Учебное пособие 437

собов такого распределения равно A92 92. Таким образом, согласно правилу произведения, N E 10 92 810.

2.3.Контрольные вопросы и задания

1.В чем состоит правило суммы? Поясните на примере.

2.В чем состоит правило произведения? Поясните на примере.

3.Что такое сочетания? Как определяется их число?

4.Что такое размещения? Как определяется их число? В чем их отличие от сочетаний?

5.Что такое перестановки? Как определяется их число? В чем их отличие от размещений?

6.Что такое сочетания с повторением? Как определяется их число? В чем их отличие от сочетаний?

7.Что такое размещения с повторением? Как определяется их число? В чем их отличие от размещений?

2.4.Задачи для самостоятельной работы

1.Из бригады в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают 2 дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.

2.10 групп занимаются в 10 расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов их размещения, при которых группы № 1 и № 2 находились бы в соседних аудиториях? Как изменится решение задачи, если аудитории размещаются по окружности?

3.6 ящиков различных материалов доставляются на 5 этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж доставлен какой-либо один материал? В скольких вариантах на третий этаж будет доставлено не менее двух ящиков?

4.Из лаборатории, в которой работают 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер одновременно уезжать не должны?

5.Из группы рабочих в 15 человек должна быть образована бригада из 10 человек, включая бригадира. Сколькими способами это можно сделать?

6.8 токарей должны изготовить 16 деталей. Сколькими способами возможно распределение деталей между токарями, если 2 токаря изготовят по 3 детали, 4 – по 2 и 2 – по 1 детали?

7.7 яблок и 3 апельсина надо положить в 2 пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и чтобы количество фруктов в них было одинаковым. Сколькими способами это можно сделать?

8.Садовник должен в течение 3 дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?

9.5 различных станков, находящихся в двух цехах, следует распределить между 5 рабочими. Сколько существует различных вариантов распределения станков с учетов их произвольного размещения по цехам?

10.В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на 4 пирожных. Сколько возможно различных вариантов заказа пирожных?

11.Из партии , содержащей 8 изделий, среди которых 2 бракованных, наудачу извлекают 3 изделия для контроля. Определить число всех возможных выборок.

12.10 вариантов контрольной работы распределяются случайным образом среди 8 студентов. Каково общее число способов распределения? Чему равно число способов распределения, если варианты 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам?

13.На заводе работает 30000 человек. Докажите, что на данном заводе обязательно найдутся хотя бы два человека с одинаковыми ФИО.

14.Каждая из n палок случайным образом ломается на две части – длинную и короткую. Затем 2n полученных обломков наудачу объединяются в n пар. Сколько всех возможных способов объединения? Сколько существует способов объединения при условии – все длинные части объединяются с короткими?

Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, экза-

мен.

Занятие № 3

КЛАССИЧЕСКОЕ, СТАТИСТИЧЕСКОЕ, АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

3.1. Основные понятия

Всякий вероятностный эксперимент с конечным числом исходов, образующих полную группу попарно несовместных, равновозможных событий, называется классической вероятностной схемой. В классической вероятностной схеме вероятность P A события A равна отношению числа m исходов,

благоприятствующих событию A к числу n всех возможных

ная схема имеет ряд существенных недостатков. Первый из них состоит в том, что в этой схеме рассматриваются вероятностные эксперименты с конечным числом исходов. Второй

22

связан с тем, что в классической схеме рассматриваются равновозможные исходы.

Если многократно повторять серию из n опытов, то от-

ло опытов, в которых наступило событие A) будет при этом, вообще говоря, меняться. Однако экспериментально установлено, что по мере увеличения числа испытаний в каждой серии наблюдается тенденция к стабилизации относительной частоты около некоторого постоянного и неслучайного значения

P A . Это свойство называется свойством устойчивости

относительной частоты. Число P A lim wn A называ-

n

ется вероятностью события A. Такое определение называют

статистическим определением вероятности. В общем случае данное определение вероятности оказывается неприемлемым. Прежде всего, потому, что последовательность относительных частот при проведении одной серии опытов будет, вообще говоря, отличаться от такой же последовательности в другой серии опытов. Кроме того, практически имеют дело не с бесконечной последовательностью частот, а с конечным числом ее элементов, так как получить всю последовательность невозможно. К тому же неясно, что такое предел эмпирической величины.

Рассмотрим аксиоматическое определение вероятности.

Пусть – поле событий для данного эксперимента. Вероят-

1)P A 0 (аксиома неотрицательности).

2)P 1 (аксиома нормированности).

23

сиома счетной аддитивности).

Тройку , , P , где – алгебра подмножеств множе-

ства , P – числовая функция, удовлетворяющая аксиомам

1)–3), называется вероятностным пространством случайного эксперимента.

В схеме геометрических вероятностей опыту с беско-

нечным непрерывным множеством исходов ставится в соот-

ветствие некоторая область G в евклидовом пространстве n . Исход опыта интерпретируется при этом как выбор наудачу точки в этой области, а случайное событие A – как некоторая часть области G . При этом предполагается, что как для области G , так и для ее части A определено понятие евклидового объема. Вероятность события A в этой схеме определяется

формулой P A mes A , в которой mes A – мера (длина, mes G

площадь, объем, n-мерный объем) множества A, а mes G –

мера множества G . В схеме геометрических вероятностей остается принцип равновозможности исходов, который выражается в том, что вероятность попасть в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части и не зависит от ее расположения и формы.

3.2. Примеры решения задач

Пример 1. В условиях примера 2 из занятия 2 найти вероятности событий A, B и C .

Решение. Так как всевозможные исходы (способы распределения изделий по дням) равновозможны, а число исходов

24

конечно, то вероятности событий определим по формуле классической вероятности:

Пример 2. Определить вероятность события, рассмотренного в примере 3 из занятия 2.

