Учебное пособие 1604

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра строительной механики

Расчет геометрических характеристик плоских фигур

Методические указания к расчетно-графической работе

по курсам «Техническая механика» и «Сопротивление материалов» для студентов, обучающихся по направлению «Строительство»

ВОРОНЕЖ 2014

1

УДК 624

ББК 30.121

Составители Н.А. Барченкова, Н.Ф. Голева, В.М. Флавианов

Расчет геометрических характеристик плоских фигур : метод. указания

к расчетно-графической работе по курсам «Сопротивление материалов» и «Техническая механика» / Воронежский ГАСУ ; сост.: Н.А. Барченкова, Н.Ф. Голева,

В.М. Флавианов – Воронеж, 2014 – 28 с.

Даются указания по определению положения главных центральных осей инерции и расчету главных центральных моментов инерции, а также соответствующих радиусов инерции для сложных плоских фигур, составленных из простейшей (прямоугольник, треугольник и т. п.), объединенной с прокатным профилем (двутавр, швеллер). Приводятся примеры аналитических расчетов и результаты вычислений на ПЭВМ. В приложениях 1, 2, 3 представлены геометрические характеристики простейших фигур и сведения из ГОСТ о прокатных двутаврах и швеллерах.

Предназначаются для студентов, обучающихся по направлению «Строительство» дневной формы обучения в объеме бакалавриата.

Ил. 11. Библиогр.: 4 назв.

УДК 624

ББК 30.121

Печатается по решению научно-методического совета Воронежского ГАСУ

Рецензент – В.С. Сафронов., д. т. н., проф. кафедры строительной механики Воронежского ГАСУ

2

1. Краткие теоретические сведения

Поскольку сами понятия, рассматриваемых здесь геометрических характеристик и метод их расчета, не связаны со стержнем в целом, для упрощения рассмотрим в дальнейшем направление осей как представлено на рис. 1б.

Перечислим основные геометрические характеристики произвольной плоской фигуры (рис. 2а), приведя их строгие математические определения в интегральной форме с указанием единиц измерения.

Рис. 2. Произвольная плоская геометрическая фигура.

A

При параллельном переносе осей, следуя теореме о взаимной зависимости моментов инерции относительно параллельных осей (рис. 2б) используют формулы:

лученных путем вращения вокруг центра тяжести фигуры С, выделяют две

главные центральные оси инерции (), которые имеют сле-

дующие свойства:

1.взаимно ортогональны;

2.проходят через центр тяжести фигуры;

3.осевые моменты инерции относительно них принимают экстремальные значения

4.центробежный момент инерции равен нулю.

ной системе координат определяется через угол между осями и

.

Найденные относительно главных центральных осей моменты инерции называют главными центральными моментами инерции. В глав-

ных центральных осях для отражения инерционных свойств фигуры изображается главный центральный эллипс инерции с полуосями . При

необходимости с помощью главного центрального эллипса инерции можно определить момент инерции фигуры относительно произвольной оси.

Все используемые расчетные формулы будут приведены ниже в пункте 3.

5

Обычно в последующих разделах сопротивления материалов для упрощения обозначений индексы в записи указанных выше главных центральных осей , геометрических характеристик ,

опускают, т.е. записывают .

2. Задание

Студенту выдается схема плоской сложной фигуры, составленной из простейшей геометрической фигуры и прокатного профиля (прил. 1, 2, 3).

Требуется:

1.Изобразить в масштабе заданную сложную фигуру с разбиением на простейшие с указанием характерных размеров.

2.Определить площади простейших фигур, а также положения их центров тяжести и собственных центральных осей.

3.Определить положение центра тяжести всей фигуры и ее центральных осей.

4.Вычислить осевые и центробежный моменты инерции каждой простейшей фигуры относительно собственных центральных осей.

5.Вычислить осевые и центробежный моменты инерции всей фигуры относительно найденных центральных осей.

6.Найти главные моменты инерции и установить положение главных центральных осей инерции.

7.Построить главный центральный эллипс инерции в найденных осях.

8.Выполнить поверочный расчет на ПЭВМ (по желанию студента).

3. Рекомендации по выполнению работы. Расчетные формулы

Поскольку к расчету предлагается фигура, состоящая из нескольких простейших (треугольник, прямоугольник, сектор, прокатный профиль и т.д.), то исходные формулы(1-6)можно существенно упростить, заменяя в них интегралы на суммы. Это позволяет использовать более простые расчетные формулы, которые приведены ниже в п.п 3.2 – 3.7.

Численные расчеты проводятся по правилам приближенных вычислений. Для простейших геометрических фигур аналитические выражения, перечисленных геометрических характеристик (1, 5’, 5’’) относительно их собственных центральных осей приведены в прил. 1, где приняты стандартные обозначения: h – характерный размер вдоль оси y, b – характерный размер вдоль оси z, r – радиус окружности (части окружности), центр тяжести. Для стандартных прокатных профилей все необходимые данные представлены в

прил. 2,3.

