Задачи для самостоятельного решения
Задание 1
Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств
ìa |
x + a |
x |
£ b |
|
ï 11 |
1 |
12 |
2 |
1 |
ía21x1 + a22 x2 £ b2 |
||||
ï |
|
|
|
³ b3 |
îa31x1 + a32 x2 |
||||
и геометрически найти наименьшее |
и |
наибольшее значения линейной функции |
||
f = c1 x1 + c2 x2 в этой области.
|
ì - x |
+ x |
2 |
£ 3, |
||||
1. |
ï |
|
1 |
|
£ 97, |
|||
í5x1 + 3x2 |
||||||||
|
ï |
x1 + 7x2 |
³ 77; |
|||||
|
î |
|||||||
|
|
f |
= 3x1 + 4x2 . |
|||||
|
ì |
|
6x1 - 5x2 |
³ 17, |
||||
4. |
ï |
|
x1 + 2x2 |
£ 34, |
||||
í |
|
|||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
³ 17; |
|
|
î- 4x1 + 9x2 |
|||||||
|
|
f |
= 5x1 + 3x2 . |
|||||
|
ì- 4x1 + 5x2 |
£ 29, |
||||||
7. |
ï |
|
3x1 - x2 |
£ 14, |
||||
í |
|
|||||||
|
ï |
|
5x1 + 2x2 |
³ 38; |
||||
|
î |
|
||||||
|
|
f |
= 3x1 + 2x2 . |
|||||
|
|
ì |
|
4x1 - x2 |
³ 6, |
|||
10. |
ï |
9x1 + 8x2 |
£ 157, |
|||||
í |
||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
³ 16; |
|
|
î- 3x1 +11x2 |
||||||
|
|
f |
= x1 + x2 . |
|
||||
|
|
ì |
x |
+ 4x |
2 |
£ 53, |
||
13. |
ï |
1 |
|
|
£ 3, |
|||
í |
x1 - x2 |
|||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
³ 71; |
|
|
|
î7x1 + 3x2 |
||||||
|
|
f |
= x1 + 7x2. |
|
||||
|
|
ì 11x1 - 3x2 ³ 24, |
||||||
16. |
ï |
9x1 + 4x2 |
£ 110, |
|||||
í |
||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
³ 15; |
|
|
î- 2x1 + 7x2 |
||||||
|
|
f |
= 7x1 + x2 . |
|
||||
|
|
ì10x1 - x2 ³ 57, |
||||||
19. |
ï |
|
|
|
|
£ 53, |
||
í2x1 + 3x2 |
||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
£ 15; |
|
|
|
î6x1 - 7x2 |
||||||
|
|
f |
= 2x1 + 3x2 . |
|||||
|
ì |
|
3x1 - x2 |
³ 9, |
|||||
2. |
ï |
2x1 + 3x2 |
£ 50, |
||||||
í |
|||||||||
|
ï |
|
|
|
|
³ 19; |
|||
|
î- x1 + 4x2 |
||||||||
|
|
f |
= x1 + 5x2 . |
|
|||||
|
ì- 3x1 +14x2 £ 78, |
||||||||
5. |
ï |
|
5x1 - 6x2 |
£ 26, |
|||||
í |
|
||||||||
|
ï |
|
x1 + 4x2 |
³ 26; |
|||||
|
î |
|
|||||||
|
|
f |
= 5x1 + 7x2 . |
||||||
|
ì |
|
2x1 - x2 |
³ 4, |
|||||
8. |
ï |
|
x1 + 3x2 |
£ 37, |
|||||
í |
|
||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
³ 20; |
||
|
î- 4x1 + 9x2 |
||||||||
|
|
f |
= 4x1 + 3x2 . |
||||||
|
|
ì |
- x |
+ x |
2 |
|
£ 3, |
||
11. |
ï |
1 |
|
|
£ 97, |
||||
í5x1 + 3x2 |
|
||||||||
|
|
ï |
x1 + 7x2 |
|
³ 77; |
||||
|
|
î |
|
||||||
|
|
f |
= 7x1 + 2x2 . |
||||||
|
|
ì |
6x1 - 5x2 |
|
³ 17, |
||||
14. |
ï |
x1 + 2x2 |
|
£ 34, |
|||||
í |
|
||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
³ 17; |
|
|
î- 4x1 + 9x2 |
|
||||||
|
|
f |
= x1 + 9x2. |
|
|
||||
|
|
ì- 4x1 + 5x2 |
|
£ 29, |
|||||
17. |
ï |
3x1 - x2 |
|
£ 14, |
|||||
í |
|
||||||||
|
|
ï |
5x1 + 2x2 |
|
³ 38; |
||||
|
|
î |
|
||||||
|
|
f |
= 3x1 + x2 . |
|
|||||
|
|
ì |
4x1 - x2 |
³ 6, |
|||||
20. |
ï |
9x1 + 8x2 |
£ 157, |
||||||
í |
|||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
³ 16; |
|
|
î- 3x1 +11x2 |
|||||||
f = 8x1 + 5x2 .
|
ì |
|
x |
+ 4x |
2 |
£ 53, |
||
3. |
ï |
|
1 |
|
£ 3, |
|||
í |
|
x1 - x2 |
||||||
|
ï |
|
|
|
|
³ 71; |
||
|
î7x1 + 3x2 |
|||||||
|
|
f |
= 9x1 + 2x2 . |
|||||
|
ì 11x1 - 3x2 ³ 24, |
|||||||
6. |
ï |
|
9x1 + 4x2 |
£ 110, |
||||
í |
|
|||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
³ 15; |
|
|
î- 2x1 + 7x2 |
|||||||
|
|
f |
= 9x1 + 2x2 . |
|||||
|
ì10x1 - x2 ³ 57, |
|||||||
9. |
ï |
|
|
|
|
£ 53, |
||
í2x1 + 3x2 |
||||||||
|
ï |
|
|
|
|
£ 15; |
||
|
î6x1 - 7x2 |
|||||||
|
|
f |
= 5x1 + x2 . |
|
||||
|
|
ì |
|
3x1 - x2 |
³ 9, |
|||
12. |
ï |
2x1 + 3x2 |
£ 50, |
|||||
í |
||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
³ 19; |
|
|
|
î- x1 + 4x2 |
||||||
|
|
|
f |
= 6x1 + x2 . |
||||
|
|
ì- 3x1 +14x2 |
£ 78, |
|||||
15. |
ï |
|
5x1 - 6x2 |
£ 26, |
||||
í |
|
|||||||
|
|
ï |
|
x1 + 4x2 |
³ 26; |
|||
|
|
î |
|
|||||
|
|
f |
= x1 + 8x2 . |
|
||||
|
|
ì |
|
2x1 - x2 |
³ 4, |
|||
18. |
ï |
|
x1 + 3x2 |
£ 37, |
||||
í |
|
|||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
³ 20; |
|
|
î- 4x1 + 9x2 |
||||||
|
|
f |
= x1 + 3x2 . |
|
||||
|
|
ì- 4x1 + 5x2 |
£ 29, |
|||||
21. |
ï |
|
3x1 - x2 |
£ 14, |
||||
í |
|
|||||||
|
|
ï |
5x1 + 2x2 |
³ 38; |
||||
|
|
î |
||||||
|
|
f |
= x1 + x2 . |
|
|
|||
17
|
ì |
6x - 5x |
2 |
³ 17, |
|
ì |
- x |
|
+ x |
2 |
£ 3, |
||
22. |
ï |
1 |
|
£ 34, |
23. |
ï |
1 |
|
£ 97, |
||||
í |
x1 + 2x2 |
í5x1 + 3x2 |
|||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
³ 17; |
|
ï |
x1 + 7x2 |
³ 77; |
|||
|
î- 4x1 + 9x2 |
|
î |
||||||||||
|
f = 4x1 + 3x2 . |
|
|
f = 3x1 + 4x2 . |
|||||||||
|
ì10x1 - x2 ³ 57, |
|
ì- x1 + 2x2 £ 6, |
||||||||||
25. |
ï |
|
£ 53, |
26. |
ï |
x1 + x2 |
|
£ 9, |
|||||
í2x1 + 3x2 |
í |
|
|||||||||||
|
ï |
|
£ 15; |
|
ï |
3x1 - x2 |
|
³ 15; |
|||||
|
î6x1 - 7x2 |
|
î |
|
|||||||||
|
f = 5x1 - x2 . |
|
|
|
f = 4x1 + 2x2 . |
||||||||
|
ì |
4x - x |
2 |
³ 6, |
|
ì |
x |
+ 4x |
2 |
£ 53, |
|||
28. |
ï |
1 |
|
|
£ 157, |
29. |
ï |
1 |
|
|
£ 3, |
||
í |
9x1 + 8x2 |
í |
x1 - x2 |
||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
³ 16; |
|
ï |
|
|
|
|
³ 71; |
|
î- 3x1 +11x2 |
|
î7x1 + 3x2 |
||||||||||
|
f = x1 + 4x2 . |
|
|
f = 3x1 - x2 . |
|||||||||
|
ì |
2x1 - x2 |
³ 4, |
24. |
ï |
x1 + 3x2 |
£ 37, |
í |
|||
|
ï |
|
³ 20; |
|
î- 4x1 + 9x2 |
||
f = -x1 + 3x2 .
