Учебное пособие 941

переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

2.5. Колебания струны

В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина

длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз (рис.18). Отсюда вытекает условие

l – длина струны.

Длинам волн (73) соответствуют частоты

ϑ – фазовая скорость волны, определяемая силой натяжения струны и массой единицы её длины, т.е. линейной плотностью струны.

Частоты νn называются собственными частотами струны. Собственные частоты являются кратными частоте

Гармонические колебания с частотами (74) еще называют

нормальными колебаниями. Их называют также гармониками. В

общем случае колебания струны представляют собой наложение различных гармоник.

Колебания струны примечательны в том отношении, что для них по классическим представлениям получаются дискрет-

31

ные значения одной из характеризующих колебания величин (частоты). Для классической физики такая дискретность является исключением. Для квантовых процессов дискретность является скорее правилом, чем исключением.

2.6. Акустический эффект Доплера

Эффектом Доплера называется зависимость частоты волн, воспринимаемой приёмником, от скоростей движения источника волн и приёмника по отношению к среде, в которой распространяется волна.

Пусть источник волн, колеблющийся с частотой ν0 , движется относительно среды со скоростьюu1 , а наблюдатель – со скоростью u 2 . Задача будет состоять в том, чтобы установить зависимость частоты ν , воспринимаемой наблюдателем, от ν0 ,

и. Для этого сначала рассмотрим простой случай, когда

источник и приёмник движутся навстречу друг к другу вдоль неизменной прямой со ско-

ростями и .

Предположим, что источник волн в начальный момент времени t = 0 начал совершать колебания, а через промежуток

времени τ – прекратил свою работу.

При этом он совершил N =ν0τ колебаний, и в направлении к

приёмнику был направлен звуковой импульс. Очевидно, что моменты времени t1 и t2 регистрации приёмником переднего и заднего фронтов звукового импульса будут следующими:

32

(см. рис 20).

Промежуток времени регистраций приёмником N колебаний равен

Следовательно, частота, воспринимаемых приёмником колебаний, будет равна

(76)

Теперь полученную формулу (91) обобщим на случай произвольных направлений движения источника и приёмника волн (рис. 21). В формуле (76) (-u1) и u2 представляют собой проекции скоростей u1 и u 2 на прямую, а разность скоростей

u1 - u 2 имела смысл относительной скорости их сближения.

В случае произвольных направлений движения источника и приёмника

волн проекции их скоростей u1 и u 2 на

направление вектора R , соединяющего приёмник с источником волн, соответст-

33

Из формулы (77) следует, что в случае относительного сближения источника и приёмника, частота воспринимаемых приёмни-

ком колебаний ν >ν0 , и наоборот, при относительном их удале-

нии ν <ν0 .

2.7. Примеры решения задач

1. Плоская волна распространяется вдоль оси x со скоростью ϑ = 15 м/с. Две точки, находящиеся на расстояниях х1 = 5 м и х2 = 5.5 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз ϕ = π/5. Амплитуда волны А = 4 см. Определить: 1) длину

Найти: λ, ξ(x,t), ξ1.

Решение. Разность фаз колебаний двух точек волны ϕ =2π х /λ, где х = х2 - х1 – расстояние между этими точка-

ми. Тогда λ = 2π (х2 - х1)/ ϕ.

Циклическая частота ω = 2 π /T, где T = λ /ϑ . Следовательно,

ω = 2 π ϑ /λ.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси

х,

ξ(x,t)=A cos ω(t – x/ϑ )= A cos 2λπ (ϑ t – x).

Чтобы найти смещение ξ1, надо в это уравнение подставить значения t и х1.

Вычисляя, получаем: 1) λ = 5м;

2)ξ(x,t)=0.04 cos (6π t – (2π /5) х), м; 3) ξ1 = 0.04 м.

2.Неподвижный приемник при приближении источника

звука с частотой ν0 = 360 Гц, регистрирует звуковые колебания с частотой ν = 400 Гц. Принимая температуру воздуха Т = 290 К, его молярную массу М = 0,029 кг/моль, определить скорость движения источника звука.

34

Дано: ν0 =360 Гц, ν =400 Гц, Т = 290 К, М = 0,029 кг/моль.

Найти: υист .

Решение. Исходя из общей формулы для эффекта Доплера в акустике и учитывая, что приемник покоится, а источник приближается к приемнику, получим

где υ – скорость распространения звука. Отсюда υист = υ (1 - ν0/ν). Скорость распространения звуковых волн в

газах υ = γRT /M , где для воздуха γ =(i+2)/i = 7/5 = 1.4. В ре-

зультате получаем искомую скорость движения источника звука:

υист = (1 - ν0/ν)γRT /M = 34.1м/с

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Савельев И.В. Курс общей физики: в 3-х томах. Т.1 / И.В.

Савельев. – М.: Лань, 2005. - Т. 1. - 496с.

2.Трофимова Т.И. Курс физики / Т.И.Трофимова. – М.: «Высшая школа», 2007. - 542с.

3.Чертов А.Г. Задачник по физике / А.Г. Чертов, А.А. Воробьёв. – М.: Физматлит, 2009. - 640с.

4.Иродов И.Е. Задачи по общей физике / И.Е. Иродов. – М.: Лаб. Баз. Знан. ф.-м. лит., 2002. - 431с.

5.Трофимова Г.И. Курс физики с примерами решения задач: в 2т. / Г.И. Трофимова, А.В. Фирсов.- М.: КНОРУС, 2010. - Т.2 – 384с.

6.Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики / В.С. Волькенштейн. 8–е изд., М.: Машинострое-

ние, 2005. - 389 с.

35

1.5.Сложение взаимно перпендикулярных колебаний…. 10

1.6.Затухающие колебания………..……………………................. 12

1.7.Вынужденные колебания. Резонанс…………………………. 14

1.8.Примеры решения задач…..………………………………………. 17

2.УПРУГИЕ ВОЛНЫ……………………………………………………….. 20

2.1.Основные понятия. Уравнение волны………………………. 20

2.4.Стоячие волны………………………………..…………………………. 28

2.5.Колебания струны………………………….............................. 31

2.6.Акустический эффект Доплера………...……………………….. 32

2.7.Примеры решения задач..…………………………………………. 34

Библиографический список……………………………………………… 35

36

«Механические колебания и упругие волны»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по физике

для студентов всех технических направлений и специальностей очной формы обучения

Составители: Бугаков Александр Викторович Шведов Евгений Васильевич

Издается в авторской редакции

Подписано к изданию 01.04. 2022 Объем 2,3 уч.-изд. л.

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84

37