3.1 Изображается в масштабе заданная сложная фигура с разбиением на простейшие и указанием всех характерных размеров. Прокатные профили упрощенно представляются набором прямоугольников. Все обозначения должны соответствовать принятым в прил. 1,2,3.

6

3.2 Определяются площади простейших фигур А1, А2, … An, а также положения их центров тяжести C1, C2, … Cn, изображаются собственные центральные оси Площадь всей фигуры (1) рассчитывается по формуле

Фигуру относят к произвольной прямоугольной системе координат, расположением которой задаются из соображений удобства последующего расчета.

Устанавливаются координаты центров тяжести составляющих частей. Вычисляются статические моменты (2)

(8)

3.3 Определяется положение центра тяжести С всей фигуры и ее центральные оси. Для этого находят координаты центра тяжести С заданной фигуры в осях по формулам (3)

и также показываются на рисунке.

Проверка 1: Если в пределах точности произведенных вычислений удовлетворяются условия:

(11)

то выполняются последующие расчеты. В противном случае предварительно устраняются ошибки.

3.4 Для каждой из составляющих фигур по формулам прил. 1 - 3 определяются осевые моменты инерции и центробежный момент инерции

относительно собственных центральных осей . Заметим, что если прокатный профиль повернут на 90° по сравнению с изображенным в прил. 2 и

7

3.5 Используя формулы параллельного переноса (6) вычисляются осевые и центробежный моменты инерции всей заданной фигуры относительно

центральных осей

J yc (J yci zi2 Ai );

Jzc i (Jzci yi2 Ai );

3.6 Определяются главные моменты инерции и устанавливается положение главных центральных осей инерции. Для этого вычисляют значения главных моментов инерции по формулам:

Далее находят угол наклона к оси главной центральной оси , момент инерции относительно которой равен , из выражения

, проводят через центр тяжести перпендикулярно .

Проверка 2: Поскольку инварианты линейных преобразований не зависят от выбора системы координат, то в переделах точности выполненных вычислений должны удовлетворяться условия

8

3.7 Для построения главного центрального эллипса инерции определяют главные радиусы инерции по формулам:

сле чего любым из известных способов строят эллипс инерции с полуосями, равными и .

Примечание: если в сложной фигуре имеется выемка, то соответствующие ей геометрические характеристики из прил. 1 берутся в расчетах с противоположным знаком.

4.Рекомендации по выполнению расчетов на ПЭВМ

Для расчетов на ПЭВМ используется программа «МОМ _ИН.mws» (автор: доц. А.Н. Аверин), написанная в среде Maple 7.

4.1 Подготовка исходных данных

Заданная сложная фигура относится к произвольной системе координат (ось направлена влево, вверх). За начало координат принимается произвольная точка (например: центр дуги окружности, центр тяжести сложной фигуры или др.). Все характерные точки наружного контура нумеруются: 1, 2, 3…, следуя направлению по ходу часовой стрелки. При наличии внутреннего контура (выемки ) его вершины нумеруются против хода часовой стрелки с указанием места входа на внутренний контур и выхода из него путём двойной нумерации (пример 3). Дуги окружности разбиваются на участки по 10-15ои заменяются ломаными (пример 3). У прокатных профилей все закругления спрямляются, результаты сводятся в таблицу (пример 1, 2, 3).

4.2Подготовка текстового документа

Впапке <<STROIMEH>> открывается папка с примером <<МОМЕНТ ИНЕРЦИИ>> и текстовый документ <<ПРИМЕР.txt>>, приведенные в нем данные необходимо исправить следующим образом. В строке <<ЧИСЛО ВЕРШИН ФИГУРЫ>> указывается истинное количество вершин, принятой к расчёту фигуры. Блок <<ПРИЗНАК СИММЕТРИИ>> остается без изменений. Затем построчно вводятся номера вершин с соответствующими координатами

9

Лишние строки удаляются. Отредактированный текстовый документ со-

4.3 Расчет и печать результатов

Запускается программа «МОМ_ИН.mws». В строке CF:="ПРИМЕР.txt" слово «ПРИМЕР» заменяется на имя файла. Далее выполняется часть расчета – построение фигуры по заданным координатам. Для этого курсор устанавливается после имени и нажимается «ENTER». Если конфигурация фигуры не совпадает с исходной, то необходимо выявить и устранить ошибки. При совпадении рисунков переходят к выполнению расчета. Для этого курсор переносится в блок «РЕЖИМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ» и устанавливается в конец строки и нажимается клавиша «ENTER».

Для получения распечатки необходимо обратиться к дежурному преподавателю. Завершая расчеты, выйти из программы без сохранения (т.е. на запрос о сохранении ответить: «НЕТ»).

Примечание: при выполнении исправлений необходимо свернуть программу, вновь открыть свой текстовый документ с исходными данными, откорректировать, сохранить, вернуться в программу «МОМ_ИН.mws» и еще раз повторить вышеуказанные действия.

5. Пример 1. Несимметричная фигура

1.На рис. 3 изображена в масштабе фигура, разобьем её на простейшие:

10