Учебное пособие 571

q0 , а саму ось x направим влево. Рассмотрим бесконечно ма-

Со стороны всех остальных бесконечно малых элементов стержня на заряд q0 также будут действовать элементар-

ные силы, направленные в ту же сторону, что и dF. Сложив их модули, найдём искомую силу, равную результирующей силе действия всех элементов стержня на заряд q0 :

11

Подставив все величины в единицах СИ в (3) и выполнив вы-

числения, найдём

F = 5.10-5 Н.

Ответ: F = 5.10-5 Н.

Задача 1.3. Тонкий стержень длиной l = 30 см (рис. 1.3) несет равномерно распределённый по длине заряд с линейной плотностью = 1 мкКл/м. На расстоянии r0 = 20 см от стержня находится заряд Q1 = 10 нКл, равноудалённый от концов стержня. Определить силу F взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.

стержня. Однако, если выделить на стержне малый участок dl, то находящийся на нём заряд dQ dl можно рассматривать как точечный, и тогда по закону Кулона сила взаимодействия между зарядами Q1 и dQ:

где r - расстояние от выделенного элемента до заряда Q1 . Из

расстояние от заряда Q1 до стержня. Подставив эти выражения r и dl в формулу (1), получим

12

4 0r0

Следует иметь в виду, что dF - вектор, поэтому, прежде чем интегрировать, разложим его на две составляющие:

dF1 , перпендикулярную стержню, и dF2 , параллельную ему. Из рис. 1.3 видно, что

dF1 dFcos , dF2 dFsin .

Подставляя значение dF из выражения (2) в эти формулы, найдём:

Интегрируя эти выражения в пределах от до + , получим

В силу симметрии расположения заряда Q1 относительно концов стержня интегрирование второго выражения даёт нуль:

4 0r0

Таким образом, сила, действующая на заряд Q1 :

13

Подставив это выражение sin в формулу (3), получим

1.2. Напряжённость

Задача 1.4. Кольцо из проволоки радиусом R = 10 см имеет отрицательный заряд q = -5 нКл. Найти напряжённости E электрического поля на оси кольца в точках, расположенных от центра кольца на расстояниях L, равных 0; 5; 8; 10 и 15 см. На

каком расстоянии Lот центра кольца напряжённость E электрического поля будет иметь максимальное значение?

14

линии x, соединяющей элемент кольца dl с точкой А. Для нахождения напряжённости поля всего кольца надо векторно

сложить dE от всех элементов. Вектор dE можно разложить на составляющие dE и dEn . Составляющие dEn каждых двух

диаметрально противоположных элементов взаимно уничтожаются, и тогда

Окончательно получим выражение для определения напряжённости электрического поля на оси кольца в виде:

стояниях заряженное кольцо можно рассматривать как точечный заряд.

15

Для нахождения максимального значения напряжённости E возьмём производную dE/d и приравняем её к нулю:

sin3 cos2 2sin tg2 2. Тогда напряжённость электрического поля имеет максимальное значение в точке А, рас-

радиусом R из непроводящего материала с объёмной плотностью . Определить напряжённости поля в точках, располо-

женных на расстоянии r1 R от центра шара и r2 R. Построить график зависимости E E(r).

центра шара создаётся только зарядами, находя-

16

Если r2 R, то электрическое поле создаётся полным

зарядом шара q 4 R3 , поэтому

3

1.3. Потенциал

Задача 1.6. В вершинах квадрата со стороной 5 см находятся одинаковые положительные заряды q = 2 нКл. Определить напряжённость и потенциал электрического поля: 1) в центре квадрата; 2) в середине одной из сторон квадрата.

17