Дискретная математика. Курс лекций. Шаруда В.А

1.3. Эквивалентность формул. Свойства элементарных функций. Принцип двойственности

Мы видели, что каждой формуле над В соответствует функция алгебры логики, причем различным формулам могут соответствовать равные функции.

Определение. Формулы М и N над В будем называть эквивалентными, если соответствующие им функции fM и fN равны. Запись M=N будет означать, что M и N эквивалентны.

Пример 1.6:

1) 0=(xΛ x );

2) ( x1 Λ(x2+x3))=( x1 x2 x3 x3 x2 );

3) (x→y)= ( y → x ).

Приведем список эквивалентностей (тождеств), характеризующих свойства некоторого множества элементарных функций.

Обозначим через (x1◦x2) любую из функций (x1Λx2), (x1Vx2),

(x1+x2).

1)Функция (x1◦x2) обладает свойством ассоциативности:

((x1◦x2) ◦x3)= (x1◦(x2◦x3)).

2)Коммутативность (x1◦x2)= (x2◦x1)

3)Для конъюнкции и дизъюнкции выполняются дистрибу-

тивные законы:

((x1Vx2) Λx3)= ((x1Λx3)V(x2Λx3)) ((x1Λx2) Vx3)= ((x1Vx3)Λ(x2Vx3)).

4)Имеют место следующие соотношения между отрицанием, конъюнкцией и дизъюнкцией:

Тождества можно проверить сопоставляя функции, соответствующие правой и левой частям тождеств.

11

Замечание 1. С целью упрощения записи формул условимся, что операция Λ сильнее операции V, т.е. если нет скобок, то сначала выполняется Λ, а потом V. (Например, x1Λx2Vx3= ((x1Λx2)Vx3))

Замечание 2. В силу закона ассоциативности и вместо формул ((x1◦x2) ◦x3), (x1◦(x2◦x3)) можно использовать выражение (x1◦x2 ◦x3), которое, вообще говоря, не является формулой, но превращается в нее расстановкой скобок.

Замечание 3. В формулах, у которых внешняя функция является элементарной, внешние скобки опускаются.

Например: вместо (x1Vx2) пишем x1Vx2

x1 x2 x1 x2 .

Замечание 4. Используются следующие обозначения

Удобно сформулировать ряд правил, вытекающих из п.2 и 5 списка тождеств элементарных функций.

1.Если в логическом произведении один из сомножителей равен 0, то и все произведение равно 0.

2.Если в логическом произведении, содержащем не менее двух множителей, имеется множитель, равный 1, то его можно зачеркнуть.

3.Если в логической сумме не менее двух слагаемых, одно из которых 0, его можно зачеркнуть.

4.Если в логической сумме одно из слагаемых равно 1, то и вся логическая сумма равна 1.

Нетрудно видеть, что если М' – подформула формулы М и если заменить любое из ее вхождений на эквивалентную формулу N', то формула М перейдет в формулу N, которая эквивалентна М.

Этот принцип вместе с тождествами для элементарных функций, к которым присоединяются все тождества, полученные подста-

новкой вместо переменных х, x1, x2, x3 … любых формул, позволяет осуществлять эквивалентные преобразования и получать новые тождества.

12

Пример 1.7.

x1Vx1 Λx2= (x1Λ1)V(x1Λx2)= x1Λ(x2V x2 )V(x1Λx2)= x1Λx2Vx1Λ

x2 Vx1Λx2 = (x1Λx2Vx1Λ x2)V x1Λ x2 = x1Λ x2V x1Λ x2 = x1Λ(x2V x2 )=

x1Λ1= x1.

Таким образом получили так называемое правило поглощения произведения x1Λx2 множителем x1.

Существует еще один способ для получения тождеств. Он основан на использовании так называемого принципа двойственности.

Определение. Функция f x1,..., xn * f x1,..., xn , называется

двойственной функцией к функции f(x1, …, xn).

Очевидно, что таблица для двойственной функции (при выбранном порядке наборов x1, …, xn) получается из таблицы для функции f(x1, …, xn) инвертированием (т.е. заменой 0 на 1 и 1 на 0) столбца функции и его переворачиванием.

(свойство взаимности).

Нетрудно видеть, что среди функций 0, 1, х, x , x1Λx2, x1Vx2,

13

Принцип двойственности. Если формула M=C[f1, …, fs] реали-

зует функцию f(x1, …, xn), то формула C[f*1, …, f*s], т.е. формула, полученная из М заменой функций f1, …, fs соответственно на (f*1, …, f*s) реализует функцию f*(x1, …, xn).

