Учебное пособие 466
.pdf
ФГБОУ ВО “Воронежский государственный технический университет”
Кафедра прикладной математики и механики
87-2017
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
к контрольной работе № 3 по дисциплине «Математика» для студентов направлений подготовки бакалавров
15.03.05«Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»,
15.03.01«Машиностроение»,
13.03.01«Теплоэнергетика и теплотехника»,
12.03.04«Биотехнические системы и технологии»
(все профили) заочной сокращенной формы обучения
divFdV FndS
V S
Воронеж 2017
1
Составители: канд. физ.-мат. наук канд. физ.-мат. наук канд. физ.-мат. наук канд. техн. наук
УДК 517.2 (07)
ББК 22.1я7
В.В. Горбунов, Т.И. Костина, В.И. Кузнецова, О.А. Соколова
Методическая разработка к контрольной работе № 3 по дисциплине «Математика» для студентов направлений подготовки бакалавров 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 15.03.01 «Машиностроение», 13.03.01 «Теплоэнергетика и теплотехника», 12.03.04 «Биотехнические системы и технологии» (все профили) заочной сокращенной формы обучения / ФГБОУ ВО “Воронежский государственный технический университет”; cост. В.В. Горбунов, Т.И. Костина, В.И. Кузнецова, О.А. Соколова. Воронеж, 2017. 37 с.
Методическая разработка предназначена для студентов– заочников инженерно–технических специальностей и содержит рекомендации к работе над курсом математики, программу курса с указанием литературы, примеры решения задач и двадцать вариантов контрольных заданий.
Ил. 6. Библиогр.: 4 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Е.И. Иохвидов
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.И. Ряжских
Печатается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВО “Воронежский государственный технический университет”, 2017
2
ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ
К ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА»
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. Курс высшей математики разбит на темы и пункты, в которых указана литература, рекомендуемая для изучения теоретического материала, а также задачники с большим количеством разобранных задач.
Правильная организация процесса обучения является самым важным условием успешной проработки и усвоения учебного материала и, как правило, достаточна для своевременной защиты контрольных работ, а также сдачи зачетов и экзаменов. В связи с вышесказанным настоятельно советуется студентамзаочникам начинать изучение тем с проработки теоретического материала из соответствующих разделов рекомендованных учебников. При изучении теоретического материала по учебнику полезно конспектировать основные определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.д.
Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. В рекомендованных пособиях имеется большое количество подробно решенных задач, с которыми студентам необходимо ознакомиться при изучении соответствующего материала.
После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества задач рекомендуется воспроизвести по памяти определения, формулы, формулировки теорем. Хорошим подспорьем для объективной оценки степени освоения учебного материала является перечень вопросов для самопроверки.
Только после этого можно приступать к выполнению контрольных работ. На данном этапе полезно ознакомиться с примерными вариантами решения задач контрольной работы, приведенными в методических указаниях.
1
Зачет контрольной работы преподавателем осуществляется при выполнении следующих требований:
–правильном и подробном решении задач в контрольной работе,
–умении достаточно быстро и без помощи пособий решать задачи, аналогичные задачам, предложенным в контрольной работе,
–твердом знании основных формул и определений, перечисленных в вопросах для самопроверки.
Если в процессе изучения теоретического материала или
при решении задач у студентов возникают вопросы, справиться с которыми самостоятельно не удается, то за помощью можно обратиться к преподавателю на консультации.
Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.
Выбор варианта контрольной работы студентом производится по двум последним цифрам номера студенческого билета в соответствии со следующей таблицей.
