание решений задачи

Пусть допустимое множество оказалось не пустым.

а) выбрать два произвольных числа d1 и d2 . Пусть для определенности d1 d2 . Нарисовать линии уровня целевой функции, соответствующие выбранным

б) зафиксировать направление увеличения значений целевой функции от прямой с правой частью, равной d2 , к прямой с правой частью, равной d1 ;

в) передвигать прямую c1x1 c2 x2 d параллельно самой

себе по допустимому множеству в обозначенном направлении до получения максимального(минимального)

значения d * ;

г) зафиксировать на графике точки допустимого множества, обеспечивающие оптимальное значение целевой функции, или убедиться, что таких точек нет;

д) выписать ответ.

При построении допустимого множества могут возникнуть три различные ситуации:

а) допустимое множество пусто. Вывод: задача решений не имеет - нет ни одной допустимой точки;

б) допустимое множество ограничено (является многогранником). В этом случае возможны два различных ответа:

б.1) решение единственно: на графике зафиксирована единственная точка, являющаяся пересечением некоторых прямых. Необходимо выписать соответствующие уравнения прямых и, решив полученную систему уравнений, найти

89

точку - решение задачи.

б.2) решений бесчисленное множество: на графике помечен отрезок прямой, все точки которого обеспечивают максимальное значение целевой функции. Среди этих точек есть вершины многогранника. Координаты вершин отыскиваются аналогично предыдущему случаю

в) допустимое множество не ограничено. Здесь возможны две ситуации, описанные в пункте б); решение ищется аналогично. Кроме этого, возможен случай отсутствия решений из-за неограниченности значений целевой функции на допустимом множестве.

Пример 1. Решить графически следующую задачу линейного программирования:

x1 x2 max x1 2x2 8,

2x1 x2 4, x1 3x2 9,

x1, x2 0.

Следуя приведѐнному алгоритму, строим область допустимых решений. Получим выпуклый многоугольник, представленный на рис. 4.2.1

90

Далее, при параллельном перемещении линии уровня в направлении возрастания целевой функции устанавливаем, что такое перемещение можно производить неограниченно. Следовательно,

целевая функция неограничена сверху, т.е. zmax , а сама

неразрешима. Заметим, что если при тех же исходных данных целевую функцию требовалось бы минимизировать, то получили бы

x1

Рисунок 4.2.3 – Пустое допустимое множество

Поэтому данная задача неразрешима.

92