Эту формулу будем называть формулой двойственной к М и обозначать через М*. Таким образом,

M*=C(f*1, …, f*s).

Для формул над множеством B={0, 1, x , x1Λx2, x1Vx2} принцип двойственности можно сформулировать так:

Для получения формулы М*, двойственной к формуле М, нужно в формуле М всюду заменить

0 на 1; 1 на 0; Λ на V; V на Λ, или если

М=С(0, 1, x , x1Λx2, x1Vx2), то

М*=С(1, 0, x , x1Vx2, x1Λx2).

Пример 1.8.

1)М1(x1; x2)= x1Λx2; М*1(x1; x2)= x1Vx2

2)М2(x1; x2)= x1Λx2V x1 Λ x2

М*2(x1; x2)= (x1Vx2)Λ( x1 V x2 ).

Из принципа двойственности вытекает, что если

М(x1, …, xn)= N(x1, …, xn), то М*(x1, …, xn)= N*(x1, …, xn).

Пример 1.9. Из тождества x1 x2 x1 x2 вытекает тожде-

ство x1 x2 x1 x2 .

1.4. Разложение булевых функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Возникает вопрос. Если в качестве В допустить некоторый запас элементарных функций, то всякая ли функция алгебры логики может быть выражена в виде формулы? Ближайшие рассмотрения направлены на решение этого вопроса.

Обозначим

xσ=xΛσV x Λ ,

где σ – параметр, равный либо 0, либо 1.

14

Легко видеть, что xσ=1, тогда и только тогда, когда x=σ. Теорема (о разложении функций по переменным)

Каждую функцию алгебры логики f(x1, …, xn) при каждом m=1…n можно представить в виде:

где дизъюнкция берется по всем возможным наборам значений переменных x1, …, xm (это представление называется разложением функции по переменным x1, …, xm).

Доказательство:

Рассмотрим произвольный набор значений переменных (α1,…,αn) и подставим его в левую и правую части равенства (1.1).

Левая часть дает f(α1, …, αn). Правая

Т.е. на каждом наборе (α1, …, αn) левая и правая части совпадают, что и требовалось доказать.

В качестве следствий из этой теоремы получаем два специальных случая разложения.

1) Разложения по переменной

f(x1, …, xn-1, xn)= xnΛ f(x1, …, xn-1, 1)V xn Λ f(x1, …, xn-1, 0).

Функции f(x1, …, xn-1, 1) и f(x1, …, xn-1, 0) называются компонентами разложения.

2) Разложение по всем n переменным

15

Это разложение (1.2) называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (совершенной д.н.ф.).

Имеет место Теорема: Каждая функция алгебры логики может быть выра-

жена в виде формулы через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию. Доказательство:

1)Если f(x1, …, xn) ≡ 0, то f(x1, …, xn) = x1Λ x1 .

2)Если f(x1, …, xn) ≠ 0,

Доказанная теорема носит конструктивный характер. Она позволяет для каждой функции построить формулу, ее реализующую (в виде совершенной д.н.ф.). Для этого:

1)В таблице истинности для функции f(x1, …, xn) отмечаем все строки (σ1, …, σn), в которых f(σ1, …, σn)=1.

2)Для каждой такой строки образуем логическое произведе-

i1

3)Все полученные конъюнкции соединяем знаком дизъюнкции.

Пример 1.10.

1) Найти совершенную д.н.ф. для функции x1→x2.

Имеем три набора (0, 0), (0, 1), (1, 1), на которых эта функция равна 1. Поэтому

x1→x2=x1°Λx2°V x1°Λx21 V x11Λx21= x1 Λ x2 V x1 Λx2V x1Λx2.

2) Найти совершенную д.н.ф. для функции, заданной нижеследующей таблицей 8.

16

Таблица 8

f(x1, x2, x3) = x1 Λ x2 Λ x3 V x1 Λ x2 Λx3V x1Λ x2 Λx3 V x1Λx2Λ x3.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма имеет вид ΣП. Нельзя ли для булевых функций получить выражение типа ПΣ? Покажем, что при f≠1 это возможно.

Для этого разложим двойственную функцию f* к функции f (f*≠0) в совершенную д.н.ф..

Это выражение носит название совершенной конъюнктивной нормальной формы (совершенной к.н.ф.).

17

Пример 1.11.

1) Построить совершенную к.н.ф. для функции x1→x2. f(x1,x2)=0 только для набора (1, 0)

x1→x2= x11 V x2o =x1°Vx21 = x1 V x2.

