Учебное пособие 545

УДК 624

ББК 30.21

Составитель В.М. Суднин

Проектный расчет вала на совместное действие кручения и изгиба:

метод. указания к расчетно-графической работе по курсу «Сопротивление материалов» для студ. спец. 190205/ Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т; сост.: В.М. Суднин. – Воронеж, 2010. – 24с.

Приводятся указания по расчету вала редуктора на совместное действие кручения и изгиба, по проектированию вала и расчету на выносливость.

Дан пример аналитического расчета и рекомендации по расчету вала на персональных ЭВМ с применением пакета Mathcad.

Предназначены для студентов второго курса специальности 190205 «Подъемно-транспортные, строительные и дорожные машины и оборудование» дневной и заочной форм обучения.

Ил. 14. Табл. 4. Библиогр.: 2 назв.

УДК 624

ББК 30.21

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежскогогосударственногоархитектурно-строительногоуниверситета

Рецензент – Ю.А. Калинин, к.т.н., доц. кафедры транспортных машин Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

2

ВВЕДЕНИЕ

Полный расчет вала более обширен и включает ещё и расчет подшипников, шпонок, шлицев, а также проверку по допускаемым деформациям, проверку на резонанс при поперечных и крутильных колебаниях.

Объем домашнего задания по расчету вала в курсе "Сопротивление материалов" ограничивается только статическим расчетом вала на совместное действие кручения и изгиба (проектный расчет) и проверкой прочности вала при циклических нагрузках.

При расчете всей машины конструктор определяет усилия на рабочих органах машины и выбирает мощность приводного двигателя. Таким, образом, исходными данными для вычисления действующих на вал усилий являются передаваемая мощность Р и угловая скорость ω.

Если на валу установлено несколько деталей, то деталь, принимающая мощность, - ведущая, детали, отдающие мощность, - ведомые.

Деталями принимающими или отдавшими мощность, могут быть шкивы ременных передач, зубчатые колеса (цилиндрические, конические, червячные), звездочки цепных передач.

3

Угол наклона зубьев β по конструктивным соображениям выбирают равным 8…20 градусам. В работе примем β=100.

В конических зубчатых колесах полное усилие раскладывается на окружное Ft, радиальное Fr и осевое Fа усилия (рис.3):

Ft=2 Mx/D ;

Fr = Ft tg α cosδ =0,26 Ft;

Fа = Ft tgα sinδ =0,26 Ft , где α=200 – угол зацепления, δ=δ1=δ2 =450.

Нагрузки передаются на вал через укрепленные на валу детали (зубчатые колеса, шкивы, подшипники и т.д.) в виде сил, распределенных по посадочной площади и по рабочим элементам шпонок и шлицев. Однако при расчете вала принимают, что нагрузки от укрепленных на нем деталей передаются на вал в виде сосредоточенных сил, моментов. Это значительно упрощает вычисления внутренних усилий и деформаций и идет в запас прочности вала.

Нагрузки прикладывают против середины длины рабочего Рис. 3 элемента детали (середина длины зуба, середина ширины подшип-

ника и т.д.).

Для расчета вала составляют расчетную схему. Удобно одну пространственную схему заменить тремя схемами на плоскости: первая схема - все нагрузки, лежащие в вертикальной плоскости; вторая – все нагрузки, лежащие в горизонтальной плоскости; третья схема – схема моментов для построения эпюры Мх.

На расчетных схемах в вертикальной и горизонтальной плоскостях вал изображают в виде балки на двух опорах. Опоры балки располагают против середины длины подшипников В подшипниках ось вала может повернуться, поэтому вместо подшипников на схеме балки изображают шарнирные опоры. Кроме того, подшипники не препятствуют осевым температурным деформациям вала, поэтому одну из опор изображают шарнирно-подвижной, другую – шарнирно-неподвижной; После этого вычисляют по нагрузкам величины опорных реакций.