|
ì3x + 2x |
2 |
³ 6, |
||
27. |
ï |
1 |
|
|
|
í x1 - 4x2 £ 2, |
|||||
|
ï |
x1 + x2 |
£ 5; |
||
|
î |
||||
|
f |
= 2x1 + 3x2 . |
|||
|
ì |
11x1 - 3x2 |
³ 24, |
||
30. |
ï |
9x1 + 4x2 |
£ 110, |
||
í |
|||||
|
ï |
|
|
|
³ 15; |
|
î- 2x1 + 7x2 |
||||
|
f |
= x1 + 7x2 . |
|
||
Задание 2
а) Решить задачу линейного программирования графическим и симплексным методом. б) Составить для данной задачи линейного программирования двойственную задачу и
по решению прямой задачи найти решение двойственной, используя теоремы двойственности.
ì - x1 + x2 |
£ 3, |
ì- x1 + 2x2 |
|
£ 8, |
|
ì x1 |
+ 4x2 £ 12, |
||||||||||||||||||
ï 2x |
|
+ x |
2 |
£ 6, |
ï |
2x |
|
- x |
2 |
|
£ 2, |
|
ï4x |
+ 7x |
2 |
£ 30, |
|||||||||
|
1 |
|
|
³ 10, |
2. í |
1 |
|
|
|
³ 2, |
3. |
í |
1 |
|
+ x |
³ 1, |
|||||||||
1. í2x |
+ 5x |
2 |
x |
+ 2x |
2 |
|
x |
2 |
|||||||||||||||||
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
1 |
|
|
||||
î |
|
x1 , x2 ³ 0; |
î |
|
x1 , x2 ³ 0; |
|
î |
|
x1 , x2 ³ 0; |
||||||||||||||||
|
z = x1 - 2x2 ® min . |
z = 4x1 + 5x2 |
® max . |
|
z = -x1 - 2x2 ® min . |
||||||||||||||||||||
ì2x1 + x2 |
£ 14, |
ì- 3x1 + 5x2 |
£15, |
|
ì5x1 + 2x2 |
£ 18, |
|||||||||||||||||||
ï4x |
- x |
2 |
£ 16, |
ï |
3x - x |
2 |
£ 9, |
|
ï x |
+ 2x |
|
£ 10, |
|||||||||||||
|
1 |
+ x |
³ 6, |
5. í |
4x |
|
1 |
|
|
|
|
³ 20, |
6. |
|
1 |
|
|
2 |
³ 20, |
||||||
4. í3x |
2 |
|
+ 5x |
2 |
í4x |
+ 5x |
|
||||||||||||||||||
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ï |
1 |
|
|
2 |
³ 0; |
|||
î |
x1 , x2 ³ 0; |
î |
|
|
x1, x2 ³ 0; |
|
î |
|
x1, x2 |
||||||||||||||||
|
z = 5x1 + x2 ® max . |
z = x1 - 3x2 ® min . |
|
|
z = 2x1 + 3x2 ® max . |
||||||||||||||||||||
ì 5x1 - 2x2 £ 7, |
ì2x1 + 3x2 |
|
|
£12, |
|
ì x1 |
+ 2x2 |
£ 8, |
|||||||||||||||||
ï- x |
|
+ 2x |
2 |
£ 5, |
ï7x + 3x |
2 |
|
|
£ 9, |
|
ï3x |
+ 2x |
2 |
£12, |
|||||||||||
7. í |
1 |
|
+ 3x |
³12, |
8. í |
1 |
|
|
|
|
³1, |
9. |
í |
1 |
+ 2x |
³ 2, |
|||||||||
4x |
|
2 |
|
|
x |
|
|
x |
2 |
||||||||||||||||
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ï |
1 |
|
|
³ 0; |
|||
î |
|
|
x1, x2 ³ 0; |
î |
x1, x2 ³ 0; |
|
î |
|
x1, x2 |
||||||||||||||||
|
z = 4x1 + 6x2 ® max . |
z = x1 + 3x2 |
® max . |
|
|
z = -3x1 - 4x2 ® min . |
|||||||||||||||||||
|
ì- x1 + 2x2 £ 2, |
ì |
x1 - x2 |
£1, |
|
|
ì7x1 + 4x2 £ 26, |
||||||||||||||||||
10. |
ï 2x - x |
2 |
£ 2, |
ï |
x + x |
2 |
£ 7, |
12. |
ï x + 2x £ 8, |
||||||||||||||||
í |
|
1 |
|
|
|
|
11. í |
|
1 |
|
|
|
|
|
í |
1 |
|
|
2 |
||||||
|
ï |
|
x1 + x2 ³ 2, |
ï8x1 + 3x2 ³ 24, |
|
|
ï |
|
|
x1 ³1, |
|||||||||||||||
|
î |
|
x1, x2 ³ 0; |
î |
|
|
x1, x2 ³ 0; |
|
|
î |
|
x1, x2 ³ 0; |
|||||||||||||
|
z = 3x1 + 5x2 ® max . |
z = -4x1 - x2 ® min . |
|
|
z = 2x1 + 3x2 ® max . |
||||||||||||||||||||
18
|
ì- 3x1 + 4x2 |
£ 0, |
||
13. |
ï |
x1 + x2 |
£ 7, |
|
í |
3x |
+ 7x |
³ 21, |
|
|
ï |
1 |
2 |
³ 0; |
|
î |
|
x1 , x2 |
|
z = -3x1 - 4x2 ® min .
