Учебное пособие 466

Задача № 9

Определить доверительный интервал для оценки с надежностью неизвестного математического ожидания а

нормально распределенного признака Х генеральной совокуп-

19

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3

Пример 1. Изменить порядок интегрирования:

I f (x, y)dxdy , где D: x=1, x=2, y=x; y=2x.

D

Решение.

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

y 2x и построим их (рис. 2). Область D располагается в

20

полосе 0 x 1 и ограничена сверху и снизу соответствую-

щими ветвями параболы y2 4x

y

4

-2 A

у 2х

Рис. 2

Найдем новые пределы внешнего (по у) и внутреннего (по х) интегрирования. Так как область D проецируется на ось Оу в отрезок АВ, то пределами внешнего интегрирования являются ординаты точек А и В, т. е. y 2 и y 2 соответственно. Левой границей области

разрешено относительно х), а правой – прямая x 1. Таким образом, двойной интеграл I с измененным порядком интегрирования запишется в виде

2 1

I dy f x, y dx .

2 y2

4

Пример 3. Определить пределы интегрирования интегра-

ла f x, y dxdy, если область интегрирования S (рис. 3) ог-

S

21

Решение. Область интегрирования ABCD (рис. 3) ограничена прямыми x 2 и x 2 и двумя ветвями параболы:

y 1 x2 и y 1 x2 .

e1 2 e1 e2 e0 e3 e2

22

Пример 5. Вычислить двойной интеграл: I xy2dxdy,

Пример 7. Вычислить объем тела, ограниченного

поверхностями x 0, y 0, z 0, x y z 1 с по-

мощью тройного интеграла.

23

Решение. Данное тело изображено на рис. 5. На рис. 6 изображена проекция этого тела на плоскость Оху.

1

1

x

V= dxdydz , где (V) – область, ограниченная поверхностя-

V

миx 0, y 0, z 0 (координатные плоскости), x y z 1

(плоскость, отсекающая на координатных осях отрезки, равные 1), т. е. область (V) есть пирамида. Из чертежа видно, что по любой из переменных можно с одинаковым успехом брать постоянные пределы, и они равны 0 и 1. Возьмем, например, постоянные пределы по х (0 õ 1). Проекцией пирамиды на плоскость Оху является треугольник, ограниченный прямыми x 0, y 0 и x y 1 (рис. 6). Отсюда определяем пределы интегрирования по у (0 ó 1 õ). Для переменой z нижним пределом будет, очевидно, z 0 (плоскость Оху), а верхним – значение z, полученное из уравнения плоскости

x y z 1, т. е. z 1 x y.

24