Учебное пособие 1722

Что и требовалось доказать.

1.5. Обратная матрица

Обратной матрицей по отношению к заданной квадратной матрице А называется такая квадратная матрица,

обозначаемая А-1, которая удовлетворяет равенствам

АА-1 = Е и А -1А = Е.

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу А-1 , необходимо и достаточно чтобы

или

32

Таким образом, для получения обратной матрицы А-1 следует все элементы матрицы А заменить их алгебраическими дополнениями, полученную матрицу транспонировать и разделить на det A.

Свойства: 1. Не существует двух различных обратных матриц для данной матрицы А.

2. Определители прямой и обратной матрицы взаимнообратны

3.Обращение обратной матрицы дает исходную матрицу (А-1)-1.

4.Обратная матрица произведения матриц равна произведению обратных матриц в обратной последовательности

(АВ)-1 =В -1 А -1 , detA ≠ 0; detB ≠ 0.

5.Операция обращения не изменяет единичной матрицы E-1 = E.

6.Транспонирование и обращение матрицы не зависит от последовательности этих операций (Am)-1=(A-1)m.

A11=(-1)2 1=1; A12=(-1)3 2=-2; A21=(-1)3 5=5; A22=(-1)4 4=4.

33

Находим алгебраические дополнения

Доказать, что: а) (АВ)-1 = В -1А -1; б) (A m )-1=(A-1)m.

34

Решение. а) Находим произведение матриц

Что и требовалось доказать.

1.6. Матричный метод решения системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений

Если ввести матричные обозначения

35

Таким образом, x = 3; y = -2; z = 5.

1.7. Решение системы линейных уравнений методом исключения (метод Гаусса)

Решение системы линейных уравнений с помощью формул Крамера целесообразно для систем двух и трех уравнений. Для определителей четвертого и высших порядков было бы много повторяющихся вычислений, поэтому гораздо удобнее пользоваться методом Гаусса.

Суть метода исключения неизвестных заключается в следующем.

Пусть дана система

a11x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1; a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2 ;

an1x1 + an2 x2 +... + ann xn = bn.

Сначала делим первое уравнение на а11. Затем умножаем его на а21 и вычитаем из второго. Далее умножаем уравнение на а31 и вычитаем из третьего. Продолжая процесс, приходим к системе, где только первое уравнение содержит x1. Первое уравнение оставляем в покое.

Аналогично исключаем из оставшихся уравнений x2 и, продолжая вычисления, преобразуем систему к ступенчатому виду

37

x1 +b12 x2 +... +b1n xn = a1; x2 +... + c2n xn = a2 ;

xn = an.

Из полученной системы видно, что все неизвестные находятся последовательно из последнего выражения.

7.1. Дана система уравнений

2x1 − x2 − x3 = 4,3x1 + 4x2 − 2x3 =11,3x1 − 2x2 + 4x3 =11.

Доказать ее совместность и решить: а) методом Гаусса; б) методом матричного исчисления.

Решение. Составим и вычислим определитель

следовательно, система совместна.

а) Решение методом Гаусса. За ведущее уравнение примем первое уравнение. Исключим x1 из второго и третьего уравнений, прибавив ко второму и третьему уравнению

ведущее, умноженное на − 3 . Получим

Второе и третье уравнения образуют первую подсистему. За второе ведущее уравнение примем второе уравнение. Исключая х2 из третьего уравнения, получим

б) Матричный метод. Запишем исходные матрицы

Найдем det А

39

7.2.Решить систему методом Гаусса

x + y + z +t = 0,

4x +5z + 2t = 3,2x − y + z +t =1,2x + y + 4z =1.

Решение. Умножим первое уравнение на 4 и вычтем из него второе, затем умножим первое на 2 и вычтем из него третье и четвертое уравнение. Приходим к системе, где только первое уравнение содержит х

x + y + z +t = 0,

4 y − z + 2t = −3,3y + z +t = −1,

y − 2z + 2t = −1.

Далее умножаем последнее уравнение на 4 и на 3 и вычитаем его из второго и третьего уравнения

x + y + z +t = 0,

y − 2z + 2t = −1,7z −6t =1,

7z −5t = 2.

Наконец, вычитаем из последнего третье уравнение

x + y + z +t = 0,y − 2z + 2t = −1,7z −6t =1,

t =1.

Отсюда t = 1, z = 1, y = -1, x = -1.

40