ì2x1 - 3x2 £ 7,
16.ï4x1 + 9x2 £ 36,
íï2x1 + 3x2 ³ 6,
î x1 , x2 ³ 0;
z = 3x1 + 2x2 ® max .
ì- 3x1 + 2x2 |
£ 5, |
|||
ï |
7x |
- 2x |
2 |
£ 7, |
19. í |
1 |
+ 5x |
³ 20, |
|
4x |
2 |
|||
ï |
1 |
|
³ 0; |
|
î |
|
x1 , x2 |
||
z = -2x1 - 6x2 ® min .
ì2x1 + x2 £ 14,
22.ï4x1 - x2 £ 16,
íï3x1 + x2 ³ 6,
î x1 , x2 ³ 0;
z = 5x1 + x2 ® max .
|
ì7x1 + 4x2 |
£ 26, |
||||
25. |
ï |
x |
+ 2x |
£ 8, |
||
í |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
ï |
|
x1 |
³ 1, |
||
|
î |
|
x1, x2 |
³ 0; |
||
|
z = 2x1 + 3x2 |
® max . |
||||
|
ì- 3x1 + 5x2 |
£15, |
||||
28. |
ï |
|
3x1 - x2 |
£ 9, |
||
í |
4x + 5x |
2 |
³ 20, |
|||
|
ï |
|
1 |
|
³ 0; |
|
|
î |
|
x1, x2 |
|||
z = 4x1 + x2 ® max .
ì9x1 + 7x2 £ 64,
14.ï x1 + 4x2 £ 20, íï9x1 + 4x2 ³ 36, î x1, x2 ³ 0;
|
z = 3x1 + 5x2 |
® max . |
|||
|
ì- 4x1 + 2x2 |
£ 3, |
|||
|
ï |
8x |
+ 9x |
2 |
£ 72, |
17. í |
1 |
+ 2x |
³ 6, |
||
3x |
2 |
||||
|
ï |
1 |
|
³ 0; |
|
|
î |
|
x1 , x2 |
||
|
z = 2x1 - 3x2 |
® min . |
|||
|
ì- x1 + 2x2 |
£ 7, |
|||
20. |
ï |
x1 |
- x2 |
£ 1, |
|
í |
x1 |
+ x2 |
³ 1, |
||
|
ï |
||||
|
î |
x1 , x2 |
³ 0; |
||
z = 5x1 + 7x2 ® max .
ì 5x1 |
- 2x2 |
£ 7, |
||
ï- x |
+ 2x |
2 |
£ 5, |
|
23. í |
1 |
+ 3x |
³ 12, |
|
4x |
2 |
|||
ï |
1 |
|
³ 0; |
|
î |
|
x1, x2 |
||
z = 4x1 + 6x2 ® max .
ì- x1 |
+ 2x2 |
£ 8, |
|||
ï |
2x |
|
- x |
2 |
£ 2, |
26. í |
1 |
|
³ 2, |
||
x |
+ 2x |
2 |
|||
ï |
1 |
|
|
³ 0; |
|
î |
|
x1 , x2 |
|||
z = 2x1 - x2 ® min .
ì5x1 + 2x2 £ 18,
29.ï x1 + 2x2 £ 10, íï4x1 + 5x2 ³ 20, î x1, x2 ³ 0;
z = -x1 + x2 ® max .
|
ì- x1 |
+ x2 |
£1, |
|||
|
ï |
x |
+ x |
2 |
£ 7, |
|
15. í |
1 |
+ x |
³ 3, |
|||
x |
2 |
|||||
|
ï |
1 |
|
|
||
|
î |
|
x1 , x2 ³ 0; |
|||
|
z = 2x1 - 3x2 ® min . |
|||||
|
ì x1 + 2x2 |
£ 15, |
||||
18. |
ï3x |
- 5x |
2 |
£ 12, |
||
í |
1 |
|
|
³ 26, |
||
|
ï5x1 + 3x2 |
|||||
|
î |
|
x1 , x2 |
³ 0; |
||
z = 4x1 + 3x2 ® max .
|
ì - x1 |
+ x2 |
£ 3, |
|||
21. |
ï 2x |
|
+ x |
2 |
£ 6, |
|
|
1 |
|
³ 10, |
|||
í2x |
+ 5x |
2 |
||||
|
ï |
1 |
|
|
³ 0; |
|
|
î |
|
x1 , x2 |
|||
z = x1 + 2x2 ® max .
ì- x1 + 2x2 £ 2,
ï |
2x |
- x |
2 |
£ 2, |
|
24. í |
1 |
|
|
||
x1 |
+ x2 |
³ 2, |
|||
ï |
|||||
î |
x1, x2 |
³ 0; |
|||
z = 3x1 + 5x2 ® max .
|
ì x1 |
+ 4x2 |
£ 12, |
|||
27. |
ï4x |
+ 7x |
2 |
£ 30, |
||
í |
1 |
|
+ x |
³ 1, |
||
x |
2 |
|||||
|
ï |
|
1 |
|
³ 0; |
|
|
î |
|
x1 , x2 |
|||
z = 2x1 + x2 ® max .
|
ì2x1 + |
3x2 |
£12, |
|||
30. |
ï7x |
+ |
3x |
2 |
£ 9, |
|
í |
1 |
|
|
|
||
|
ï |
|
|
x1 ³1, |
||
|
î |
|
x1, x2 |
³ 0; |
||
z = 3x1 + x2 ® min .
Задание 3
На базах Ai имеется однородный груз в количестве ai тонн. Этот груз требуется пере-
везти в пункты B j , имеющие потребности b j тонн. Расстояние между пунктами отправления
и пунктами назначения заданы матрицей расстояний D .
Стоимость перевозки пропорциональна количеству груза и расстоянию, на которое этот груз перевозится.
Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной(ввиду пропорциональности затрат количеству груза и расстоянию, для решения задачи достаточно минимизировть общий объём плана, выраженный в тонно-километрах).
Задачу решить методом потенциалов, первоначальный опорный план составить методом северо-западного угла.
