Учебное пособие 640

5. Занятие №5

Определение внутренних силовых факторов в балках при плоском изгибе

Под изгибом понимают вид деформирования, при котором в поперечном сечении стержня действует изгибающий момент.

Стержень, работающий в основном на изгиб, называют балкой.

Если все внешние силы и пары сил, изгибающие балку, лежат в одной плоскости (силовая плоскость), проходящей через продольную ось балки z и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения, то изгиб называется прямым или плоским. При прямом изгибе ось изогнутой балки располагается в силовой плоскости.

Если в поперечных сечениях балки действуют только изгибающие моменты, то изгиб называется чистым.

При поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают поперечная сила Qy и изгибающий момент M x (рис. 5.1).

При решении задач, связанных с расчетом на прочность при изгибе, важно правильно определять поперечную силу Qy и изгибающий момент M x в

поперечном сечении балки и строить эпюры этих внутренних силовых факторов. Обычно решение задачи начинается с определения опорных реакций (если в этом есть необходимость). Для этого необходимо составить уравнения равновесия. Для балки, нагруженной системой сил, лежащих в одной плоскости, в общем случае можно записать три уравнения равновесия. Определив реакции опор, обязательно делают проверку правильности их определения, поскольку ошибка в определении реакций обязательно обнаружится после построения эпюр Qy и M x . Для этого составляют дополнительное уравнение равновесия. Если

реакции определены верно, это уравнение удовлетворяется тождественно.

Далее разбивают балку на участки. Кроме концов балки границами участков являются: сечения, в которых:

приложены сосредоточенные силы; приложены сосредоточенные моменты; реакции опор;

происходит резкое изменение интенсивности распределенной нагрузки.

В пределах каждого участка аналитические выражения Qy и M x остаются

неизменными.

Рассматривая произвольное поперечное сечение на каждом участке, используют метод сечений и записывают уравнения для поперечной силы и изгибающего момента. Согласно методу сечений поперечная сила Qy в сечении

балки равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось, направленную

4

так же, как и положительная сила Qy , всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения:

Изгибающий момент Mx в сечении балки численно равен алгебраической сумме изгибающих моментов, создаваемых всеми внешними силами и моментами, действующих на отсеченную часть балки, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения

Рис. 5.2

При этом используются следующие правила знаков для M x . Внешний момент m дает положительный изгибающий момент (положительное слагаемое в выражении для M x ), если этот момент направлен противоположно положительному изгибающему моменту для рассматриваемой части балки (см.

рис. 5.2).

В некоторых учебниках, например для строителей, используется

где z – координата, определяющая положение сечения балки.

При построении эпюр Qy , M x и их контроле следует учитывать следствия,

вытекающие из дифференциальных зависимостей (3.3) и непосредственно из метода сечений [1].

Построив эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, определяют положение опасного с точки зрения прочности сечения балки. Если балка имеет постоянное по ее длине сечение, то опасным будет сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по абсолютной величине значения. В

5

общем случае опасное сечение нужно определять как сечение с максимальным для всей балки нормальным напряжением.

Расчет на прочность балок обычно проводят, используя условие прочности по нормальным напряжениям

сопротивления сечения; - допустимое напряжение для материала балки. Исходя из условия (3.4) выполняются следующие виды расчета:

проверочный, проектный и расчет грузоподъемности.

Проверочный расчет заключается в непосредственной проверке выполнения условия (3.4).

Для выполнения проектного расчета (определения требуемых размеров сечения) из (3.4) получаем

Для определения грузоподъемности (определение допустимых значений сил или моментов, вызывающих изгиб балки формула (5.4) преобразуется к виду

Определив из (5.6) максимальное значение М x , по эпюре изгибающих моментов устанавливают допустимые значения внешних сил или моментов, вызывающих изгиб балки, определяют размеры и характеристики сечения.

Задача №5.1

Для защемленной балки (рис. 5.3):

1.Вычертить в масштабе расчетную схему, указав числовые значения размеров и нагрузок.

2.Вычислить опорные реакции и проверить их.

3.Составить аналитические выражения изменения изгибающего момента Mx и поперечной силы Qy .

4.Построить эпюры изгибающих моментов Mx и поперечных сил Qy .

5.Руководствуясь эпюрой изгибающих моментов, показать приблизительный вид изогнутой оси балки.

6.По опасному сечению подобрать поперечное прямоугольное h x b сечение при допускаемом напряжении = 16 МПа.

I.Консольная (защемленная) балка

1.Расчетная схема балки приведена на рис. 5.3 а

2.Определение опорных реакций

6

Действие заделки на балку можно заменить реакциями RA и HA и моментом

MA .

Уравнения равновесия балки имеют вид

Pix 0 , Ha 0, Piy 0, RA P qc 0 ,

MiA 0, M A P(a c) m cq* c / 2 0.

Отсюда следует

RA P qc 0.6qa q2a 2.6qa ,

MA P(a c) m cq* c / 2

0.6qa(a 2a) 0.2qa2 2aq* 2a / 2 3.6qa2.

