Учебное пособие 640

где – изгибающий момент в опасном сечении; Wx – осевой момент сопротивления сечения; – допускаемое напряжение для материала балки.

Для проектного расчета из условия прочности (6.8) используется соотношение

Задача 7.1

(Раскрытие статической неопределимости трехопорной балки (задача № 7 КР №2))

Для заданной балки постоянной жесткости (рис. 7.1, а) подобрать сечение в форме двутавра. Принять [ ] = 160 МПа; а = 1м; q = 10 кН/м; m = 2qa2 = 10 кНм.

степень статической неопределимости заданной балки. Число неизвестных реакций опор равно четырем (такое же число внешних связей имеет заданная система), а уравнений равновесия для плоской системы в общем случае можно

22

составить три. Таким образом, степень статической неопределимости n равна числу «лишних» связей, т.е. n = 1.

2.Выбираем основную систему. Для этого снимем нагрузки и отбросим одну «лишнюю» связь, убрав одну шарнирно-подвижную опору (см. рис. 7.1, б).

3.Превращаем основную систему в эквивалентную. С этой целью нагружаем основную систему заданными нагрузками, а в месте отброшенной связи прикладываем неизвестную реакцию этой связи x1 (см. рис. 7.1, в).

4.Записываем систему канонических уравнений метода сил (7.1), которая в нашем случае будет состоять из одного уравнения

j1

5.Определяем перемещения в основной системе 1p и 11 . Так как ось

балки прямая, а ее жесткость EIx const , то для расчета перемещений 1p и 11

можно использовать способ Верещагина. Для этого вначале рассмотрим грузовое (“Р”) состояние основной системы (см. рис. 7.1, г) и одно вспомогательное состояние основной системы – состояние “x1 1” (см. рис. 7.1, д).

Пользуясь методом сечений, строим эпюру изгибающих моментов для “Р” состояния (см. рис.7.1, г) и одну эпюру для вспомогательного состояния – “x1 1”

(см. рис. 7.1, д).

Затем рассчитываем перемещение в основной системе от заданных нагрузок

6.Подставляем найденные значения перемещений 1p и 11 в каноническое уравнение (6.10), решением которого устанавливаем значения реакций x1

присвоено значение, установленное в п. 6, строим эпюры поперечных сил Qy (см.

рис. 7.2, б) и изгибающих моментов Mx (см. рис. 7.2 в). Предварительно определяем реакции опор RA и RB .

8. Подбираем сечение балки в форме двутавра. Из эпюры изгибающих моментов (см. рис. 7.2, в) следует, что изгибающий момент в опасном сечении

max M x 2qa2 20кНм.

В соответствии с условием (7.9)

23

По таблице сортамента выбираем двутавр № 18, для которого WxI 143см3.

Рис. 7.2

Замечание В качестве варианта основной системы для рассмотренной задачи можно

выбрать одну из систем, показанных на рис. 7.3.

Постановка шарнира в опорном сечении позволяет при решении задачи рассматривать каждый из пролетов заданной балки как самостоятельную балку, что значительно упрощает построение эпюры изгибающих моментов для грузового (“Р”) состояния, а также расчет перемещений в основной системе от заданных нагрузок.

24

В второй из представленных вариантов основной системы (см. рис. 7.3, в) в качестве «лишней» связи принята реакция в шарнирно-неподвижной опоре. В этой системе в опорном сечении прикладывается неизвестная сила X1 .

25

8. Занятие №8

Кручение с изгибом круглых валов

Для оценки прочности тел в условиях сложного напряженного состояния используют теории прочности.

При выполнении прикладных расчетов наиболее часто используют теорию прочности максимальных касательных напряжений и энергетическую теорию прочности.

Условие прочности по теории максимальных касательных напряжений (третья теория прочности) имеет вид

1 3 . (8.1)

Условие прочности по энергетической теории (четвертая теория прочности)

величины 1 2 3 (см. разд. 3); допускаемое напряжение при одноосном растяжении.

Данные теории можно использовать, например, в расчете на прочность валов, подвергаемых изгибу с кручением.

При изгибе с кручением в поперечном сечении действуют изгибающий Ми и крутящий Мк моменты.

Чтобы провести расчет на прочность, необходимо построить эпюры крутящего Мк и изгибающего Ми моментов.

Правила и примеры построения эпюр при кручении и изгибе подробно изложены в разд. 2.

Опасное сечение вала определяется по величине максимального расчетного (приведенного) момента М* . По теории прочности максимальных касательных напряжений (третья теория прочности)

где Wх осевой момент сопротивления поперечного сечения, который используется для расчета на изгиб ( см. разд. 3).

26

Задача 8.1

(Построение эпюр крутящих и изгибающих моментов в сечениях статически определимого вала, определение диаметра вала с использованием

четвертой теории прочности (задача № 8 КР №2))

На рис. 8.1 представлена схема нагружения промежуточного вала механической передачи прибора с установленными на нем

эти точки ; Fr1 и Fr2 - радиальные силы в зацеплениях колес, линии действия которых проходят через точки K1 и K2 перпендикулярно оси вала; Fa1 и Fa2 - осевые силы в зацеплениях колес, проходящие через точки K1 и K2 и направленные параллельно оси вала.