19
1. |
a1 |
a2 |
|
|
a3 |
2. |
a1 |
a2 |
|
|
a3 |
3.a1 a2
4. |
a1 |
a2 |
|
|
a3 |
5.a1 a2
a1
6.a2 a3
7.a1 a2
a1
8.a2 a3
9.a1 a2
a1
10.a2 a3
=200
=150
=150
=300
=280
=220
=250
=220
=400
=250
=280
=150
=250
=280
=300
=220
=150
=240
=250
=400
=550
=170
=150
=280
=220
=300
b1 |
= 90 |
b2 |
= 100 |
b3 |
= 160 |
b4 |
= 40 |
b1 |
= 180 |
b2 |
= 140 |
b3 |
= 260 |
b4 |
= 120 |
b1 |
= 180 |
b2 |
= 120 |
b |
= 90 |
3 |
= 80 |
b4 |
|
b |
= 105 |
5 |
|
b1 |
= 200 |
b2 |
= 200 |
b |
= 230 |
3 |
= 220 |
b4 |
|
b1 |
= 160 |
b2 |
= 70 |
b |
= 90 |
3 |
= 80 |
b4 |
|
b |
= 100 |
5 |
|
b1 |
= 170 |
b2 |
= 110 |
b3 |
= 190 |
b4 |
= 140 |
b1 |
= 180 |
b2 |
= 120 |
b |
= 90 |
3 |
= 100 |
b4 |
|
b |
= 80 |
5 |
|
b1 |
= 300 |
b2 |
= 350 |
b3 |
= 200 |
b4 |
= 150 |
b1 |
= 100 |
b2 |
= 70 |
b |
= 130 |
3 |
= 110 |
b4 |
|
b |
= 90 |
5 |
|
b1 |
= 190 |
b2 |
= 140 |
b3 |
= 170 |
b4 |
= 120 |
æ12 15 21 14ö |
|
|
|||||||
D = ç14 |
8 |
15 |
|
11÷ . |
|
|
|||
ç |
|
16 |
26 |
|
12 |
÷ |
|
|
|
è19 |
|
ø |
|
|
|||||
æ12 21 10 10ö |
|
|
|||||||
D = ç13 |
15 |
11 |
13 |
÷ . |
|
|
|||
ç |
26 |
12 |
|
17 |
÷ |
|
|
||
è19 |
|
ø |
|
|
|||||
æ12 |
8 |
21 |
10 |
15ö |
|
||||
D = ç |
|
4 |
15 |
13 |
|
|
÷ . |
||
è13 |
21ø |
|
|||||||
æ13 |
9 |
5 |
|
15ö |
|
|
|||
D = ç |
14 |
5 |
12 |
|
14 |
÷ . |
|
|
|
ç |
20 17 13 18 |
÷ |
|
|
|||||
è |
ø |
|
|
||||||
æ8 |
20 |
7 |
|
11 |
16ö |
|
|||
D = ç |
4 |
14 |
12 |
|
15 |
17 |
÷ . |
||
è |
|
ø |
|
||||||
æ |
28 |
12 |
7 |
|
18 ö |
|
|
||
D = ç |
35 |
14 |
12 |
|
15 |
÷ . |
|
|
|
ç |
35 |
15 |
11 |
|
25 |
÷ |
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|||||
æ14 |
18 |
17 |
|
19 |
|
4ö |
|
||
D = ç |
7 |
10 |
5 |
|
11 |
|
5 |
÷ . |
|
è |
|
|
ø |
|
|||||
æ 9 |
15 |
35 |
20ö |
|
|
||||
D = ç |
15 |
35 |
12 |
11 |
÷ . |
|
|
||
ç |
20 |
19 |
40 |
15 |
÷ |
|
|
||
è |
ø |
|
|
||||||
æ20 |
3 |
9 |
|
15 |
|
35ö |
|||
D = ç |
14 |
10 |
12 |
|
20 |
|
45 |
÷ . |
|
è |
|
|
ø |
||||||
æ 7 |
3 |
9 |
|
15 ö |
|
|
|||
D = ç |
3 |
10 |
12 |
|
20 |
÷ . |
|
|
|
ç |
|
11 16 |
|
19 |
÷ |
|
|
||
è15 |
|
ø |
|
|
|||||
20
11.a1 = 200 a2 = 250
a1 = 350
12.a2 = 400 a3 = 250
13.a1 = 250 a2 = 250
a1 = 250
14.a2 = 180 a3 = 370
a1 = 350
15.a2 = 360 a3 = 350
16.a1 = 250 a2 = 350
a1 = 100
17.a2 = 150 a3 = 150
18.a1 = 200 a2 = 200
19.a1 = 200 a2 = 300
a1 = 180
20.a2 = 120 a3 = 200
b1 |
= 120 |
b2 |
= 80 |
b |
= 205 |
3 |
= 90 |
b4 |
|
b |
= 105 |
5 |
|
b1 |
= 170 |
b2 |
= 180 |
b3 |
= 230 |
b4 |
= 270 |
b1 |
= 120 |
b2 |
= 130 |
b |
= 80 |
3 |
= 270 |
b4 |
|
b |
= 50 |
5 |
|
b1 |
= 160 |
b2 |
= 170 |
b |
= 100 |
3 |
= 220 |
b4 |
|
b1 |
= 160 |
b2 |
= 190 |
b3 |
= 300 |
b4 |
= 250 |
b1 |
= 150 |
b2 |
= 100 |
b |
= 250 |
3 |
= 210 |
b4 |
|
b |
= 190 |
5 |
|
b1 |
= 100 |
b2 |
= 50 |
b3 |
= 100 |
b4 |
= 100 |
b1 |
= 100 |
b2 |
= 100 |
b3 |
= 80 |
b4 |
= 50 |
b1 |
= 100 |
b2 |
= 150 |
b3 |
= 250 |
b4 |
= 100 |
b1 |
= 90 |
b2 |
= 100 |
b3 |
= 110 |
b4 |
= 100 |
æ 9 |
6 |
17 |
11 |
9 ö |
|
|
||||
D = ç |
|
4 |
|
9 |
5 |
|
7 |
÷ . |
|
|
è13 |
|
|
ø |
|
|
|||||
æ 5 |
13 |
18 17 ö |
|
|
|
|||||
D = ç |
6 |
10 |
15 |
6 |
÷. |
|
|
|||
ç |
24 |
21 |
9 |
16 |
÷ |
|
|
|
||
è |
ø |
|
|
|
||||||
æ13 |
7 |
16 |
4 |
15ö |
||||||
D = ç |
20 |
9 |
|
6 |
10 |
19 |
÷ . |
|||
è |
|
ø |
||||||||
æ |
4 |
11 |
9 |
13ö |
|
|
|
|
||
D = ç |
6 |
5 |
4 |
4 |
÷ . |
|
|
|
||
ç |
4 |
9 |
11 |
6 |
÷ |
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|||||
æ 6 |
9 |
10 |
14ö |
|
|
|
|
|||
D = ç17 |
6 |
|
4 |
1 |
÷ . |
|
|
|
||
ç |
|
8 |
|
9 |
8 |
÷ |
|
|
|
|
è12 |
|
ø |
|
|
|
|
||||
æ 7 |
9 |
|
16 |
8 |
16 ö |
|||||
D = ç |
|
12 |
18 |
12 |
20 |
÷. |
||||
è13 |
ø |
|||||||||
æ |
2 |
3 |
5 |
7 ö |
|
|
|
|
|
|
D = ç |
1 |
3 |
0 |
4 |
÷ . |
|
|
|
|
|
ç |
3 |
1 |
2 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
||||
æ |
3 |
2 |
5 |
1 ö |
|
|
|
|
|
|
D = ç |
2 |
2 |
4 |
2 |
÷ . |
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
||||
æ |
2 |
2 |
3 |
1 ö |
|
|
|
|
|
|
D = ç |
4 |
2 |
1 |
4 |
÷ . |
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
||||
æ |
2 |
1 |
2 |
5ö |
|
|
|
|
|
|
D = ç |
3 |
1 |
1 |
4 |
÷ . |
|
|
|
|
|
ç |
2 |
4 |
2 |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
||||
21
a1 = 200
21.a2 = 150 a3 = 150
22.a1 = 250 a2 = 220
23.a1 = 140 a2 = 260
24.a1 = 160 a2 = 230
25.a1 = 180 a2 = 140
a1 = 260
26.a2 = 240 a3 = 300
a1 = 150
27.a2 = 210 a3 = 190
28.a1 = 240 a2 = 160
a1 = 300
29.a2 = 240 a3 = 260
30.a1 = 220 a2 = 180
b1 |
= 90 |
b2 |
= 100 |
b3 |
= 160 |
b4 |
= 40 |
b1 |
= 180 |
b2 |
= 120 |
b |
= 90 |
3 |
= 80 |
