Учебное пособие 554
.pdf
хt, а по оси ординат значения избыточном доходности портфеля уt, (рисунок 1).
Рис. П3.1. Функция регрессии избыточной доходности портфеля от избыточной доходности аналога рыночного портфеля
Эти две переменные хt и уt, — случайные величины. В теории корреляционно-регрессионного анализа две такие переменные можно связать
соотношением: |
у = ∫(x ) + |
|
||
|
||||
|
∫(x ) |
|
t |
|
где |
|
=ŷ —детерминированная функция регрессии от хt; |
, — остатки, или |
|
возмущение в точке х, являющееся случайной величиной. |
|
|||
Как правило, считают, что функция регрессии эффективности портфеля
— линейная от эффективности рынка, т.е.:
=ŷ |
* : |
* |
, |
(1) |
где ар — координата пересечения функции регрессии с осью уt, =tgƟº— бета портфеля (см. рис. 4.24). Если ар = 0, а угол Ɵ= 45 е, то характеристики портфеля в среднем соответствуют рыночным, а = tg45º = 1. Коэффициенты уравнения регрессии определяются формулами:
= |
x ² − x̅² |
(2) |
|
11
|
|
|
|
|
|
=y̅ * |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|||||||
Где |
|
x |
у |
= |
|
|
x у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
x = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
² |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
x² |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Часто формулу для бета портфеля записывают в виде |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
σ |
x,y |
− |
|
β = |
|
σx,y σx2 |
, |
|
|
|
|
|
x |
t |
|
|
(7) |
y |
t |
|
||||||||
|
2 |
где |
ковариацияслучайныхвеличин |
|
и |
|
; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
дисперсия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
σx − |
, = −1 |
случайнойвеличины |
|
|
|
−1 × ∑=1( − |
̅ |
− |
+ |
|
|||||||||||||||||||||
∑=1 |
( − |
̅ |
− |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Действительно, имеем следующиеxt . |
тождества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
)( |
|
|
|
) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||
= |
−1 ∑ =1( |
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= −1 |
=1( |
−̅) |
= − |
1 × |
=1( |
|
−2 ̅+ ̅) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
( 2 −̅2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив эти |
выражения=1в (4.2) ,получим (4.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Рассчитаем функцию |
|
|
средней |
доходности |
портфеля |
от |
параметров |
||||||||||||||||||||||
функций регрессии. Предварительно найдем формулу для среднего значения избыточной доходности портфеля . Для этих целей используем второе уравнение (4.1):
12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=(4.2)+ и |
(4.3)× ̅. вычисляются по методу |
|||||||||||||||
Так как коэффициенты= регрессии+ × + |
|||||||||||||||||||||||||
наименьших квадратов, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
портфеля |
и |
избыточной |
||||||||
Из |
определения |
избыточной доходности |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
доходности аналога рыночного портфеля следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
= , − |
= |
− |
|
|
|
|
, |
|
|
− ; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
; ̅= − |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где |
– средняя |
за |
исследуемый период |
доходность |
портфеля; |
|
- |
||||||||||||||||||
средняя за исследуемый период доходность безрискового актива; |
|
- |
средняя |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
за исследуемый период доходность рынка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Подставив два последних выражения в предыдущее, получим |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|
+ |
|
|
− ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда находим |
|
|
|
|
× ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
|
) |
+ |
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
× ( − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Качество управления портфелем может быть оценено с помощью модели
Security Market Line, SM (апостериорная рыночная линия портфеля ценных |
|||||
бумаг). Если в (4.8) положить |
|
|
, то получим так называемый эталонный |
||
|
|
||||
портфель. Доходность |
эталонного портфеля определяется соотношением |
|
|||
|
|
= 0 |
|
|
|
|
= + × ( − ) |
|
|||
|
эт |
|
|
|
(9) |
|
|
|
|
|
|
где эт - средняя за исследуемый период доходность эталонного портфеля.
Вид апостериорной показан на рис. П3.2
13
|
Рис. П3.2. Апостериорная рыночная линия портфеля ценных бумаг (SML) |
|
|||||||||||||||
|
Доходность портфеля – линейная функция от . |
При увеличении |
|
|
|||||||||||||
доходность увеличивается. Кроме того, известно, что |
доходность |
актива |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
увеличивается при увеличении риска. |
|
|
т |
|
|
|
|
||||||||||
доходности рынка. |
В этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Поэтому коэффициент бета можно представить, как показатель риска. |
|
|
||||||||||||||
При β = 1 из ( 8) получим |
эт |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
, т.е. доходность эталонного портфеля равна |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
случае пишут |
|
= = 1. Считают, что при |
|
β = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 1 – высокий. |
|
|
|
|||
1уровень риска средний, β < 1 – низкий, при β̅ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Одна из мер качества управления портфелем – коэффициент функции |
||||||||||||||||
|
(9), т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
регрессии |
В частности, этот коэффициент можно найти как разность между |
||||||||||||||||
|
|
|
|
портфеля |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||||
средней доходностью. |
|
|
(4.8) и доходностью эталонного портфеля |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
||
|
Коэффициент |
|
называется апостериорная альфа. |
|
|
|
|
||||||||||
|
Все сказанное |
о коэффициенте бета относится к портфелю ценных бумаг. |
|||||||||||||||
Однако вся приведенная ниже теория справедлива и для одной ценной бумаги. Например, можно говорить о коэффициенте бета апостериорной альфа и по анализу этих характеристик принимать те или иные инвестиционные бумаги. Например, для акций, у которых β < 1, доходность меньше среднерыночной. Если α < 1, то существует такое β, для которого доходность акции равна нулю.
