Учебное пособие 491

УДК 512.63(07) ББК 22.143я7

Составитель Ф.Ф. Хошимова

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ: методические указания для практических и самостоятельных работ по дисциплине «Элементы высшей математики» для студентов 1-го и 2-го курса всех специальностей / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Ф. Ф. Хошимова. – Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2021. – 22 с.

Методические указания включают основные понятия и определения части раздела элементов линейной алгебры, приводятся примеры решения задач с использованием различных методов нахождения определителя, обратной матрицы и ранга матрицы, а также представлены задания для самостоятельной работы и контрольные вопросы по теме.

Предназначены для студентов среднетехнического образования 1-го и 2- го курсов всех специальностей.

Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле МУ ЛРУ (2) pdf.

Библиогр.: 3 назв.

УДК 512.63(07) ББК 22.143я7

Рецензент – Л. В. Стенюхин, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и механики ВГТУ

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ВВЕДЕНИЕ

Дисциплина «Элементы высшей математики», которая входит в основу профессиональной образовательной программы, относится к математическому и общему естественнонаучному циклу учебного плана.

Каждое начало имеет своё фундамент, и как раз высшее математическое образование начинается с изучения раздела линейной алгебры, в которую входит теория матриц.

Целью методических указаний является формирование умения выполнять арифметические действия с матрицами, находить определители матриц, обратную матрицу и ее ранг.

Вметодических указаниях изложены основные формулы и понятия, включающие в себя умение и навыки в нахождении матрицы, а также вычисление определителя, обратной матрицы и ранга матрицы. Приведены различные методы, способы решения по конкретным правилам и свойствам матрицы, а также представлен ряд заданий для практического и самостоятельного решения, с образцом выполненного задания.

Вматематике часто сталкиваются с решением задач, представленных в виде таблиц чисел и называемых матрицами. На самом деле, матрицы удобно применять для решений многих задач компьютерной графики, операции с векторами или же, например, систем линейных уравнений, состоящих из нескольких уравнений для которого необходимо громоздкий способ решения обычным методом. Иными словами, матрица – эта наша первая ступенька к освоению линейной алгебры.

Общее положение и рекомендации при изучении темы

Целям и задачами самостоятельной работы студентов являются ознакомление с матричной символикой и основными понятиями алгебры матриц, а также научиться уверенно оперировать с матрицами.

Практическая и самостоятельная работа студентов помогает приобретать навыки и умения решения задач приёмами аналитической деятельности, а также формирует абстрактное представление логики мышления, что необходимо для осуществления межпредметных связей.

Пояснительная записка

Требования к результатам освоения дисциплины.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

–У1. Выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;

–У2. Решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости;

3

–У4. Решать дифференциальные уравнения;

–У5. Пользоваться понятиями теории комплексных чисел. В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

– З1. Основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;

–З2. Основы дифференциального и интегрального исчисления;

–З3. Основы теории комплексных чисел.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен иметь

необходимой для выполнения задач профессиональной деятельности.

Практическая и самостоятельная работа

Практика играет главную роль в организации учебно-воспитательного процесса, цель которого заключается в развитии умственных навыков студентов и применение ими полученных теоретических знаний. Существенным фактором математического образования является умение решать задачи, понимать их смысл и сущность, владеть методами и правилами их вычисления.

Целью выполнения самостоятельной работы по дисциплине: «Элементы высшей математики», является умение работать с самим собой, работать над своими ошибками в процессе освоения данной темы.

В ходе выполнения самостоятельной и практической работы ставятся следующие задачи:

•Разбор имеющих в учебно-методическом комплексе решений задач с ответами;

•Применения основных методов, правил и свойств в процессе выполнения практических и самостоятельных заданий;

•Закрепление теоретических знаний, полученных в процессе лекционных занятий;

•Совершенствование навыков, необходимых для успешного решения задач по математике;

4

•Формирование профессионально-значимых качеств будущего специалиста.

МАТРИЦЫ

Основные понятия матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел (аij элементов), состоящая из m-строк и n- столбцов, которую записывают в следующем виде:

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C, ….

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойным индексом, например, aij,

где i - номер строки, j - номер столбца. Приведем пример матрицы 2 на 2:

1 0 А = 2 5

Вы видите, что a11 = 1, a12 = 0, a21 = 2, a22=5 Обозначение для матриц:

–скобка (…) или […];

–знак равно |

Виды матриц 1) Квадратной матрицей называется матрица, у которой количество

строк равно количеству столбцов (размера n×n), число n называется порядком матрицы (m=n)

2) Матрица называется прямоугольной, если количество строк не равно количеству столбцов (m≠ )

5

3) Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю, т.е. aij = 0.

4) Матрица, содержащая 1 строку или столбец, называется вектор (вектор-строка или вектор-столбец)

8

-7 - вектор-столбец

3

5) Диагональной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю. (главная и побочная)

6) Единичной матрицей (Е) называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1.

7) Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

• Верхней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой ниже главной диагонали равны нулю.

Пример верхней треугольной матрицы.

• Нижней треугольной матрицей называется матрица, все элементы которой выше главной диагонали равны нулю.

6

Пример нижней треугольной матрицы.

• Транспонированная матрица – это преобразованная матрица, при котором её строки становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы − строками. Обозначение: АТ.

выполняются следующие условия:

Первое: удовлетворение условия при а11>0, т.е. число, стоящее в 1 строке и в 1 столбце должно быть не равным нулю, если а11=0, то преобразуем матрицу путём элементарных преобразований:

1.Перемена местами двух строк(столбцов).

2.Умножение строки(столбца) на число, отличное от нуля.

3.Прибавление к элементам одной строки(столбца) соответствующие элементов другой строки(столбца).

Второе: Все элементы матрицы под крайним элементом первой строки первого столбца (а11) делаем нулевыми. Тоже самое проводим простейшие операции относительной второй, третьей и т.д. строки так, чтобы образовалась визуально некая ступенька.

Третий этап: проверка удовлетворения условий

Пример:

7

Аналогично определяется разность матриц. Умножение матрицы на число.

Любую матрицу можно умножить на любое число, при этом все элементы матрицы умножаются на это число.

Произведение матриц

Произведение матриц можно определить если выполняется условие, при котором число строк первой матрицы должны совпадать с числом столбцов второй матрицы, так как при произведении двух матриц (например, АВ) 1-ая строка матрицы А прикладывается к первому столбцу матрицы В, соответствующие элементы перемножаются, а произведения складываются.

9