Учебное пособие 1053

Таблица 5.9

Расписание σ = (2,4,5,3,1). Длина расписания вычисляется в табл. 5.10.

Таблица 5.10

Здесь общее время обслуживания составит F1max (σ) = 22 .

5.5.2. Системы, для которых возможно построение оптимального расписания

Как было сказано выше, задача для системы с тремя приборами является NP-трудной. Однако существуют частные случаи, для которых возможно построение оптимального расписания с помощью конструктивного алгоритма.

Можно показать, что если

то достаточным условие оптимальности расписания является условие min(ai + bi ;bj + c j ) ≤ min(a j + bj ;bi + ci ) ,

следовательно, если система удовлетворяет условию (5.5.1) или (5.5.2), то при введении

ai = ai +bi ,

bi = bi +ci ,

можно свести задачу к системе с двумя приборами и найти оптимальное расписание с помощью алгоритма построения расписания (алгоритма Джонсона).

Заметим, что длина найденного расписания будет искаться для исходной системы.

Пример 5.5. Имеются пять деталей, которые последовательно обрабатываются на трех станках. Время обработки каждой детали на каждом станке указано в табл. 5.11.

61

Таблица 5.11

Данная система удовлетворяет условию (5.4.1). Сведем ее к системе с двумя приборами (табл. 5.12) и решим с помощью алгоритма Джонсона.

Таблица 5.12

В соответствии с требованиями алгоритма разобьем требования на группы

(табл. 5.13):

Таблица 5.13

Оптимальное расписание σ* = (2,4,5,1,3). Длина расписания вычисляется

в табл. 5.14

Таблица 5.14

Здесь общее время обслуживания составит F1max (σ*) = 25.

5.5.3. Эвристические алгоритмы

Поскольку построение оптимального расписания с помощью конструктивных алгоритмов для системы с тремя и более приборами возможно только в редких и частных случаях, то для построения сколько-нибудь приемлемых расписаний важную роль приобретают эвристические алгоритмы.

Здесь предлагаются три наиболее известных правила построения субоптимальных расписаний для системы с тремя приборами.

62

Правило 1. Сведение к двум приборам.

Как было сказано выше, это правило дает оптимальное расписание для частных случаев. Однако можно предположить и опыт показывает, что это действительно так, что его (правило) можно использовать для систем общего вида.

Правило 2. Вперед требование с ближайшей кратчайшей операцией (то есть требования должны сортироваться в порядке a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤... ≤ an ).

Оно основано на идее сортировки в первой группе для системы с двумя приборами.

Правило 3. Вперед требование с длиннейшей остающейся технологией

(b1 + c1 ≤ b2 + c2 ≤ b3 + c3 ≤... ≤ bn + cn ).

Основано на идее сортировки во второй группе.

Решать задачу построения субоптимальных расписаний надо следующим образом: применить все эвристические правила, для каждого полученного расписания, вычислить его длину и выбрать расписание с наименьшей длиной. Такое расписание будет называться рекордным, а его длина – рекордом, то есть рекордное расписание не обязательно оптимально, но является наилучшим из известных.

Следует отметить, что при применении каждого из правил может быть получено не одно, а несколько расписаний, это возможно в том случае, когда некоторое соотношение, используемое в данном правиле, выполняется как строгое равенство, то есть, например, ai = a j (второе правило), тогда можно

взять два расписания: i p j , в другом j pi .

Пример 5.6. Имеются пять деталей, которые последовательно обрабатываются на трех станках. Время обработки каждой детали на каждом станке указано в табл. 5.15.

Таблица 5.15

Применим Правило 1: сведем исходную задачу к задаче с двумя приборами, полученную задачу (табл. .5.16) решим с помощью алгоритма Джонсона.

Таблица 5.16

63

В соответствии с требованиями алгоритма разобьем требования на группы

(табл. 5.17):

Здесь F1max (σ3 ) = 40 . (табл. 5.20)

64

Применим Правило 3. Вперед требование с длиннейшей остающейся технологией.

σ4 = (2,3,5,4,1) . Вычислим длину расписания (табл. 5.21). Таблица 5.21

Здесь F1max (σ4 ) = 41.

Здесь два рекордных расписания σ1R = (5,2,3,4,1) , σR2 = (5,1,4,2,3) со значением рекорда R = 36 .