14
Анализ портфеля необходимо произвести в соответствии с примером
Данные табл. П3.1 необходимо изменить в соответветствии с последним номером зачетной книжки студента, т.е. прибавить к каждому значению табл. П3.1 кроме итоговых (их образовать уже из вновь образованных значений) последнее число зачетной книжки. Прорешать задачу руководствуясь примером. Сделать соответствующие выводы и утверждения.
Исходные данные для формирования практической части курсовой работы представлены в данном примере. В таблице с исходными данными приведены периодические значения доходностей за квартал в процентах исследуемого портфеля, рыночного портфеля и безрискового актива за 16 кварталов (4 года). Определите β и α портфеля и постройте функцию регрессии портфеля. Проведите анализ портфеля.
Таблица П3.1
Номер |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
квартала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуемый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
портфель, |
-8,77 |
-6,03 |
14,14 |
24,96 |
3,71 |
10,65 |
-0,22 |
0,27 |
-3,08 |
Рыночный, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
портфель, |
-5,86 |
-2,94 |
13,77 |
14,82 |
11,91 |
11,55 |
-0,78 |
0,02 |
-2,52 |
, |
2,97 |
3,06 |
2,85 |
1,88 |
1,9 |
2 |
2,22 |
2,11 |
2,16 |
Безрисковый |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Итого |
|
Номер |
|||||||||
актив, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квартала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуемый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
портфель, |
-6,72 |
8,58 |
1,15 |
7,87 |
5,92 |
-3,1 |
13,61 |
62,94 |
|
Рыночный, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
портфель, |
-1,85 |
8,73 |
1,63 |
10,82 |
7,24 |
-2,78 |
14,36 |
78,12 |
|
, |
2,34 |
2,44 |
2,4 |
1,89 |
1,94 |
1,72 |
1,75 |
35,63 |
|
Безрисковый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
актив, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
Пример решения.
Средние доходности за квартал исследуемого портфеля, рыночного портфеля
= 1 |
|
, = 62,94 = 3,93 %; |
|
и безрискового активанаходим,используя последнююграфутабл.4.1: |
|||
|
|
|
16 |
=1 |
, = |
||
= 1 |
|
78,12 = 4,88 %; |
|
|
|
|
16 |
=1 |
|
||
= 1 |
= 35,63 = 2,23 %. |
||
|
|
|
|
|
=1 |
|
формулу (9), получим выражение для |
Подставив полученные значения в |
16 |
||
доходности эталонного портфеля от коэффициента бета, т.е. выражение для
апостериорной SML:
эт= 2,23 + 2,65 · β.
График этой зависимости представлен на рис.4.26.
Средняя избыточная доходность за квартал исследуемого и рыночного
портфелей |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( , − ) = − = 1,7 % ; |
|||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
||
|
̅= |
|
|
|
|
|
||
|
1 ( , − ) = − = 2,65 %. |
|||||||
|
|
|
=1 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Расчет величин |
|
, |
х |
2, |
|
2 можно выполнить по результатам табл.4.2. |
||
|
|
|
|
|||||
16
|
|
|
|
|
Таблица П3.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Квартал |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
-11,74 |
-8,83 |
137,83 |
77,97 |
103,66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-9,09 |
-6 |
82,63 |
36 |
54,54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
11,29 |
10,92 |
127,46 |
119,25 |
123,29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
23,08 |
12,94 |
532,69 |
167,44 |
298,66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1,81 |
10,01 |
3,28 |
100,2 |
18,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
8,65 |
9,55 |
74,82 |
91,2 |
82,61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
-2,44 |
-3 |
5,95 |
9 |
7,32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
-1,84 |
-2,09 |
3,39 |
4,37 |
3,85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
-5,24 |
4,68 |
27,46 |
21,9 |
24,52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
9,06 |
4,19 |
82,08 |
17,56 |
37,96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
6,14 |
6,29 |
37,7 |
39,56 |
38,62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
-1,25 |
0,77 |
1,56 |
0,59 |
0,96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
5,98 |
8,93 |
35,76 |
79,74 |
53,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
3,98 |
5,3 |
15,84 |
28,09 |
21,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
-4,82 |
-4,5 |
23,23 |
20,25 |
21,69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
11,86 |
12,61 |
140,66 |
159,01 |
149,55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итого |
27,31 |
42,49 |
1332,34 |
972,13 |
1039,84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
17
|
|
|
1039,84 |
|
2 |
972,13 |
||
Воспользовавшись результатами, приведенными в табл. П3.2, получим |
||||||||
|
рыночного= |
и исследуемого= 64,99, х |
=портфелей= 60,76. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
16 |
|
|
16 |
16 |
|||
|
|
|
|
|
||||
Ковариация |
|
|
|
|
|
|||
, = |
рыночного( −портфеля̅) = |
(64,99 −2,65 1,7) = 64,52. |
||||||
Дисперсия −1 |
|
|
|
15 |
|
2 |
||
2 |
= |
|
|
|
16 |
|||
|
значения² −в̅(7),² =получим(60,76значение−2,65бета) =исследуемого57,32. |
|||||||
Подставим эти−1 |
|
|
|
15 |
|
|||
портфеля |
|
|
|
= 64,52 = 1,126. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средняя бета рыночного |
портфеля равна единице. Так как средняя бета |
|||||||
|
57,32 |
|
||||||
исследуемого портфеля больше средней бета рыночного портфеля, то можно сделать вывод о том, что менеджер исследуемого портфеля был относительно
агрессивен. |
|
|
Альфа портфеля может быть найдена по формуле (3), т.е. |
|
|
= ̅− |
β ̅= 1,7 1,126 2,65 = 1,28 % . |
(3) |
Так как альфа портфеля отрицательна, т.е. доходность исследуемого портфеля ниже доходности рыночного портфеля, то управление данным портфелем рассматривается как неэффективное.
