Учебное пособие 361
.pdf
P(С) = 1 – P( A ) ×P( B ) = 1 – 0,4 × 0,2 = 0,92.
Задача 17. Из колоды в 52 листа наугад вытягиваются три карты. Какова вероятность, что все три карты – тузы?
Р е ш е н и е. Интересующее нас событие (все три карты – тузы) является произведением трех событий: А – первая карта туз, В – вторая карта туз, С – третья карта туз. По теореме умножения
Р(АВС) = Р(А) Р(В|А) Р(С|АВ).
Р(А) = 4 (число благоприятных исходов – число тузов в
52 |
|
|
|
колоде, общее |
число элементарных исходов равно числу |
||
карт). |
|
||
Р(В|А) = |
3 |
|
(число благоприятных исходов – число тузов, |
|
|||
51 |
|
||
оставшихся после совершения события А, т.е. после того, как один туз был вынут из колоды; общее число исходов равно числу карт, оставшихся в колоде после того, как одну карту уже вынули).
Аналогично, P(C|AB) = 2 .
50
Следовательно, P(ABC) = |
4 |
|
3 |
|
2 |
= |
1 |
» 0, 00018 . |
|
|
|
5525 |
|||||
52 51 50 |
|
|
||||||
Задача 18. Студент знает только 10 из 25 экзаменационных билетов. В каком случае вероятность сдать экзамен больше: когда студент подходит тянуть билет первым или вторым по счету?
Р е ш е н и е. Обозначим события: А – вытягивает выученный билет, подходя первым; В – вытягивает выученный билет, подходя вторым.
Р(А) = |
10 |
|
= 0,4 (число благоприятных исходов равно |
|
|||
25 |
|
|
|
числу выученных билетов; число всех элементарных исходов |
|||
равно числу билетов). |
|||
Событие В |
может наступить при появлении одного из |
||
31
двух несовместных событийС1 (первый взятый билет был известен нашему студенту) и С2 (первый взятый билет был невыученный билет). По формуле полной вероятности
P(B) = P(C1) P(B|C1) + P(C2) P(B|C2).
|
|
P(B) = |
10 |
|
9 |
+ |
15 |
|
10 |
= |
240 |
= 0, 4. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
25 24 |
|
25 24 |
|
|
600 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Так как Р(А) = Р(В) = 0,4, то вероятность одинакова. |
|
|||||||||||||||||||||||||
Задача 19. Вероятность выхода станка из строя в течение |
|
|||||||||||||||||||||||||
одного рабочего дня равна a (a – малое положительное число, |
|
|||||||||||||||||||||||||
второй |
степенью |
которого |
|
|
|
можно |
|
пренебречь). Какова |
|
|||||||||||||||||
вероятность того, что за 5 дней станок ни разу не выйдет из |
|
|||||||||||||||||||||||||
строя? Решить задачу при a = 0,01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Р е ш е н и е. Так как 1 – a – вероятность того, что станок |
|
|||||||||||||||||||||||||
не выйдет из строя в течение дня, то по теореме умножения |
|
|||||||||||||||||||||||||
вероятностей |
(1 – a)5 |
– вероятность того, |
что |
станок не |
|
|||||||||||||||||||||
выйдет из строя в течение 5 дней. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Воспользовавшись |
|
|
|
|
биномиальным |
|
|
разложением |
и |
|||||||||||||||||
пренебрегая членами, содержащими a2, a3, a4 и a5, получим |
|
|||||||||||||||||||||||||
приближенное |
|
равенство (1 – a)5 » 1 – 5a, |
|
т.е. |
Р » 1 – 5a. |
|
||||||||||||||||||||
Приняв a = 0,01, получаем Р » 0,95. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задача 20. |
В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули |
|
||||||||||||||||||||||||
подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в |
|
|||||||||||||||||||||||||
урну |
перед |
|
извлечением |
следующего |
|
и |
шары в |
урн |
||||||||||||||||||
перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех |
|
|||||||||||||||||||||||||
вынутых шаров окажется два белых? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Р е |
ш е |
н и е. Вероятность |
|
извлечения белого шара |
|
|||||||||||||||||||||
р = 20/30 = 2/3 можно считать одной и той же во всех четырех |
|
|||||||||||||||||||||||||
испытаниях; q = 1 – p = 1/3. |
|
Используя |
формулу |
Бернулли, |
|
|||||||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (2) = C |
2 p2q2 |
= |
4 ×3 |
æ |
2 |
ö2 æ |
1 |
ö2 = |
8 |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
4 |
4 |
|
|
|
1× 2 |
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
27 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è 3 |
ø |
è 3 |
|
ø |
|
|
|
|||||||||||
Задача 21. Вероятность появления события А равна 0,4.