2) Построить совершенную к.н.ф. для f(x1, x2, x3) из предыдущего примера

f(x1, x2, x3) =(x1V x2 Vx3)Λ(x1V x2 V x3 )Λ( x1 Λx2Λ x3)Λ

Λ( x1 V x2 Vx3).

Выводы: В качестве средства для задания булевых функций наряду с таблицами можно использовать язык формул над множеством функций, состоящим из отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Так как табличный язык по громоздкости примерно эквивалентен языку совершенных д.н.ф. (к.н.ф.), то язык формул не хуже языка таблиц. Можно показать, что на самом деле он существенно лучше таблицы.

К примеру, рассмотрим функцию

f(x1, …, x20) =x1V x2V…Vx20 .

Эта формула в правой части содержит 39 символов, ее же таблица содержит 220 строк, т.е. больше миллиона.

1.5. Полнота и замкнутость

Мы видели, что каждая булева функция может быть выражена

в виде формулы через элементарные функции x ; x1Λx2; x1Vx2. Является ли этот набор случайным? Или есть и другие наборы функции, обладающие тем же свойством?

Определение. Система функций {f1, f2, …, fs, …} из P2 называется полной, если каждая булева функция может быть записана в виде формулы через функции этой системы.

Примеры полных систем.

1.Система P2 – полная система.

2.Система B={ x ; x1Λx2; x1Vx2} – полная. Теорема. Пусть даны две системы функций из P2

B={f1, …, fs, …} (I) и G={g1, …} (II),

18

относительно которых известно, что система I полна и каждая функция системы I выражается через функции системы II в виде формулы. Тогда система II будет полной.

Доказательство очевидно.

3. Система B={ x ; x1Λx2} является полной.

Для доказательства этого используем теорему и тождество

x1Vx2= x1 x2

4. Система B={ x ; x1Vx2} является полной.

Это доказывается либо так же, как и в п.3, либо через принцип двойственности.

5. Система B={x1/x2} является полной.

Для доказательства в качестве системы I возьмем { x ; x1Λx2}, а за систему II – систему {x1/x2}.

Легко видеть, что выполняются эквивалентности

x1 = x1/x2; (x1/x2)/( x1/x2)= x1 / x2 = x1Λx2.

6. Система B={0; 1; x1Λx2; x1+x2} является полной.

Для доказательства за систему I возьмем { x ; x1Λx2}, а за систему II – рассматриваемую систему В. Имеем равенства

х1+1= x1 .

Конъюнкцию x1Λx2 будем обозначать для краткости и, по аналогии с обычным умножением, через x1x2.

Так как формула, построенная из полной системы 6 после раскрытия скобок и приведения подобных переходит в полином по модулю 2, получаем следующую теорему:

Теорема Жегалкина. Каждая функция из Р2 может быть выражена при помощи полинома по модулю 2 (полинома Жегалкина).

Посчитаем число полиномов Жегалкина от n переменных, число членов xi1…xis равно числу подмножеств (i1, …, is) из n чисел (1, …, n), т.е. равно 2n. Поскольку ai1…is равно либо 0, либо 1, то ис-

комое число полиномов равно 22n , т.е. числу всех булевых функций от тех же переменных следует, что каждая булева функция пред-

ставляется полиномом Жегалкина единственным образом.

Пример 1.12. Выразить x1Vx2 в виде полинома Жегалкина.

19

Будем искать выражение для x1Vx2 в виде полинома с неопределенными коэффициентами.

x1Vx2= ax1x2+bx1+cx2+d

Таблица 9

С понятием полноты тесно связано понятие замкнутости. Определение: Пусть М – некоторое подмножество функций

из Р2. Замыканием М называется множество всех функций, представимых в виде формул через функции множества М.

Обозначается [M].

Нетрудно видеть, что замыкание инвариантно относительной операции введения и удаления фиктивных переменных.

Пример 1.13.

1)M=P2. Очевидно, что [M]=P2.

2)M={1, x1+x2}. Замыканием этого множества будет класс L всех линейных функций

f(x1, …, xn)= c0+ c1x1+…+ cnxn,

где ci=0; 1 (i=0, …, n); существенные переменные входят с коэффициентом 1, фиктивные – с коэффициентом 0.

Определение. Множество М называется замкнутым, если

[M]=M.

Пример 1.14.

1)Множество M=P2 является замкнутым.

2)M={1, x1+x2} не замкнуто.

20