b4 |
|
b |
= 105 |
5 |
|
b1 |
= 150 |
b2 |
= 80 |
b |
= 90 |
3 |
= 80 |
b4 |
|
b |
= 100 |
5 |
|
b1 |
= 190 |
b2 |
= 110 |
b |
= 100 |
3 |
= 90 |
b4 |
|
b |
= 80 |
5 |
|
b1 |
= 90 |
b2 |
= 80 |
b |
= 130 |
3 |
= 110 |
b4 |
|
b |
= 90 |
5 |
|
b1 |
= 200 |
b2 |
= 140 |
b3 |
= 160 |
b4 |
= 120 |
b1 |
= 100 |
b2 |
= 140 |
b3 |
= 160 |
b4 |
= 90 |
b1 |
= 130 |
b2 |
= 100 |
b |
= 90 |
3 |
= 80 |
b4 |
|
b |
= 100 |
5 |
|
b1 |
= 160 |
b2 |
= 140 |
b3 |
= 200 |
b4 |
= 120 |
b1 |
= 120 |
b2 |
= 110 |
b |
= 90 |
3 |
= 70 |
b4 |
|
b |
= 110 |
5 |
|
æ12 |
15 |
21 14ö |
|
D = ç14 |
8 |
15 |
11÷ . |
ç |
16 |
26 |
÷ |
è19 |
12ø |
||
æ12 |
8 |
21 |
10 |
|
15ö |
|
||
D = ç |
|
4 |
15 |
13 |
|
|
÷ . |
|
è13 |
|
21ø |
|
|||||
æ8 |
18 |
7 |
11 |
|
16ö |
|
||
D = ç |
4 |
14 |
12 |
13 |
|
17 |
÷ . |
|
è |
|
ø |
|
|||||
æ14 |
16 |
17 |
15 |
|
4ö |
|
||
D = ç |
7 |
10 |
5 |
11 |
5 |
÷ . |
||
è |
ø |
|
||||||
æ18 |
3 |
9 |
15 |
35ö |
||||
D = ç |
|
10 |
12 |
20 |
25 |
÷ . |
||
è14 |
ø |
|||||||
æ 7 |
4 |
9 |
15ö |
|
|
|||
D = ç |
3 |
10 |
12 |
14 |
|
÷ . |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
è17 11 16 12 |
|
ø |
|
|
||||
æ 7 |
4 |
9 |
11ö |
|
|
|||
D = ç |
6 |
10 |
12 |
14 |
|
÷ . |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
è17 11 15 12 |
|
ø |
|
|
||||
æ8 |
15 |
7 |
11 |
|
16ö |
|
||
D = ç |
6 |
14 |
12 |
13 |
|
17 |
÷. |
|
è |
|
ø |
|
|||||
æ 7 |
6 |
9 |
16ö |
|
|
|||
D = ç |
3 |
10 |
12 |
14 |
÷ . |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
è13 11 15 12 |
ø |
|
|
|||||
æ8 |
12 |
7 |
11 |
|
16ö |
|
||
D = ç |
4 |
14 |
12 |
13 |
|
15 |
÷. |
|
è |
|
ø |
|
|||||
22
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК |
|
|||||||
1.Пантелеев |
И.Н. Спецгпавы высшей математики: основы |
||||||||
линейного программирования и теории игр: учеб. пособие / |
|||||||||
И.Н. Пантелеев. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский |
|||||||||
государственный технический университет», 2006. 202 с. |
|
||||||||
2. |
Пантелеев |
И.Н. |
Спецглавы высшей |
математики: методы |
|||||
оптимизации |
: учеб. пособие [Электронный |
ресурс]. |
– |
||||||
Электрон. текстовые, граф. данные (2282 Кб) /И.Н. Пантелеев. |
|||||||||
– |
Воронеж : ФГБОУ ВПО «Воронежский |
государственный |
|||||||
технический университет», 2015. 203 с. |
|
|
|
|
|||||
3. |
Методы |
оптимизации: |
Методические |
указания |
для |
||||
организации самостоятельной работы по курсу"Высшая |
|||||||||
математика" |
для |
студентов |
|
|
направления20.01.03 |
||||
«Техносферная |
безопасность» / |
ФГБОУ |
ВПО «Воронежский |
||||||
государственный |
технический |
университет»; |
сост. И.Н. |
||||||
Пантелеев. Воронеж, 2011. 50 с. №310-2011.
4. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах.-M: Высш. шк, 1986.-320 с.
23
Приложение 1: «Образец титульного листа»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФБГОУ ВПО «ВГТУ»)
Факультет информационных технологий и компьютерной безопасности
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
Курсовая работа по дисциплине «Высшая математика»
Тема:«Методы оптимизации» Вариант №
Выполнил студент группы ТБ -151 _________Иванов А.А.
Руководитель доцент каф. ВМФММ ________Пантелеев И.Н.
Защищена _________ |
___________ |
дата |
оценка |
Воронеж 2015
24
Приложение 2
З а д а ч а л и н е й н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я ( З ЛП )
П о с т а н о в к а к а н о н и ч е с к о й з а д а ч и :
Решается задача:
n
f (x) = åC j x j ® max
j =1 |
|
|
n |
|
|
åai j x j = bi , |
i =1...m < n |
(1) |
j =1 |
|
|
x j ³ 0, |
j =1...n |
|
П о с т а н о в к а о с н о в н о й з а д а ч и :
Решается задача:
n
f (x) = åC j x j ® max
j =1 |
|
|
n |
|
|
åai j x j |
£ (³) bi , i =1...m < n |
(2) |
j =1 |
|
|
x j ³ 0, |
j =1...n |
|
П о с т а н о в к а о б щ е й з а д а ч и :
Решается задача:
25
n |
|
|
|
f (x) = åC j x j |
® max |
|
|
j =1 |
|
|
|
n |
|
|
|
åai j x j |
= bi , |
i =1...k |
|
j =1 |
|
|
|
n |
|
|
|
åai j x j |
£ (³) bi , |
i = k +1...m < n |
(3) |
j =1 |
|
|
|
x j ³ 0, |
|
j =1...n |
|
О б щ а я х а р а к т е р и с т и к а п о с т а в л е н н ы х з а д а ч
1.Решается задача поиска максимума целевой функции
2.Максимизируемая функция и ограничения линейны по xj
3 . Задачи содержат ограничения на знак переменныхxj . Если по физической постановке какая-либо переменная, вляется неограниченной по знаку, её всегда можно представить в виде
xj = xn + 1 – xn + 2 , где xn + 1 ≥ 0 , xn + 2 ≥ 0
В случае двух переменных, поставленные задачи могут быть решены графически.