4

x

2.2.Определение моментов внешних сил, приложенных

кзубчатым колесам

а) Ведущее колесо: M = P/ ω = 40*103/94,25 =424,4 Hм; б) ведомые колеса: М1 = k1М = 424,4*0,75 = 318,3 Hм;

М2 = k2М = 424,4*0,25 = 106,1 Hм.

2.3. Построение эпюры крутящих моментов

k2M

Mx, Hм 106,1

Рис. 5

Крутящий момент Мх в сечении вала равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части вала. Крутящий момент Мх считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он направлен по ходу часовой стрелки. По полученным значениям Мх

6

строим эпюру крутящих моментов. Ось (базу), на которой строится эпюра, всегда выбирают так, чтобы она была параллельна оси вала. Ординаты эпюр, выражающие в выбранном масштабе значение крутящего момента, откладывают от оси эпюры по перпендикуляру. Эпюру принято штриховать линиями, перпендикулярными базе. Положительные значения Мх откладывают вверх от базы, отрицательные - вниз. На эпюре проставляют числа, показывающие величины характерных ординат, а в поле эпюры в кружочке ставят знак усилия (рис.5).

2.4. Определение усилий, действующих на зубчатые колеса

Найдем окружные усилия: а) ведущее колесо:

Ft =2М/D = 2*424,4 / 0,9 = 943,1 Н;

б) ведомые колеса:

Ft1 =2М1/D1= 2*318,3 / 0,3 =2122,0 Н;

Ft2 =2М2/D2= 2*106,1 / 0,2 =1061,0 Н.

Найдем радиальные и осевые усилия:

Fr=0,4 Ft = 0,4*943,1 = 377,24 Н; Fa = 0,18*Ft = 0,18*943,1 = 169,76 Н; Fr1 = 0,36*Ft1 = 0,36*2122 = 763,92 Н;

Fa1 = 0;

Fr2 = 0,26*Ft2 = 0,26*1061 = 275,86 Н;

Fa2 = 0,26*Ft2 = 0,26*1061 = 275,86 Н.

2.5.Построение эпюр изгибающих моментов от вертикальных

игоризонтальных сил, действующих на вал

Усилия, действующие со стороны зубчатых колес, помимо кручения вызывают изгиб вала в двух взаимно перпендикулярных плоскостях - вертикальной и горизонтальной.

В горизонтальной плоскости изгиб вызывают окружные усилия Ft , Ft1 , Ft2. Схему вала заменяем схемой балки, к геометрической оси которой приложены эти силы (см. рис. 6).

Для того чтобы построить эпюру изгибающих моментов, необходимо определить величину опорных реакций.

Составим уравнения равновесия:

∑МA(Fk) = Ft1* ι1- Ft* ι2+R2*( ι2+ ι3)- Ft2*( ι2+ ι3 +ι4) =0.

Подставляя значения, получим: R2=(-2121*0,1+943,1*0,3+1061*0,65)/0,5=1520,76 H.

7

Аналогично находим опорную реакцию R1:

∑МВ(Fk)=Ft*( ι1 +ι2 +ι3 ) – R1*(ι2+ι3) +Ft*ι3 -Ft2*ι4 =0; R1 = (2122*0,6 + 943,1*0,2 – 1061*0,15)/0,5=2605,34 H.

Проверка правильности определения опорных реакций:

∑Fkz= - Ft1+R1- Ft + R2 -Ft2 = - 2122 +2605,34 -943,1 +1520,76 -1061 =0.

Находим значения изгибающих моментов в горизонтальной плоскости:

0≤х1≤ ι1; Мгор1 =- Ft1* х1; при х1=0, Мгор1=0; при х1= ι1=0,1 м, Мгор1=- 212,2 Нм ; ι1≤х2≤ (ι1+ι2); Мгор2=- Ft1* х2+ R1*( х2- ι1); при х2= ι1=0,1 м, Мгор2 = - 212,2 Нм ; при х2 =0,4 м , Мгор2=- 67,2 Нм ;

0≤х3≤ ι4; Мгор3 =- Ft2* х3; при х3=0, Мгор3=0 ; при х3= ι4=0,15 м, Мгор4=- 159,15 Нм; ι1≤х4≤ (ι4+ι3) ; Мгор4=- Ft2* х4+ R2*( х4- ι4) ; при х4= ι4=0,15 м , Мгор4 = - 159,15 Нм ; при х4 =0,35 м, Мгор4=- 67,2 Нм.

