Учебное пособие 1797

параметров считаются, лишь те варианты, которые ведут к благоприятному изменению критерия оценки.

Рис. 63. Оптимизация решений

Метод перебора вариантов позволяет просто исследовать окрестность оптимума. Это важно когда строгий математический оптимум нельзя использовать по каким-либо причинам. Поэтому при пологом оптимуме иногда бывает, выгодно отступить от оптимального значения и использовать квазиоптимальное значение параметра.

Другим методом решения многопараметрических задач оптимизации является метод градиентов.

Вектор градиента направлен в сторону наибольшего изменения функции. Поэтому оптимизация по методу градиентов сводится к движению в направление градиента.

100

Рис. 64. Метод градиента при оптимизации

Задается произвольная точка х0 и в этой точке находится градиент. Если он равен не нулю, то в направлении градиента выбирается следующая точка х1:

I(x1)< I(x0 ).

В точке х1 опять вычисляется градиент и выбираем точку х2:

I(x2 )< I(x1) и т. д.

Получаем траекторию, которая перпендикулярна линиям уровня.

Метод градиента также приводит к большим потерям времени. Поэтому был разработан другой метод, получивший название метод наискорейшего спуска. От методов градиентов отличается тем, что после первого рабочего шага дальнейшие шаги делаются в том же направлении до тех пор, пока функционал, или критерии оценки уменьшится. В последнем узле вновь ведется поиск благоприятного направления. Время поиска уменьшается за счет сокращения времени вычислений. Метод градиента обладает большим недостатком: он может не привести к абсолютному минимуму, а лишь к относительному.

101

Рис. 65. Разработка оптимального варианта

Разновидностью указанных методов является также шаговый метод оптимизации. Его идея еще более проста. Изобразим функцию в виде линий уровня.

Рис. 66. Шаговый метод оптимизации

Зададим произвольную точку x20 и будем минимизировать функцию

f (x1,x20 )→ min.

Это значит провести на графике прямую – горизонталь. И на ней искать минимум. Это будет точка пересечения с линией уровня х1.

102

Далее исследуется на минимум функцию f (x1Ι x2 )→ min ,

т.е. минимизация по вертикали и т. д. Для такого метода относительный минимум не является препятствием.

В последнее время при выборе параметров различных машин и процессов получил распространение метод случайного поиска.

Рис. 67. Метод случайного поиска

Этот метод основан на том обстоятельстве, что для получения оптимального решения вовсе необязательно вычислять на каждом шаге градиент. Чтобы улучшить функционал достаточно найти точку. Вначале выбирают произвольную точку х0, затем случайное направление. На некотором направлении оказалось, что

f(x0)>f(xi).

Принимаем эту точку за исходную и снова выбираем различные направления, на одном из которых оказывается, что

f(x1)>f(x2) и т. д.

103

Метод случайного поиска применяется в случае большого количества оптимизируемых параметров и сложной функции.

Разновидностью этого метода является чистый метод Монте-Карло.

Рис. 68. Метод Монте-Карло

Его сущность заключается в следующем. Задается случайной величиной х0 и вычисляем f(x0). Затем задаемся величиной х1 и вычисляем f(x1). Если f(x1)<f(x0) то запоминаем.

Если больше, то забываем. Затем задаемся величиной х2 и вычислим f(x2). Если f(x2)<f(x1), то запоминаем. В результате получаем траекторию, ведущую к минимуму. Применяется, когда функция очень сложна. Счет останавливают после того, как очень долго не получается лучшего значения.

Сущность задачи заключается в следующем: имеются критерий оценки качества вновь проектируемого самол та, представляющего собой функцию параметров или характеристик:

а = f (x1,x2,...xn ),

104

где xi → p,λ,c_,χ,V,L ,

и ограничения, накладываемые на параметры:

k1 ≤ k1(x1,x2,...xn ) k2 ≤ k2 (x1,x2,...xn ) km ≤ km (x1,x2,...xn )

Эти ограничения представляют собой или физикохимические закономерности или ограничения, обусловленные состоянием технического прогресса, возможностями производства и эксплуатации и т.п.

Требуется определить параметры самол та, которые обеспечивали бы экстремальное значение критерия. Существуют различные методы поиска оптимума, зависящие от вида функциональной связи критерия с параметрами самол та. Если эта функция аналитическая, то удобно применять метод экстремумов, если критерий линейно связан с параметрами, то к решению задачи хорошо приспособлен метод градиентов. В других более сложных случаях приходится применять метод динамического (нелинейного) программирования. Сложность поставленной задачи и результаты оптимизации во многом определяются выбором критерия оценки самол та. Что же понимать под критерием?

