Учебное пособие 847

p Imax Imin ,

Imax Imin

где Iмакс = 0,5In + Ip, Iмин = 0,5In.

По условию, Iмакс = kI, или,

Iмакс =kIмин + (Iмакс - Iмин) cos2 φ.

Обозначим через отношение Iмакс / Iмин, тогда

p (1 ); (1 )

1 = k [ + (1 - ) cos2 ];

k 1

p 1 k(1 2cos2 ) 0,8.

19

2.КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ

2.1.Основные законы и формулы

Энергетическая светимость абсолютно черного Rэ* и

серого Rэ тела

Rэ* r*,Td ,

0

Rэ Rэ* ,

где r*,T – испускательная способность абсолютно черного тела,

- коэффициент теплового излучения.

Законы излучения абсолютно черного тела

-закон Стефана-Больцмана:

Rэ* T4,

где = 5,67.10-8 Вт/(м2.К4). - законы Вина:

b

m T ,

где b = 2,9.10-3 м.К;

(r*,T )max CT5,

где С= 1,3.10-5 Вт/м3.К5 .

Энергия, масса и импульс фотона

h hc,

m h h , c2 c

p mc h ,

20

где h= 6,64·10-34 Дж·с – постоянная Планка.

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

h Aвых m max2 ,

2

Давление света

p =w.(1 + ),

где w = nh - объемная плотность энергии, n – концентрация фотонов.

Эффект Комптона

- угол рассеяния фотона.

2.2. Примеры решения задач по квантовой оптике

Пример 1. Железный шар диаметром d = 0,1 м, нагретый до температуры Т1=1500К, остывает на открытом воздухе. Через какое время его температура понизится до Т2 = 1000 К? При расчете принять, что шар излучает как серое тело с коэффициентом излучения = 0,5. Теплопроводностью воздуха пренебречь.

Решение

Количество теплоты, теряемое шаром при понижении температуры на малую величину dT, равно

dQ =cmdT,

где c – удельная теплопроводность железа; m – масса шара. Учитывая, что

21

m V 4 r3, 3

С другой стороны, количество теплоты, теряемое шаром вследствие излучения, можно найти, используя закон СтефанаБольцмана:

где dt – время излучения, соответствующее понижению температуры на dT. Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получаем

dt c rT 4dT /3 .

Проинтегрировав это выражение, найдем

После подстановки числовых значений получим

t = 500 с.

Пример 2. Вследствие изменения температуры черного тела максимум спектральной плотности энергетической светимости сместился с длины волны 1 = 2,4 мкм на 2 = 0,8 мкм. Как и во сколько раз изменилась энергетическая светимость тела и максимальная спектральная плотность энергетической светимости?

Решение

Зная длины волн, на которые приходятся максимумы лучеиспускательной способности тела, и, используя закон

22

смещения Вина, находим начальную и конечную температуры тела

Энергетическая светимость черного тела определяется согласно закону Стефана-Больцмана

Максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости определяется по второму закону

Вина (r*,T )max CT5.

Тогда

Подставляя числовые значения, получаем

Пример 3. Красная граница фотоэффекта у рубидия равна 0=0,8мкм. Определить максимальную скорость фотоэлектронов при облучении рубидия монохроматическим светом с длиной волны = 0,4 мкм. Какую задерживающую разность потенциалов нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратился ток?

Решение

Энергия фотона вычисляется по формуле =hc/ и составляет для =0,4мкм =3,1 эВ. Эта величина значительно

23

меньше энергии покоя электрона, поэтому максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона может быть выражена классической формулой

Tmax m max2 .

2

Выразив работу выхода через красную границу

фотоэффекта Aвых hс , на основании уравнения Эйнштейна

0

получим

hс hc

Tmax Aвых 0 ,

Подставив числовые значения, найдем

max 0,74 108 м/с.

При U<0 внешнее поле между катодом и анодом фотоэлемента тормозит движение электронов. Задерживающая разность потенциалов Uз , при которой сила тока обращается в нуль, определится из уравнения

eUз m max2 .

2

Следовательно,

Uз heс 0 0 = 1,58 В.

24

Пример 4. Уединенный медный шарик облучают ультрафиолетовыми излучением с длиной волны = 165 нм. До какого максимального потенциала зарядится шарик?

Решение

Вследствие вылета электронов под действием излучения шарик заряжается положительно. Электрическое поле шарика тормозит вылетевшие электроны, однако, если их кинетическая энергия достаточно велика для преодоления электростатического притяжения, то они будут уходить практически в бесконечность. Максимальный потенциал, до которого зарядится шарик, определится из выражения

e max m max2 .

2

Из уравнения Эйнштейна

m max2 hс A,

2

тогда

Пример 5. Фотон испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне. Найти импульс налетавшего фотона, если энергия рассеянного фотона равна кинетической энергии электрона отдачи при угле = /2 между направлениями их разлета.

Решение

Кинетическая энергия T электрона отдачи на основании закона сохранения энергии равна разности между энергией падающего фотона и энергией ’ рассеянного фотона

T= - ’ .

25

соответствии с которым

p p m .

Построим векторную диаграмму (рис.6). Угол = 90 между направлениями разлета рассеянного фотона и электрона отдачи складывается из углов и .

Учитывая, что sin p 0,5, а α = 300, получим p

= - = 60 .

На основании формулы Комптона

= 0,5 k ,

получаем

р= h/ 0,5 k = 2m0 с = 1,02 МэВ/с,

где с – скорость света в вакууме.

Пример 6. Определить импульс электрона отдачи при эффекте Комптона, если фотон с энергией, равной энергии покоя электрона, был рассеян под угол = 180 .

Решение

Используя формулы для энергии и импульса фотона, определяем длину волны и импульс падающего фотона. Так как по условию

26

hc m0c2,

0

В соответствии с формулой Комптона для данного

случая

К (1 cos1800) 2 К ,

откуда длина волны рассеянного фотона равна

Пример 7. Пучок монохроматического света с длиной волны λ = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую

2) число фотонов ежесекундно падающих на поверхность.

27

Решение

1) Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления p на площадь S поверхности:

Световое давление может быть найдено по формуле

где, Е0 – энергетическая освещённость; с – скорость света в вакууме; ρ - коэффициент отражения.

Подставляя правую часть уравнения (2) в формулу (1), получаем

F = Е0 S(ρ + 1)/ c.

Так как Е0 S представляет собой поток излучения Фе, то

F = Фе (ρ + 1)/ c.

Проведём вычисления, учитывая, что для зеркальной поверхности ρ=1:

0,6

F 3 108 (1 1) 4 нН .

2) Произведение энергии ε одного фотона на число фотонов n1, ежесекундно падающих на поверхность, равно мощности излучения, т.е.потоку излучения: Фе= εn1, а так как

ε = hс/λ, то

hcn1

e ,

откуда n1 e . hc

Произведя вычисления, получим

n1=2·1018 с-1.

28