Алгоритм графического решения задачи
1. |
Построить |
множество допустимых значений, задаваемое |
|
|||||||
ограничениями. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Построить |
градиент |
целевой |
функции |
в |
точке |
с |
|||
координатами (0,0). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Построить |
линию уровня целевой функции, проходящую |
|
|||||||
через точку с координатами (0,0). |
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Если |
требуется |
найти |
максимум |
целевой |
функции, |
|
|||
мысленно |
|
переносить |
построенную |
линию |
|
уровня |
в |
|||
направлении градиента до последнего касания с множеством |
|
|||||||||
допустимых решений. Точка касания – максимум. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
Если требуется найти минимум целевой функции, мысленно |
Т а б л и ч н ы й с и м п л е к с м е т о д Д а н ц и г а |
|||||
переносить |
построенную |
линию |
уровня |
в |
направлении |
|
градиента до первого касания с |
множеством |
допустимых |
Решение задач на основании стратегии симплекс метода |
|||
решений. Точка касания – минимум. |
|
|
|
наглядно представляется в виде таблиц специального вида. |
||
При графическом решении задачи возможны следующие |
|
|||||
варианты: |
|
|
|
|
|
|
Вслучае А - решение единственное (точка А).
Вслучае B - бесконечное множество решений (отрезок [А,B]).
В |
случае С - |
решений |
нет, |
так |
как |
область допустимых |
решений в направлении поиска решений не замкнута. |
||||||
В |
случае D – |
решений |
нет, |
так |
как |
ограничения в задаче |
несовместны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
Алгоритм симплекс-метода |
|
|
|
|
||
Замечание |
№1. При решении задачи симплекс-методом |
|||||
ограничения |
на знак |
переменных не |
участвуют |
ни в |
||
подготовке задачи к решению, ни в самом счете. |
|
|
||||
Решение задачи симплекс методом включает два |
этапа: |
|||||
этап подготовки задачи к решению и этап вычислений. |
|
|||||
Этап подготовки задачи к решению |
|
|
||||
1. Симплекс-метод |
ищет |
максимум |
функции. Если |
|||
требуется найти минимум, |
умножить целевую функцию на |
|||||
(-1) и перейти к задаче поиска максимума. |
|
|
||||
2. Правые |
части |
ограничений |
должны |
быть 0.≥ Если |
||
правая часть ограничения < 0, умножить его левую и правую
28
части |
на (-1) |
и |
изменить |
знак |
|
ограничения |
на |
Переменная, которой соответствует в столбце максимальная |
|||||||||||||||||||
противоположный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положительная |
симплекс-разность, |
вводится |
в |
базис. |
||||||||||||
3. Привести |
задачу к |
каноническому видуперейти |
от |
|
Соответствующий столбец пометим - Z. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
задачи |
с |
ограничениями |
типа |
неравенств |
к |
задаче |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
БP |
|
|
|
|
|||||||
ограничениями типа равенств, вводя, если это необходимо, |
|
3. Высчитать величины ri |
по формуле: ri = |
i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Z i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
дополнительные |
|
переменные. Ввести |
|
дополнительные |
|
Переменная, |
которой |
|
соответствует |
|
|
в |
|
строке |
|||||||||||||
переменные в целевую функцию с коэффициентами равными 0. |
|
|
ri |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
минимальная |
неотрицательная |
величина |
, |
выводится из |
||||||||||||||||||||||
4. Выписать |
столбцы |
коэффициентов |
при |
переменных в |
|
||||||||||||||||||||||
|
базиса. Соответствующую |
строку |
пометим- |
Z. |
Элемент, |
||||||||||||||||||||||
ограничениях. Если |
среди |
выписанных |
столбцов |
имеетсяm |
|
||||||||||||||||||||||
(по числу ограничений) базисных |
столбцов - |
столбцов |
|
стоящий на пересечении Z-столбца и Z -строки - разрешающий |
|||||||||||||||||||||||
единичной матрицы размерности m x m, перейти к п. 6. |
|
|
элемент - R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. Если |
нужное |
число базисных столбцов не найдено |
|
4. Построить новую таблицу, пересчитав предыдущую. |
|
||||||||||||||||||||||
перейти к решению М-задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П е р е с ч е т т а б л и ц ы |
|
|
|
|
|
||||||||||
5.1 . дописать недостающие столбцы искусственно; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5.2. поставить |
им |
в |
соответствие |
|
искусственные |
4.1. Заполнить |
в |
новой |
таблице: строку |
коэффициентов |
|||||||||||||||||
переменные; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции, столбец Б п |
и столбец С i Б . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.3. переписать |
ограничения |
с учетом |
искусственных |
|
4.2. Пересчитать |
|
Z-строку, |
содержащую |
|
разрешающий |
|||||||||||||||||
переменных; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элемент и записать в новую таблицу под тем же номером: |
||||||||||||||
5.4. ввести искусственные переменные в целевую функцию |
|
новая строка = старая строка / R. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
с коэффициентами равными (-М) , где М - большое |
|
Полученная строка - разрешающая. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
положительное число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. Пересчитать все остальные строки таблицы и записать |
|||||||||||||||||
6. Выписать |
переменные |
при |
базисных |
столбцахэти |
|
их под теми же номерами в новую таблицу: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
переменные базисные. Записать начальное базисное решение: |
|
новая строка К= старая строка К −(разрешающая |
|||||||||||||||||||||||||
базисные |
переменные равны правым частям ограничений, |
в |
|
строка) * Коэффициент Пересчета, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
которые они входят, все остальные переменные равны 0. |
|
|
здесь |
Коэффициент |
Пересчета- |
элемент, |
стоящий на |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пересечении строки К и Z-столбца в старой таблице. |
|
|
|||||||||||
Э т а п в ы ч и с л е н и й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Повторить |
процедуру 2-4 |
до тех пор, пока |
|
все |
симплекс- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разности не станут < 0, тогда последнее базисное решение есть |
|||||||||||||
Алгоритм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание №2. Если в процессе решения оказалось, что в |
|||||||||||||
1. Составить таблицу №1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базис вводится некоторая переменная(существует симплекс- |
|||||||||||||||||
2. Выписать базисное решение. Вычислить симплекс-разности |
|
разность > |
0), |
а |
|
среди |
величин r i |
нет |
ни |
одной |
|||||||||||||||||
для небазисных переменных по формуле: |
|
|
|
|
|
|
неотрицательной, значит, задача не имеет решения вследствие |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D j |
= C j |
- Ci Б × Aj |
|
|
|
|
|
|
не замкнутости области допустимых решений. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
29
|
Замечание |
№3. |
Если |
в |
таблице, соответствующей |
следовательно |
задача |
имеет |
бесконечное множество |
|
решению задачи, в строке симплекс-разностей содержится0 |
решений на отрезке [В, С], здесь B = (3, 2), C = (6, 0). |
|||||||||
больше, чем число ограничений в задаче, значит, задача имеет |
|
|
|
|
||||||
бесконечное множество решений, одно из которых найдено. |
|
|
|
|
||||||
|
Замечание №4. Если при решении М-задачи найдено |
|
|
|
||||||
решение (все симплекс-разности < 0), но в составе базисных |
|
|
|
|
||||||
переменных осталась искусственная переменная не равная0, |
|
|
|
|
||||||
то |
исходная |
|
задача |
не |
имеет |
решения |
вследствие |
|
|
|
несовместности ограничений. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 1. Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = 2x1 + 3x2 ® max |
|
|
|
|
|
|
|
||
2x1 + 3x2 £12
-2x1 + 6x2 £ 6 x1 ³ 0, x2 ³ 0
Решить задачу графически и симплекс-методом.