нию, указанному на рис. 5.3 а. Проверка

MiC 0 , M A Pa m cq* c / 2 RAc

( 3.6 0.6 0.2 2* 2/ 2 2.6* 2)qa2 0.

3.Составление аналитических выражений изменения изгибающего момента Mx и поперечной силы Qy на всех участках.

Для сечений, в которых M x 0 изогнутая ось балки имеет выпуклость вниз.

7

Для сечений, в которых Mx 0 изогнутая ось балки имеет выпуклость вверх. Для сечений, в которых Mx 0 изогнутая ось балки имеет точку перегиба.

Изогнутая ось балки изображена на рис. 5.3 г. 6. Подбор поперечного прямоугольного сечения.

Задача 5.2

(Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, подбор сечений заданного типа для двуопорной балки (задача № 5 КР №2))

Для двуопорной балки (рис. 5.4 а) при условии и исходных данных задачи 5.1 подобрать двутавровое сечение при допускаемом напряжении = 160 МПа.

Решение

Определение опорных реакций Балка имеет шарнирно – подвижную опору А и шарнирно – неподвижную

опору В. Поскольку система сил, действующих на балку включает только вертикальные силы и опора В перемещается горизонтально, горизонтальные составляющие реакции в опорах А и В будут равны нулю,

Вертикальные составляющие реакций RA и RB определим из уравнений равновесия моментов сил относительно точек А и В:

MiA 0 , RB 6a P7a m 4aq*(2a 2a) 0 .

MiB 0, RA6a Pa m 4aq* 4a / 2 0 .

или

7aRA Pa m 4aq* 2a ( 0.6 0.2 8)qa2 7.6qa2,

7aRB P7a m 4aq4a (0.6*7 0.2 16 )qa2 20qa2 .

Отсюда следует RA 7.6qa / 6 1.267qa , RB 20qa / 6 3.333qa .

Проверка

Piy 0, RA RB P 3.2aq (1.267 3.333 0,6 4)qa 0.

Составление аналитических выражений изменения изгибающего момента Mx и поперечной силы Qy на всех участках.

Балка имеет три участка.

1 участок 0 z1 a. Рассматриваем левую отсеченную часть балки.

Qy ( z1 ) 0 , Mx( z1 ) m 0,2qa2 ;

2 участок 0 z2 2a. Рассматриваем левую отсеченную часть балки.

8

Qy ( z2 ) RA 1.267qa , Mx( z2 ) m RAz2 0,2qa2 1.267qaz2

Mx(0) -0,2 qa2 , Mx(2a) (-0.8+1.267*2)qa2 = 2.333 qa2 .

3 участок 0 z3 4a.

Рассматриваем левую отсеченную часть балки.

Qy ( z3 ) RA qz3 1.267qa qz3 ,

Qy (0) RA 1.267qa, Qy (4a ) 1.267qa q4a 2.733qa

Mx (z3 ) m RA( z3 2a) 0,5qz32 0,6qa2 1.267qa( z3 2a) 0,5qz32

Mx(0) 2.333 qa2 , Mx(4a) (-0,2+1.267*6-0,5*42)qa2 = -0,6 qa2 . Поскольку поперечная сила на

участке изменяет знак, в сечении с координатой z2 z* , соответствующем Qy 0 изгибающий момент достигает

1.267 a. Экстремальное значение изгибающего момента

Mx( z* ) 0,2qa2 1.267qa*(2a 1.267a) 0,5

.

мальный по модулю изгибающий момент в поперечных сечениях балки Mxmax 3.136 qa2 = 3.136*1.5=

= 4.703 кН*м.

Приблизительный вид изогнутой оси балки показан на рис. 5.4 г. Подбор двутаврового сечения.

Расчетная величина момента сопротивления балки

Wx Mx мах / Ru 4.703*106/200= 0.0235*106 мм3= 23.5 см3.

По сортаменту (таблице параметров) двутавров определяем двутавр № 10 с моментом сопротивления Wx 39.7 см3.

9

1)рассмотреть «грузовое» состояние (“Р”), представляющее балку под действием заданных нагрузок;

2)рассмотреть «единичное» состояние (“i”), представляющее ту же балку, освобожденную от заданных нагрузок и нагруженный единичным силовым фактором (единичной силой, когда определяется прогиб, или единичным моментом, когда определяется угол поворота), приложенным в сечении, перемещение которого определяется, в предполагаемом направлении искомого перемещения;

3)«грузовое» и «единичное» состояния разбить на одинаковые участки;

4)на каждом k - м участке записать аналитические выражения изгибающих моментов, соответствующих «грузовому» состоянию Mxp(k) и «единичному»

состоянию Mxi(k) ;

5) определить искомое перемещение, как сумму интегралов Мора по участкам балки

где m – число участков; k – номер участка; lk – длина участка; EIx k – изгибная

жесткость участка.

Если i > 0, то направление искомого перемещения совпадает с направлением единичного силового фактора, если i < 0, то противоположно ему.

10