№ |
Последние две |
|
№ |
Последние две |
|
варианта |
цифры номера |
|
варианта |
цифры номера |
|
|
студенческого би- |
|
|
студенческого би- |
|
|
лета |
|
|
лета |
|
1 |
01, |
21, 41, 61, 81 |
|
11 |
11, 31, 51, 71, 91 |
|
|
|
|
|
|
2 |
02, 22, 42, 62, 82 |
|
12 |
12, 32, 52, 72, 92 |
|
3 |
03, 23, 43, 63, 83 |
|
13 |
13, 33, 53, 73, 93 |
|
4 |
04, 24, 44, 64, 84 |
|
14 |
14, 34, 54, 74, 94 |
|
5 |
05, 25, 45, 65, 85 |
|
15 |
15, 35, 55, 75, 95 |
|
6 |
06, 26, 46, 66, 86 |
|
16 |
16, 36, 56, 76, 96 |
|
7 |
07, 27, 47, 67, 87 |
|
17 |
17, 37, 57, 77, 97 |
|
8 |
08, 28, 48, 68, 88 |
|
18 |
18, 38, 58, 78, 98 |
|
9 |
09, 29, 49, 69, 89 |
|
19 |
19, 39, 59, 79,99 |
|
10 |
10, 30, 50, 70, 90 |
|
20 |
00, 20, 40, 60, 80 |
|
|
|
|
2 |
|
|
ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ “ МАТЕМАТИКА” (ТРЕТИЙ СЕМЕСТР)
Кратные и криволинейные интегралы
1.Понятие двойного интеграла. Геометрический смысл. Свойства двойных интегралов. Вычисление двойного интеграла посредством сведения его к двукратному.
2.Переход к полярным координатам в двойном интегра-
ле.
3.Приложения двойного интеграла.
4.Понятие тройного интеграла, его геометрический смысл и свойства. Вычисление тройного интеграла посредством сведения его к трехкратному.
5.Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройном интеграле.
6.Приложения тройного интеграла.
7.Понятие криволинейного интеграла, его свойства. Вычисление криволинейного интеграла посредством сведения его
копределенному.
8.Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
9.Приложения криволинейного интеграла.
10.Понятие поверхностного интеграла, его свойства. Вычисление поверхностного интеграла путем сведения его к двойному интегралу. Приложения поверхностного интеграла.
11.Формула Стокса.
12.Формула Остроградского-Гаусса.
13.Элементы теории поля.
Теория вероятностей и математическая статистика
14.Испытания и события. Относительная частота и вероятность случайного события. Формула классической вероятности. Статистическая вероятность.
15.Теоремы сложения вероятностей.
3
16.Условные вероятности. Теоремы умножения вероят-
ностей.
17.Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формула Байеса.
18.Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная
иинтегральная теоремы Лапласа.
19.Случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины. Биномиальное распределение, распределение Пуассона.
20.Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.
21.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
22.Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения вероятностей. Закон равномерного распределения вероятностей.
23.Нормальное распределение.
24.Генеральная и выборочная совокупности. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
25.Статистические оценки параметров распределения. Генеральная и выборочная средняя. Генеральная и выборочная дисперсия.
26.Доверительный интервал и доверительная вероят-
ность.
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
При выполнении контрольных работ требуется строгое соблюдение указанных ниже правил.
1.Контрольная работа выполняется в тетради в клетку чернилами любого цвета кроме красного. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.
2.На обложке контрольной работы должны быть написаны фамилия и инициалы студента, шифр, название дисципли-
4
ны, номер и вариант контрольной работы, адрес студента. В конце работы ставится дата ее выполнения и подпись студента
3.В работу включаются все задачи, указанные в задании,
истрого по положенному варианту.
4.Решения задач располагаются в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
5.Условия задач приводятся полностью. Решения излагаются подробно и аккуратно, объясняются все действия.
6.После получения проверенной работы исправляются все отмеченные рецензентом ошибки и выполняются все рекомендации рецензента.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3
1. Дайте |
определение двойного интеграла |
в пря- |
моугольной |
системе координат. |
|
2.Запишите формулу преобразования двойного интеграла от прямоугольных координат к полярным координатам.
3.Запишите формулу вычисления площади плоской фигуры и объема тела с помощью двойного интеграла.
4.Дайте определение тройного интеграла в прямоугольной системе координат.