11.4. Общий критерий

Наиболее общим критерием сравнительной оценки самол та является критерий, предложенный Томашевичем, представляющий собой государственную эффективность данного самол та:

Э = РВ ,

105

где Р – величина, определяющая объем полезной работы; В – общие затраты на проектирование, изготовление и

поддержание его работоспособности в период эксплуатации. Для пассажирских самол тов величина Р представляет объ м пассажирских перевозок – пассажиро-километров, для транспортных – объ м грузовых перевозок (тонно-кило- метры), для других гражданских самолетов это может быть: гектары обработанной площади полей или кв. километры

охраняемых лесов и т. д.

Применительно к бомбардировщикам, истребителям и других военных самол тов критерий Томашевича означает боевую эффективность самол та или группы самол тов. В частности боевая эффективность заключается в следующем – какие необходимо произвести затраты для выполнения поставленной задачи, т. е для выполнения положительной работы.

Более подробно необходимо остановиться на критерии оценки гражданских самол тов, на выявлении зависимости этого критерия от характеристик самол та.

11.5. Критерий оценки гражданских самол тов

Для гражданских самол тов критерий Томашевича представляет собой не что иное, как величину обратную

полной себестоимости тонно-километра – 1/ а . Действительно, объ м полезной работы за весь ресурс Тс,

т. е. за полный срок службы, самол та равен

P = Kком Gком Vp Tc ,

где Kком – коэффициент коммерческой нагрузки, учитывающий

среднегодовую неполную загрузку самол та из-за сезонности работ (для магистральных Kком =0,58, для местных авиалиний

Kком =0,65);

Gком – коммерческая или платная нагрузка;

106

Vp – рейсовая скорость самол та в км/час.

Затраты на совершение полезной работы можно представить как

Чем ниже себестоимость перевозки, тем выше экономический эффект. Таким образом, для гражданских самол тов для сравнительной оценки можно использовать себестоимость одного тонно-километра.

Этот критерий является достаточно общим и не слишком сложным. Он учитывает весовые характеристики самол та и его частей, характеристики двигателя, аэродинамические и л тные характеристики, стоимость конструкции и проектирования и т.д. Чтобы убедиться в этом, достаточно развернуть формулу, подставив входящие в него величины.

1. Расходы на эксплуатацию самол та (А) в течение одного л тного часа состоят из:

А = Аа.с + Аа.д + Ат.о.с + Ат.о.д + АТ + Азп + Вап ,

где Аа.с и Аа.д – расходы на амортизацию самолета и двигателей;

107

Ат.о.с и Ат.о.д – расходы на техническое обслуживание и

где К1 =1,05 – коэффициент, учитывающий непроизводительный нал т (тренировки, обучение, обл т…);

Сс – стоимость самол та (отпускная цена);

К р.с – отношение стоимости одного капитального ремонта к стоимости самол та без двигателей:

Кр.с =0,10-0,12 для магистральных самолетов;

Кр.с =0,15 для местных авиалиний;

tс – срок службы самол та между капитальными ремонтами:

tс =5000 час.;

Тс =25000-30000 час.

Стоимость самол та Сс или рассчитывается по формуле,

или берется по данным авиапромышленности. При массовом выпуске самол та

Сс =20(Gпуст −Gдв ) (руб.).

б) по аналогии рассчитываются и расходы на амортизацию двигателей:

108

п – число двигателей; Сд – стоимость одного двигателя:

–для ТРД Сд =7 Рвзл ,

–для ТВД Сд =11 Nвзл ;

Крд – отношение стоимости одного капитального ремонта

двигателя к стоимости двигателя:

– для ТВД Крд =0,65,

– для ТРД определяется по формулам (Бодягин «проектирование самол тов»);

Тдв – ресурс двигателя ~ 6000 час.

tдв – межремонтный срок службы ~ 3000 час.

в) расходы на текущий ремонт и обслуживание самолета и двигателей:

где КТ.О.С – удельная стоимость технического обслуживания и

текущего ремонта планера; КТ.О.С = зависимости от веса самол та;

Кт.о.д – удельная стоимость технического обслуживания

итекущего ремонта двигателей:

Gпуст – вес пустого самол та с двигателями; п – число двигателей.

109