Г р а ф и ч е с к о е р е ш е н и е з а д а ч и
1. Множество допустимых решений (МДР), определяемое ограничениями, выделено на чертеже штриховкой.
2. |
æ 2 |
ö |
, на чертеже это вектор с |
Градиент функции: Df (x) = ç |
÷ |
||
|
è 3 |
ø |
|
началом в точке (0, 0) и концом в точке (2, 3). |
|||
3. |
Уравнение линии уровня функции: |
||
|
f (x) = C; |
|
Р е ш е н и е з а д а ч и с и м п л е к с м е т о д о м |
|
|
|
|
|
|
2x1 + 3x2 |
= C. |
|
|
|
Уравнение линии уровня функции в точке (0, 0): |
|
|
||||
|
|
2x1 + 3x2 |
= 0 . |
|
|
|
На |
чертеже |
линия |
уровня |
функциипрямая |
||
перпендикулярная градиенту. |
|
|
|
|
||
4. Для поиска максимума перемещаем линию уровня |
в |
|||||
направлении градиента до последнего |
касания |
с |
МДР, |
|||
очевидно, |
что касание |
произойдет на |
отрезке |
[В, С], |
||
|
|
31 |
|
|
|
|
Подготовка задачи к решению симплекс-методом
1.Выполнено (ищем максимум).
2.Выполнено (правые части ограничений неотрицательны).
3.Приведем задачу к каноническому виду, для этого введем в
каждое ограничение неотрицательную переменную:
Замечание. Если ограничение имеет знак«<», то вводится переменная со знаком «+», если же ограничение имеет знак «>», то вводится переменная со знаком«-», если исходное ограничение имеет знак «=», то дополнительные переменные не вводятся.
32
2 x1 + 3 x2 + x3 = 1 2
- 2 x1 + 6 x 2 + x 4 = 6
x3 , x4 ³ 0 - д о п о л н и т е л ьн ы е п е р е м е н н ы е
( д о п о л н я ю т н ер а в е н с т в а д о р а в е н св ).
4. Выпишем столбцы коэффициентов при переменных в ограничениях:
|
x1 |
|
x2 |
|
x3 |
|
x4 |
|
æ 2 ö |
æ 3 ö |
æ1 ö |
æ 0 ö |
|||||
ç |
-2 |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
è |
ø |
è 6 |
ø |
è0 |
ø |
è1 |
ø |
|
ÝÝ
Среди |
столбцов |
имеется |
два |
|
столбца |
единичной матрицы |
||||||||
размерности (2 х 2), они отмечены символом Ý , значит базис есть. |
||||||||||||||
5. Начальное базисное решение: х3, |
х4 - базисные переменные |
|||||||||||||
(переменные |
отмечены |
символом Ý ), эти |
переменные равны |
|||||||||||
правым частям ограничений, в которых они находятся: |
||||||||||||||
х 3 = 12, |
х4 |
= 6. Остальные переменные x1 = x2 = 0. |
||||||||||||
Э т а п в ы ч и с л е н и й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Заполним первую таблицу |
|
|
Коэффициенты |
|||||||||||
|
|
функции |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
0 |
|
0 |
|
C j |
|
|
C i |
|
Б п |
Б р |
x 1 |
x 2 |
|
x 3 |
|
x 4 |
|
ri |
|
|
|
|
0 |
|
x 3 |
12 |
2 |
3 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
x 4 |
6 |
-2 |
6 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
Коэффициенты |
Правые части |
Столбцы |
|
коэффициентов |
|||
функции при |
ограничений – |
при переменных |
|
базисных |
начальное базисное |
в ограничениях |
|
переменных |
решение |
||
|
|||
|
33 |
|
Базисное решение соответствующее табл. №1:
x1 = 0 x2 = 0 x3 = 12 x4 = 6
Оно соответствует в исходных переменных точке 0(0,0).
Вычислим симплекс-разности для небазисных переменных:
D1 = 2 - |
æ0 |
ö |
æ2 ö |
|
||
ç |
0 |
÷ g |
ç |
÷ |
= 2 - (0 + 0) = 2 |
|
|
è |
ø |
è |
-2 ø |
|
|
|
|
Коэффициенты |
|
|
Столбец |
|
|
Столбец |
||||||
|
|
|
|
|
|
коэффициентов |
||||||||
|
|
функции при |
|
|
коэффициентов |
|
при переменной |
|||||||
|
|
переменной x 1 |
|
|
С i Б |
|
|
|
x 1 |
|||||
D2 |
æ0 ö |
æ3 ö |
|
- (0 |
+ 0) = 3 |
|
|
|
|
|
|
|||
= 3 -ç ÷ |
×ç ÷ = 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
è0 ø |
è6 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для базисных переменных симплекс разности равны 0. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
0 |
0 |
C j |
|
|
|
C i |
|
Б п |
|
Б р |
|
x 1 |
|
x 2 |
x 3 |
x 4 |
r i |
|
|
|
0 |
|
x 3 |
|
12 |
|
2 |
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
x 4 |
|
6 |
|
-2 |
|
6 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
2 |
|
3 |
0 |
0 |
|
|
Z-столбец
Т.к. ∆2 является максимальной положительной величиной в строке симплекс разностей, то в базис вводится переменная х2. Соответствующий этой переменной столбец - Z-столбец. Вычислим величины r i , как отношения элементов столбца Бр
к элементам Z-столбца:
r = |
12 |
= 4 r = |
6 |
= 1. |
|
|
|||
1 |
3 |
2 |
6 |
|
|
|
|
||
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
2 |
3 |
0 |
0 |
C j |
|
||
C i |
Б п |
Б р |
x 1 |
|
|
x 2 |
x 3 |
x 4 |
r i |
|
0 |
x 3 |
12 |
2 |
|
|
3 |
1 |
0 |
4 |
|
0 |
x 4 |
6 |
-2 |
6 |
0 |
1 |
1 |
Z-строка |
||
|
|
∆ |
2 |
|
|
3 |
0 |
0 |
|
|
Z-столбец
Коэффициент |
Разрешающий |
пересчета |
элемент |
Из базиса выводится |
переменнаях 4 , т.к. ей по строке |
соответствует минимальная неотрицательная величинаr2, соответствующая ей строка - Z-строка.
На пересечении Z-столбца и Z-строки находится разрешающий элемент R = 6.