По полученным значениям Мгор строим эпюру изгибающих моментов в горизонтальной плоскости (рис.6)

В вертикальной плоскости изгиб вызывают радиальные и осевые усилия:

Fr , Fr1 , Fr2 , Fa ,Fa2.

Осевые усилия приводят к появлению сосредоточенных моментов М0 и М1:

М0 = Fa *D/2 = 166,3*0,9/2 = 74,8 Нм ; M1 = Fa2*D1/2 = 273*0,2/2 = 27,3 Нм .

8

Схема балки с действующими на нее силами приведены на рис.7 Определяем реакции опор:

∑МФ(Ал) = Ак1 ι1+Ак ι2+К2н(ι2+ ι3)- Ак2( ι2+ ι3 +ι4) +Ь0 +Ь1 = 0 ж;

К2н = - 224б71 Р;

∑МВ(Ал)=Ак1 (ι1 +ι2 +ι3) – К1н(ι2+ι3) +Акι3 –Ак2 ι4 +Ь0 +Ь1 = 0 ж;

К1н = 887б25 Р.

Проверка:

∑Fky = - Fr1 +R1y + Fr + R2y – Fr2 = -763,92+887,25 +377,24 – 224,71 – 275,86 = 0.

Аналогично эпюре Мгор строим эпюру изгибающих моментов в вертикальной плоскости Мв (рис.7).

27,3

Рис.7

2.5.1. Построение эпюры суммарных изгибающих моментов

Имея эпюры моментов от вертикальных и горизонтальных нагрузок, можно для каждого сечения вала найти полный изгибающий момент Ми как геометрическую сумму обеих составляющих:

Ми= Мгор2 МВ2 .

9

Заметим, что на крайних участках вала эпюра Ми будет ограничена прямыми линиями. Действительно,

= x1 Ft12 Fr21 , где х1 – линейная величина. Следовательно, эпюра Ми ограничена пря-

Мгор мой линией. Не приводя доказательств, отметим, что на промежуточных участках вала эпюра полного изгибающего момента Ми будет ограничена кривой, не имеющей максимума. На этом участке для построения эпюры Ми можно воспользоваться графическим методом, суть которого ясна из рисунка. При этом масштабы Мгор и Мв должны быть одинаковыми.

Вычислим Ми для характерных сечений вала:

По полученным значениям строим суммарную эпюру изгибающих моментов (рис. 8).

2.6. Выбор опасных сечений

Опасным сечением вала будет то, в котором возникают наибольшие напряжения. Величина наибольших напряжений зависит от величины полного изгибающего момента, крутящего момента, диаметра вала, концентрации напряжений и других причин. Взаимодействие всех указанных причин до выбора окончательных размеров вала неизвестно, поэтому при расчете вала по допускаемым напряжениям за опасные сечения выбирают те, в которых наиболее неблагоприятное сочетание полного изгибающего момента и крутящего момента. Обычно таких сечений несколько. При выполнении расчетно-графической работы надо выбрать только одно опасное сечение, по которому и производится расчет диаметра вала. В нашем примере в опасном сечении Ми=225,53 Нм , Мх=318,3 Нм. По эпюрам Мх и Ми устанавливаем опасное сечение. В рассматриваемом примере таким сечением будет сечение вала в месте левой опоры при х= ι1.

2.7. Выбор материала вала

Материал валов должен быть прочным, с высоким модулем упругости. Прямые валы изготовляют преимущественно из углеродистых и легированных сталей. Для валов, изготовляемых без термообработки, применяют стали Ст.5, Ст.6, для валов изготовляемых с термообработкой - Ст.45, 40 X.

10