Решение. Пусть A – рассматриваемое событие. Так как всевозможные исходы (способы распределения деталей по ящикам) равновозможны, а число исходов конечно, то вероятность события определим по формуле классической вероятно-

сти: P A N A . Число способов, благоприятствующих со-

N

n!

бытию A, найдено в примере и равно N A n1!n2! nm!. Найдем N – общее число способов распределения деталей

по ящикам. Испытание, соответствующее такому распределению, состоит в выборе одного из m ящиков для каждой из n деталей. Получается схема выбора n элементов (номеров ящиков) из множества m элементов с повторением (в один ящик может быть положено несколько деталей) и упорядочиванием (каждая деталь может попасть в любой из ящиков). Поэтому общее число способов определяется числом размещений с по-

вторением, т.е. N Amn mn . Таким образом, вероятность

n!

события равна P A n1!n2! nm!mn . 25

По формуле классической вероятности определяются также вероятности событий, рассмотренных в примерах 4-7 из занятия 2.

В примере 4 получаем

Пример 3. В банк положен вклад с предполагаемым сроком хранения 1 год. Равновозможно, что в любой момент этого промежутка времени банк обанкротится. Найти вероятность события A {вклад сохранится в течение 8 месяцев}.

26

Решение. Это задача на геометрическую вероятность. Пусть t – момент времен банкротства. Проведем ось t и отметим на ней возможные значения t от 0 до 12 месяцев (рис. 3). Вклад сохранится, если банк разорится после 8 месяцев успешной работы, поэтому благоприятствующие событию A значения t находятся от 8 до 12. Искомая вероятность равна

Пример 4. Определить вероятности событий, рассмотренных в примере 4 из занятия 1.

Решение. Данная задача относится к схеме геометрических вероятностей, поэтому вероятности событий равны отношениям соответствующих площадей. Область всевозможных значений – квадрат со стороной равной 24 (рис. 2), площадь

(рис. 2, г). Следовательно, искомые вероятности равны:

27

3.3.Контрольные вопросы и задания

1.Что называется классической вероятностной схемой?

2.Как определяется вероятность в классической вероятностной схеме?

3.Какие недостатки имеет классическая вероятностная

схема?

4.Как вводится статистическое определение вероятности? На каком свойстве оно основано?

5.В чем состоят недостатки статистического определения вероятности?

6.Дайте аксиоматическое определение вероятности.

7.Что называется вероятностным пространством случайного эксперимента в аксиоматическом подходе?

8.Что называется схемой геометрических вероятностей?

9.Как определяется геометрическая вероятность? В чем состоит недостаток этого определения?

3.4.Задачи для самостоятельной работы

1.Решите задачи №№ 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 18, 19, 21, 22, 25, 36, 42, 44 [2].

2.Расстояние от пункта A до пункта B пешеход проходит за 20 минут, а автобус – за 2 минуты. Интервал движения автобусов 30 минут. Пешеход в случайный момент времени отправляется из A в B . Какова вероятность того, что его в пути догонит автобус?

3.Найдите вероятности событий A, B, C, D, E, F из за-

дачи для самостоятельного решения № 5 к занятию №1.

4. Какой толщины должна быть монета радиуса R , чтобы вероятность падения на ребро была равна 1/3.

Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, экза-

мен.

28

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. М.: Высш. шк., 1998.

2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. М.: Высш. шк., 1998.

3.Дубровская А.П. Теория вероятностей и элементы математической статистики / А.П. Дубровская, В.И. Минаков. Воронеж: ВПИ, 1993.

4.Глушко Е.Г. Элементы теории вероятностей и математической статистики / Е.Г. Глушко, А.П. Дубровская. Воронеж: ВГТУ, 2004.

5.Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика / В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский. М.: Высш. шк., 1991.

6.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей / В.П. Чистяков. М.: Наука, 1987.

7.Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики / Е.И. Гурский. М.: Наука, 1971.

8.Захаров В.К. Теория вероятностей / В.К. Захаров, Б.А. Севостьянов, В.П. Чистяков. М.: Наука, 1983.

9.Данко Л.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / Л.Е. Данко. А.Г. Попов. Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1980. Ч. 2.

10.Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей / А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков. М.: Наука, 1989.

11.Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко. М.: Айриспресс, 2004.

12.Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты) / В.Ф. Чудесенко. М.: Высш. шк., 1999.

29

13.Лапшина М.Л. Методические указания по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальностей 230201 «Информационные системы и технологии» и 200401 «Биотехнические и медицинские аппараты и системы» очной формы обучения. Ч. 1. / М.Л. Лапшина. Е.И. Максимова. М.В. Юрьева. Воронеж: ВГТУ, 2005.

14.Лапшина М.Л. Методические указания по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальностей 230201 «Информационные системы и технологии» и 200401 «Биотехнические и медицинские аппараты и системы» очной формы обучения. Ч. 2. / М.Л. Лапшина. Е.И. Максимова. М.В. Юрьева. Воронеж: ВГТУ, 2005.

СОДЕРЖАНИЕ

Занятие № 1. Понятие случайного события. Алгебраические операции над событиями ………………….….1

Занятие № 2. Элементы комбинаторики………………….9

Занятие № 3. Классическое, статистическое, аксиоматическое определение вероятности. Геометрические вероятности…………………………………….………...………21

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

для организации самостоятельной работы по курсу «Математика» для студентов специальности 230201 «Информационные системы и технологии»

очной формы обучения, Часть 1

Составители:

Дежин Виктор Владимирович Лапшина Марина Леонидовна

В авторской редакции

Подписано в печать 23.11.2011. Уч.-изд. л. 1,7.

ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14