Учебное пособие 1722

В параметрических уравнениях эллипса параметр t есть угол, образованный радиусом ОМ с осью абсцисс (рис. 3.66).

Рис. 3.66 3. Циклоидой называется кривая, описанная точкой М,

лежащей на окружности, если эта окружность катится без скольжения по прямой (рис. 3.67).

Рис. 3.67

Параметрические уравнения циклоиды: x = a (t −sin t ), y = a (1−cos t ), t [0, 2π]. При изменении t от 0 до 2π точка М опишет одну арку циклоиды.

9.1.Найти параметрические уравнения окружности

x2 + y2 = 2Rx, если полярная ось совпадает с осью Ох, а полюс

находится в начале координат.

Решение. Между декартовыми координатами и полярными существует зависимость x = ρ cosϕ, y = ρsinϕ. В

формулы перехода вместо ρ и ϕ подставить их выражения в функции t , то получим

x = ρ(t )cos t = 2R cos2 t, y = ρ(t )sin t = 2R cos t sin t = R sin 2t. Откуда x = R (1+cos 2t ), y = R sin 2t.

161

9.2. Найти уравнения кривых в прямоугольных координатах:

Решение. a) Найдем из первого уравнения параметр t = x + 2 и исключим его из второго уравнения. Тогда получим

y =1+2(x + 2) или 2x − y +5 = 0 . Это уравнение прямой.

б) Представим первое уравнение в виде x = (t +1)2 +3,

предсталяет окружность с центром в точке (1; -3) и радиусом равным 2.

Уравнение окружности с центром, смещенным по оси Ох на радис R.

162

4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 4.1. Системы координат

1°. Декартова или прямоугольня система координат представляет совокупность трех взаимно-перпендиулярных осей: оси абсцисс 0x , оси ординат 0 y и оси аппликат 0z .

Система координат называется правой, если для каждой пары осей ху, yz, zx кратчайший поворот первой из них вокруг начала координат до совпадения с положительным направлением второй виден со стороны положительного направления третьей оси, совершающимся против часовой стрелки, и левой - в противоположном случае.

Декартовыми координатами точки М называются проекции радиус-вектора ОМ (рис. 4.1) на оси координат.

2°. Цилиндрическими координатами точки М являются ее апликата z и полярные координаты проекции точки М на плоскость y0x (рис. 4.1).

Из равенств (1) легко находятся формулы обратного перехода

можно произвести, например, по знаку координаты у.

Рис. 4.1 163

3°. В сферической системе координат (рис. 4.2) положение точки М определяется: ее расстоянием p от начала

координат (радиус-вектором) (0 ≤ p < ∞); углом ϕ , который образует проекция радиус-вектора на плоскость x0 y с положительным направлением оси 0x (0 ≤ϕ < 2π )θ , который

радиус-вектор образует с положительным направлением оси

0z (0 ≤θ <π ).

Рис. 4.2

Связь между прямоугольными координатами точки и ее сферическими координатами устанавливается формулами

причем выбор нужного знака угла ϕ из двух главных значений можно произвести, например, по знаку координаты y .

4.2. Плоскость

1°. Основные уравнения плоскости.

1. Общее уравнение плоскости. Всякая плоскость определяется уравнением первой степени с тремя неизвестными

2. Нормальное уравнение плоскости

164

где p -длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат; α, β,γ - углы, которые этот перпендикуляр

образует с положительными направлениями координатных осей; n° - единичный вектор направления ОР (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Для приведения общего уравнения плоскости (1) к нормальному виду нужно это уравнение умножить на

нормирующего множителя должен быть противоположен знаку D в уравнении (1). (Если D = 0, то знак М может быть любой). Зная общее уравнение плоскости, косинусы направляющих углов в нормальном уравнении плоскости находятся по формулам

5. Если две плоскости взаимно-перпендиклярны, то сумма произведений коэффициентов при одноименных

6. Если две плоскости параллельны, то коэффициенты при одноименных текущих координатах пропорциональны

A1 = B1 = C1 . (10)

A2 B2 C2

7. Расстояние от точки M1 (x1, y1, z1 ) до плоскости

Привести: а) к нормальному виду; б) к уравнению плоскости в отрезках на осях.

2.2. Написать общее и параметрические уравнения плоскости, проходящей через три точки

A(1,1, 0); B (3, 2, −1)иC (2, −1, 4).

Решение. Воспользуемся уравнением (6)

Общее уравнение искомой плоскости 2x - 9 y - 5z +7 = 0.

Для получения параметрических уравнений плоскости подставляем координаты точек в формулы (7)

x=1+2u +v,

y=1+u −2v, z = −u +4v.

2.3.Через точку (2,1,3) провести плоскость, которая

была бы перпендикулярна к плоскости x +3y - z +2 = 0 и

проходила бы через точку (3,-1,5).

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости (4), проходящей через данную точку и перпендикулярной

некоторому вектору N (A, B,C )

A(x −2)+ B (y −1)+C (z −3)= 0. (*)

Из условия перпендикулярности (9) этой и данной плоскости имеем A +3B −C = 0.

Поскольку наша плоскость должна проходить через точку (3,-1,5), то подставляя ее координаты в уравнение (*), получим A −2B +2C = 0.

Мы получили систему трех линейных однородных уравнений относительно неизвестных А, В, С. Чтобы система имела решение отличное от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы определитель равнялся нулю

168

Отсюда уравнение искомой плоскости 4x - 3y - 5z +10 = 0.

2.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, имеет вид A(x - 2) + B( y +1) +C(z - 3) = 0.

Поскольку плоскости параллельны, то, используя условие параллельности плоскостей (10), подставляем вместо А, В, С значения коэффициентов из заданного уравнения плоскости (с коэффициентом пропорциональности, равным 1)

x −2 −2(y +1)+4(z −3)= 0

или x −2 y +4z −16 = 0.

2.6. Вычислить расстояние от точки М (2;-1;3) до плоскости 11x −2 y +10z +6 = 0.

Решение. По формуле (10) имеем

169

Следует отметить, что в данном случае получен тупой угол. Острый угол между этими плоскостями равен π −ϕ,

2.9. Найти расстояние между параллельными плоскостями

5x +2 y −3z −7 = 0 и 5x +2 y −3z +4 = 0.

Решение. Искомое расстояние равно расстоянию от любой точки, лежащей на одной из плоскостей, до другой. Возьмем на первой плоскости точку, полагая для удобства расчета

170