В табл. 8.1 силы даны в Ньютонах, момент в Н*мм, угол в градусах, длины участков – в мм; M Ft1d1 Ft2d2 – вращающий момент, передаваемый зубчатыми колесами; d1 и d2 - диаметры зубчатых колес, которые рассчитываются из условия равномерного вращения вала, которое может быть только при силовом равновесии вала; L1, L2 , L3 - расстояния между опорами и местами установки зубчатых колес.

Таблица 8.1

В соответствии с вариантом задания произвести расчет вала на прочность и жесткость в следующем порядке

1. Из условия равномерного вращения вала определить диаметры зубчатых колес d1 и d2 .

2.Изобразить в масштабе схему нагружения вала.

3.Определить реакции опор вала во взаимно перпендикулярных плоскостях, указанных на схеме нагружения вала.

27

4.Рассчитать изгибающие и крутящие моменты в сечениях вала, построить эпюры изгибающих и крутящих моментов.

5.Рассчитать диаметры вала на прочность по эквивалентным напряжениям (приведенному моменту M* по 4 теории прочности) в наиболее опасных сечениях

вала. Опасным сечением вала считать то, в котором приведенный момент нагрузки на вал максимален.

6. Рассчитать вал на жесткость при кручении.

Определение проекций сил, действующих в зацеплениях, на оси координат Силы, приложенные в точках K1 и K2 , расположены в разных плоскостях. В

и добавляются соответствующие моменты этих сил. Приводя силы в зацеплениях колес к точкам C и D, и заменяя действие опор реакциями, RA, RB получим схему нагружения вала, показанную на рис. 8.2.

Силы Ft2 и Fr2 , приложенные в точке K2 удобно заменить их

28

Плечи осевых сил относительно оси х и у y1 0,5d1= 0,5*16,667*1= 8,334 мм,

Рис. 8.3

x2 0,5d2 cos( 0,5 ) 0,5d2 sin = - 0,5*8*0= 0 мм, y2 0,5d2 sin( 0,5 ) 0,5d2 cos = 0,5*8*1= 4 мм.

Проекции моментов осевых сил относительно точек C и D на оси х и у

M1x 0,5ka Fa1d1= 0,5*(-1)*0*40= 0 Н*м;

M2x Fa2 y2 0,5ka Fa2d2 cos = 0,5*1*0*8*1= 0 Н*мм; M2y Fa2 x2 0,5Fa2d2 sin = -0,5*1*0*8*0= 0 Н*мм.

Рассмотрим раздельное воздействие на вал сил, расположенных в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

Вертикальная плоскость (zy )

В вертикальной плоскости действуют силы Fr1 , Fy , Fa1, Fa2 а также пары сил, образующих моменты Mx1 и Mx2 .

Уравнения равновесия моментов сил относительно точек А и В имеют вид

MAx 0, RBy ( L2 L3 ) Fr1L1 M1x Fy L2 M2x 0 ,

MBx 0, RAy( L2 L3 ) Fr1(L1 L2 L3 ) M1x Fy L3 M2x 0 ,

Тогда

RAy ( Fr1( L1 L2 L3 ) M1x Fy L3 M2x )/(L2 L3 ),

RBy ( Fr1L1 M1x Fy L2 M2x )/( L2 L3 ),

или

RAy (44*(8+5+12)+0+92*12+0)/(5+12)= 129,647 Н,

RBy -(44*8+0-92*5+0)/(5+12)= 6,353 Н.

Проверка Yi RAy RBy Fr1 Fy 129,647+6,353-44-92= 0.

29

Следовательно, реакции RAy и RBy определены верно.

Горизонтальная плоскость (zx)

В горизонтальной плоскости действуют силы Ft1 , Fx , RAx , RBx а также пара сил, образующих момент My2 .

Рис. 8.4

Уравнения равновесия моментов сил относительно точек А и В имеют вид

M Ay 0 , RBx( L2 L3 ) kt Ft1L1 Fx L2 M2y 0,

MBy 0, RAx (L2 L3 ) kt Ft1( L1 L2 L3 ) Fx L3 M2y 0 ,

или

RAx ( kt Ft1(L1 L2 L3 ) Fx L3 M2y )/(L2 L3 ), RBx ( kt Ft1L1 Fx L2 M2y )/( L2 L3 ).

Тогда,

RAx -(-120*(8+5+12)+250*12+0)/(5+12)= 0 Н,

RBx (-120*8-250*5+0)/(5+12)= -130 Н. Проверка Xi RAx RBx kt Ft1 Fx 0-130-120+250= 0.

Следовательно, реакции RAx и RBx определены верно. Суммарные реакции опор вала определяются по формуле

RA RAx2 RAy2 02 129,6472 129,647 Н;

RB RBx2 RBy2 1302 6,3532 130,155 Н.

Осевая реакция подшипника В определится из уравнения равновесия вала в проекциях на ось z

RBz Fa1 Fa2 0.

Отсюда следует RBz Fa1 Fa2 0.

Построение эпюр изгибающих и крутящих моментов Вертикальная плоскость (zy )

30