Осуществим пересчет таблицы:
•запишем коэффициенты функции в верхнюю строку новой таблицы 2;
•запишем в новую таблицу 2 новые базисные переменные
х2 и х3;
• запишем коэффициенты функции при новых базисных
переменных в первый столбец таблицы 2 |
|
Таблица 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
0 |
C j |
|
|
C i |
Б п |
Б р |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
ri |
|
|
0 |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
• пересчитаем Z-строку: |
разделим Z-строку на |
|||||||
разрешающий элемент, |
результат запишем в таблицу №2 |
|||||||
на своё место - получится разрешающая строка; |
||||||||
Z-строка |
( |
|
6 |
- 2 |
6 |
0 |
1 ) / 6 |
|
Результат |
|
1 |
-1/ 3 |
1 |
0 |
1/ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
0 |
0 |
C j |
|
C i |
Б п |
Б р |
x 1 |
x 2 |
|
x 3 |
x 4 |
r i |
|
0 |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x 2 |
1 |
-1/3 |
1 |
|
0 |
1/6 |
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разрешающая строка |
||||
• пересчитаем оставшуюся строку: умножим разрешающую строку на коэффициент пересчета - 1-й элемент Z-столбца из табл. 1 - это число 3, и вычтем из 1-й строки табл. 1, результат запишем в таблицу №2 на свое место:
Строка 1 табл.1 |
12 |
2 |
3 |
1 |
0 |
|
|
__ |
|
|
|
|
|
Разрешающая строка×(3) |
|
3 |
-1 |
3 |
0 |
1/ 2 |
Результат |
9 |
3 |
0 |
1 |
-1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
0 |
C j |
|
|
|
C i |
Б п |
|
Б р |
x 1 |
|
x 2 |
x 3 |
x 4 |
r i |
|
|
0 |
x 3 |
|
9 |
3 |
|
0 |
1 |
-1/2 |
|
|
|
3 |
x 2 |
|
1 |
-1/3 |
1 |
0 |
1/6 |
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
Базисное решение, соответствующее табл. 2: |
|
|
|
||||||||
x1 = 0 |
x2 = 1 |
|
x3 = 9 |
|
|
x4 = 0 |
|
|
|
||
Оно соответствует в исходных переменных точке А = (0,1).
Далее проводим расчет по аналогии.
Вычислим симплекс-разности для небазисных переменных:
36
35
D = |
æ0 |
ö |
æ |
3 |
ö |
= 2 - (0 -1) = 3 |
|
ç |
×ç |
|
÷ |
||||
1 |
|
÷ |
ç -1 |
÷ |
|
||
|
|
è3 |
ø |
è |
3 |
ø |
|
D2 |
|
æ 0 ö |
æ -1 |
ö |
= 2 - (0 +1/ 2) = -1/ 2 |
||
= ç ÷ |
×ç 2 ÷ |
||||||
|
|
è3 |
ø |
ç 1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
6 |
ø |
|
Т.к. ∆1 является максимальной положительной величиной в строке симплекс разностей, то в базис вводится переменная x 1 , соответствующий этой переменной столбец - Z-столбец.
Вычислим величины r i как отношения элементов столбца Б р к элементам Z-столбца:
r = |
9 |
= 3 |
r = |
1 |
= -3 . |
|
|
|
|
||||
1 |
3 |
|
2 |
-1 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Из базиса выводится |
переменнаях 4 , т.к. |
ей по строке |
||||
соответствует минимальная неотрицательная величинаr2 , соответствующая ей строка - Z-строка.
На |
пересечении Z-столбца |
|
|
|
и Z-строки, |
находится |
|||||
разрешающий элемент R = 3. |
|
|
|
|
Таблица 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
3 |
|
0 |
0 |
C j |
|
||
C i |
Б п |
Б р |
x 1 |
x 2 |
|
x 3 |
|
|
x 4 |
r i |
Z-строка |
0 |
x 3 |
9 |
3 |
0 |
|
1 |
|
|
-1/2 |
3 |
|
3 |
x 2 |
1 |
-1/3 |
1 |
|
0 |
|
|
1/6 |
-3 |
|
|
|
∆ |
3 |
0 |
|
0 |
-1/2 |
|
|
||
Z-столбец
Осуществим пересчет таблицы:
•запишем коэффициенты функции в верхнюю строку новой табл. 3;
•запишем в новую табл. 3 новые базисные переменные x2 и x1;
•запишем коэффициенты функции при новых базисных переменных в первый столбец табл. 3;
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
0 |
C j |
|
C i |
Б п |
Б р |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
r i |
|
0 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
∆
• пересчитаем Z-строку: разделим Z-строку на разрешающий элемент, результат запишем в табл. 3 на своё место – получится разрешающая строка;
Z-строка ( |
9 |
3 |
0 |
1 |
-1/ 2 |
) / 3 |
|
||||||
Результат |
3 |
1 |
0 |
1/ 3 |
-1/ 6 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
0 |
|
0 |
|
C j |
|
|
C i |
Б п |
|
Б р |
x 1 |
|
x 2 |
|
x 3 |
|
x 4 |
|
r i |
|
0 |
x 1 |
|
3 |
1 |
|
0 |
|
1/3 |
|
-1/6 |
|
|
|
3 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разрешающая строка |
||||||
• пересчитаем оставшуюся строку: умножим разрешающую строку на коэффициент пересчета – 2-й элемент Z-столбца из табл. 2 – это число (-1/3) и вычтем из 2-й строки табл. 2 результат запишем в табл. 3 на своё место:
Строка 2 табл.2 |
1 |
-1/ 3 |
1 |
0 |
|
1/ 6 |
__ |
|
|
|
|
|
|
Разрешающая строка×(-1/3) |
3 |
1 |
0 |
1/ 3 |
-1/ 6 |
|
Результат |
2 |
0 |
1 |
1/ |
9 |
1/ 9 |
38
37
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
0 |
0 |
C j |
|
|
C i |
Б п |
|
Б р |
x 1 |
|
x 2 |
|
x 3 |
x 4 |
ri |
|
|
|
0 |
x 1 |
3 |
|
1 |
|
0 |
|
1/3 |
-1/6 |
|
|
|
|
3 |
x 2 |
2 |
|
0 |
|
1 |
|
1/9 |
1/9 |
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
0 |
|
0 |
|
-1 |
0 |
|
|
Базисное решение, соответствующее табл. 3: |
|
|
|
||||||||||
x1 = 3 |
x2 = 2 |
|
|
x3 = 0 |
|
x4 = 0 |
|
|
|
||||
Оно соответствует в исходных переменных точке B=(3,2). |
|||||||||||||
Вычислим симплекс-разности для небазисных переменных: |
|||||||||||||
|
|
|
|
D3 |
|
æ 2ö |
æ1 / 3 ö |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= 0 - ç ÷ |
× ç |
÷ = -1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
è3 ø è1 / 9 |
ø |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
D4 |
|
æ 2 ö |
æ -1 / 6 ö |
|
|
|
|||
|
|
|
|
= 0 -ç ÷ |
×ç |
÷ = 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
è3 ø |
è1 / 9 |
ø |
|
|
|
||
Т.к. в |
строке |
симплекс-разностей |
∆ |
нет |
ни |
одной |
положительной величины, решение задачи |
найдено– |
это |
|
|||
последнее базисное решение, соответствующее точке B=(3,2). |
|
|||||
Анализ решения задачи табличным симплекс-методом
Строка симплекс-разностей последней симплекс-таблицы содержит три нуля, это больше чем число ограничений задачи, значит задача имеет бесконечное множество решений, одно из которых найдено.
39
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации выполнения курсовой работы по курсу "Высшая математика"
для студентов направления 20.03.01 "Техносферная безопасность" («Защита в чрезвычайных ситуациях»,
«Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)
очной формы обучения.
Составитель: Пантелеев Игорь Николаевич
В авторской редакции
Компьютерный набор И.Н. Пантелеева
Подписано к изданию 20.11.2015.
Уч.-изд. л. 2,6
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14