5.5.4. Оценки длины расписаний

Пусть найдено рекордное расписание σr с длиной F max (σr ) = R . Хотелось бы знать, насколько полученное расписание близко оптималь-

ному. Для этого найдем нижнюю оценку длины расписания F ≤ F max (σ) для всех σ , тогда если R = F , то σr – оптимальное расписание.

Если же R > F , то определятся близость рекордного расписания к оптимальному по тому, насколько рекорд отклоняется от нижней оценки. При этом, конечно, важно, чтобы F было насколько возможно ближе к точной нижней грани длин расписаний. Для системы с тремя приборами в качестве нижней грани можно предложить следующее выражение:

Формула (5.5.3) отражает тот факт, что длина расписания не может быть меньше, чем время работы первого прибора в сумме со временем обслуживания на втором и третьем приборах последнего требования.

Формула (5.5.4) означает, что длина расписания не может быть меньше чем время работы второго прибора с учетом обслуживания первого требования на первом приборе и последнего требования на третьем приборе.

Формула (5.5.5) означает, что длина расписания не может быть меньше чем время работы третьего прибора в сумме с временем обслуживания требования, стоящего на первом месте в расписаниях на первом и втором приборах.

Найдем оценку длины расписания для примера 5.6.

65

Здесь

∑ai = 3 + 7 + 7 + 4 +1 = 22,

∑bi =1+ 6 +10 + 7 + 2 = 26,

∑ci =1+ 9 + 4 + 3 +9 = 26.

Рекорд R = 36 , то есть мы не можем гарантировать оптимальности рекордного расписания. Значение рекорда достаточно сильно отличается от нижней оценки, однако возможно, что оценка слишком занижена.

Лабораторная работа № 8

Для системы с тремя приборами и семью требованиями найти:

1.Три или больше расписаний с помощью эвристических правил. 2.Вычислить длину каждого расписания.

3.Определить рекордное расписание и значение рекорда.

4.Вычислить нижнюю оценку длины расписания.

5.Сравнить оценку с рекордом.

Исходные данные приведены в табл. 5.22.

Таблица 5.22

Для каждого варианта из данной системы нужно исключить три требования в соответствии с правилами из табл. 5.23.

Таблица 5.23

66

Заключение

Изложенный краткий теоретический материал по следующим разделам линейного программирования: графическое решение ЗЛП, каноническая форма ЗЛП, базисное решение, симплекс-метод, двойственность в ЗЛП, транспортная задача поможет студентам изучить основные математические методы, применяемые при решении экономических задач, научиться разрабатывать алгоритмы и пользоваться ими при реализации соответствующих методов.

Библиографический список

1.Азарнова, Т.В. Методы оптимизации. Элементы теории, алгоритмы и примеры / Т.В. Азарнова, И.Л. Каширина, Г.Д. Чернышова. – Воронеж: Воро-

неж. гос. ун-т, 2004. – 151 с.

2.Аснина, А.Я. Вычислительные методы линейной оптимизации / А. Я. Аснина, Н.Б. Баева, Г.Д.Чернышова.– Воронеж: Изд-воВГУ, 1987. – 156 с.

3.Ашманов, С.А. Линейное программирование / С.А. Ашманов.– М.: Наука, 1981. – 304 с.

4.Банди, Б. Основы линейного программирования / Б. Банди.– М.: Радио

исвязь, 1989. – 176 с.

5.Исследование операций в экономике : учеб. пособие для ВУЗов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Гришин, М.Н. Фридман; под ред. проф. Н.Ш. Кремера.

– М.: Юнити, 2004. -407 с.

6.Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – 2-е изд., испр. – М.: Де-

ло, 2001. – 688 с.

7.Танаев, В.С. Теория расписаний. Многостадийные системы / В.С. Танаев, Ю.Н. Сотсков, В.А. Струсевич.– М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 328 с.

8.Таха, Хемеди А. Введение в исследование операций / Хемеди А. Таха.- 7-е изд.: пер. с англ.- М.: Издательский дом «Вильямс», 2005.-912 с.

9.Замков, О.О. Математические методы в экономике: учебник / О.О Замков. – М.: Дело и Сервис, 2001.- 368 с.

67