Функцию доходности исследуемого портфеля от коэффициента бета
найдем, подставив в (8) полученные значения:
= + + ( − ) ∙ = −1,28 + 2,33(4,88 −2,33) ∙ = 0,95 + 2,65 ∙ .
График доходности исследуемого портфеля от бета портфеля представлен на рис. 26 вместе с апостериорной SML.
18
Функцию регрессии портфеля найдем, подставим в (4.1) значения для
альфа и бета портфеля:
(х ) = + ∙ х = 1,28 + 1,126 ∙ х
График этой функции представлен на рисунке 27.
Построенная в рассмотренном выше примере регрессионная модель нуждается в проверке ее соответствия реальным статистическим данным. При оценке качества функции регрессии проверяются значимость коэффициентов
уравнения, |
степень тесноты взаимосвязи исследуемых случайных величин хt и |
||||||||||||||
уr качество подбора формы кривой. |
В общем виде функция |
|
|
=yх может |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
иметь самый различный вид. В нашем случае в качестве этой |
функции выбрана |
||||||||||||||
(х |
) |
|
|||||||||||||
прямая линия (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Значимость коэффициентов регрессии |
|
, |
проверяются по критерию |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
Стьюдента. |
Эти коэффициенты |
|
признаются |
значимыми с заданной |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вероятностью, если выполняются неравенства |
|
|
> 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
> 0 ; |
|
|
|
|
(11) |
|||||
|
|
= ; |
= ; |
|
|
|
|
|
(12) |
||||||
|
= √ |
|
|
= |
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
||
|
|
ост |
; |
|
|
|
|
ост |
|
|
|
|
|
(13) |
|
|
|
|
|
|
1∑ =1(х −х ) |
2 |
. |
|
|
(14) |
|||||
|
|
ост = −1 |
∑−1( − х) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение t0 выбирается из таблицы t критерия Стьюдента для доверительной вероятности F=1-a и число степеней свободы Т-2, где Т- объем выборки. При выполнении неравенства (11) коэффициент считается значимым с вероятностью F. Здесь a-уровень значимости.
19
Тесноту взаимосвязи двух случайных величин хt и yt проверяют при помощи коэффициента корреляции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= х2−х2 |
∙ 2 |
−2 = х∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Где |
|
|
|
|
|
|
|
х∙у−х |
∙у |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
(15) |
|||||
|
|
|
|
2 |
= −1 =1( |
− |
2 |
= −1 |
( |
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
̅) |
|
−̅) , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −1 |
=1( |
− ) |
|
|
= −1 |
|
− |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
Коэффициент корреляции лежит в пределах |
|
|
|
|
. |
При значении |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сильная, нулю – слабая. |
|
||||||
коэффициента корреляции, близком 1или -1, - связь −1 ≤ ≤ 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Значимость коэффициента корреляции с доверительной вероятностью |
||||||||||||||||||||||||||
= 1 − определяется с помощью -критерия Стъюдента по формуле: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
|
|
|
√1− 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
∙ |
√ −2 |
. Количество степеней свободы равно T-2. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Величина |
|
|
называется коэффициентом детерминации. Чем больше , |
|||||||||||||||||||||||
тем лучше выбранная |
функция аппроксимирует фактические данные. В нашем |
|||||||||||||||||||||||||||
случае коэффициент детерминации показывает ту часть изменений избыточной доходности исследуемого портфеля за заданный интервал времени, которая связана с изменениями избыточной доходности рыночного портфеля.
Коэффициент неопределенности находится по формуле:
(18)
Коэффициент неопределенности показывает часть изменений избыточной доходности исследуемого портфеля, которая не связана с изменениями избыточной доходности рыночного портфеля.
20