5.Запишите формулу вычисления объема тела с помощью тройного интеграла.
6.Запишите формулу преобразования тройного интеграла от прямоугольных координат к цилиндрическим и сферическим координатам.
7.Дайте классическое определение вероятности. В чем состоит различие между вероятностью и относительной частотой?
8.Дайте определение суммы и произведения событий. Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.
9.Запишите формулу полной вероятности.
5
10.Приведите формулу Байеса.
11.Дайте определение последовательности независимых испытаний. Запишите формулу Бернулли.
12.Дайте определение случайной величины.
13.Дайте определение функции распределения и плотности распределения случайной величины. Сформулируйте их свойства. Приведите примеры.
14.Дайте описание дискретных и непрерывных распределений: равномерное, биномиальное, нормальное.
15.Как найти вероятность попадания случайной величины
взаданный интервал, если она распределена по нормальному или равномерному закону.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3. Кратные интегралы. Теория вероятностей и математическая статистика
Задача № 1
Изменить порядок интегрирования.
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||||||
1. |
dy |
|
|
|
f (x, y) dx dy f (x, y) dx. |
||||||||||||
|
2 |
2 y |
|
|
|
1 |
|
|
y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2 y2 |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
2. |
dy f (x, y) dx dy |
f (x, y) dx . |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
y |
|
2 |
|
|
2 y |
|||||||
3. |
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx . |
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
||||||||
4. |
dx |
|
f (x, y) dy dx f (x, y)dy. |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 x2 |
|
|
|
|
1 x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||
1 
2 y 0 
y
5. dy |
|
|
f (x, y) dx dy f (x, y)dx |
|||||||||||||||||||||||
2 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
arcsiny |
|
1 |
|
|
|
|
|
arccosy |
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. dy |
f (x,y)dx dy |
f (x,y) dx. |
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
ln y |
|
|
|
|||||||
7. dy |
|
|
f (x, y) dx dy f (x, y) dx |
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
2 x2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8. dx |
|
|
f (x, y) dy dx f (x, y) dy. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
9. dy f (x, y) dx dy f (x, y)dx |
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. |
|
dx |
|
|
f(x,y)dy |
dx |
|
f (x,y)dy |
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
4 x2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 x2 |
2 |
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
11. dx |
f (x, y) dy dx |
|
f (x, y) dy |
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
lnx |
|
|
|
||||||||||
|
4 |
|
|
sin y |
|
2 |
|
cos y |
|
|||||||||||||||||
12. |
|
dy |
f (x, y) dx dy |
f (x, y) dx. |
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
13. |
dx |
|
|
f (x, y) dy dx |
f (x, y) dy. |
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 x |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
14. |
dy |
|
f (x, y) dx dy f (x, y) dx. |
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
ln y |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 2 0
|
15. |
dy |
|
|
f(x,y) dx dy |
|
f |
(x,y)dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
16. |
dy |
f(x,y) dx dy |
|
|
f (x,y) dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
17. |
dy |
f |
(x, y)dx dy f (x, y) dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
18. |
dx |
|
|
|
|
|
f (x,y)dy dx |
|
|
|
f(x,y) dy. |
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
4 x2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 x2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
19. |
dy |
|
f (x, y) dx dy f (x, y) dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
20. |
dy |
|
|
|
|
f (x, y)dx dy |
|
f (x, y) dx . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 y |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y x3, |
|
|
|
|
y |
|
, |
x 1, |
|
z 0, |
z x y2. |
||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
2. |
y x2, |
|
|
|
|
y 5x 6, |
z 0, |
z y2. |
||||||||||||||||||||||||||
3. |
y x2, |
|
|
|
|
y x 6, |
|
|
|
x 0, |
|
|
z 0, |
z y. |
||||||||||||||||||||
4. |
y |
8 |
, |
|
|
|
|
y x 9, |
|
z 0, |
z x. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
y |
4 |
, |
|
|
|
|
y x, |
|
y 5, |
z 0, |
z x. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|