32
Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?
Р е ш е н и е. Здесь р = 0,4, q = 0,6. Имеем:
вероятность появления события А 0 раз: Р10(0) = q10; вероятность появления события А 1 раз: Р10(1) = 10рq9; вероятность появления события А 2 раза: Р10(2) = 45р2q8; вероятность появления события А 3 раза: Р10(3) = 120р3q7.
Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, составляет Р = Р10(0) + Р10(1) + Р10(2) + Р10(3), т.е.
P= q10 +10 pq9 + 45 p2q8 +120 p3q7 =
=q7 (q3 +10 pq2 + 45 p2q +120 p3 ).
Полагая р = 0,4, q = 0,6, получим
Р = 0,67(0,216 + 1,44 + 4,32 + 7,68) » 0,38.
Задача 22. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
Р е ш е н и е. Вероятность рождения мальчика равна р = 0,51. Следовательно, вероятность рождения девочки равна q = 1 – p =
= 1 – 0,51 = 0,49.
Искомая вероятность по формуле Бернулли равна
P (2) = C 2 p2q5-2 = |
5! |
|
(0,51)2 (0, 49)3 » 0,306 . |
||||
|
|
||||||
5 |
5 |
2!×3! |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
Задача |
23. В |
урне10 |
белых |
и 40 |
черных шаров. |
||
Вынимают |
подряд 14 |
шаров, |
|
причем |
цвет |
вынутого шара |
|
регистрируют, а затем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.
Р е ш е н и е . Здесь |
n = 14, |
p =10 / 50 =1/ 5, |
q =1 - p = 4 / 5. |
||||
Используя |
двойное |
неравенствоnp - q £ m0 £ np + p |
при |
||||
указанных |
значениях n, |
р |
и |
q, |
получим |
||
14 / 5 - 4 / 5 £ m0 £14 / 5 +1/ 5, т.е. 2 £ m0 £ 3.
33
Таким образом, задача имеет два решения: m0 = 2, m0 = 3. Задача 24. Вероятность попадания стрелком в цель равна
0,7. Сделано 25 |
выстрелов. Определить |
наивероятнейшее |
|
|
число попаданий в цель. |
|
|
|
|
Р е ш е н |
и е. Здесь n = 25, |
p = 0,7, |
q = 0,3. |
|
Следовательно, |
25×0, 7 - 0,3 £ m0 £ 25×0, 7 + 0, 7, |
. |
т.е |
|
17, 2 £ m0 £18, 2.
Так как m – целое число, то m0 = 18.
Задача 25. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя1 октября в данном городе равна 1/7. Определить наивероятнейшее число дождливых дней 1 октября в данном городе за 40 лет.
Р е ш е н и е. Имеем n = 40, p = 1/7, q = 6/7. Таким образом,
40 |
1 |
- |
6 |
£ m £ 40 |
1 |
+ |
1 |
, т.е. 4 |
6 |
£ m £ 5 |
6 |
, т.е. m0 = 5. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
7 |
|
7 |
0 |
7 |
7 |
|
7 |
0 |
7 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 26. В урне 100 белых и 80 черных шаров. Из урны извлекают n шаров (с возвратом каждого вынутого шара). Наивероятнейшее число появлений белого шара равно11. Найти n.
Р е ш е н и е. Из двойного неравенства np - q £ m0 £ np + p следует, что (m0 - p) / p £ n £ (m0 + q) / p.
|
Здесь |
m0 = 11, |
p =100 /180 = 5/ 9, |
q = 4 / 9; |
||
следовательно, |
|
|
||||
|
11 - 5 / 9 |
£ n £ |
11 + 4 / 9 |
, т.е. |
18,8 £ n £ 20, 6. |
|
5 / 9 |
5 / 9 |
|
||||
|
|
|
|
|||
Итак, задача имеет два решения: n = 19, n = 20.
Задача 27. Имеются четыре урны. В первой урне 1 белый
и
1 черный шар, во второй – 2 белых и 3 черных шара, в третьей
– 3 белых и 5 черных шаров, в четвертой – 4 белых и 7 черных шаров. Событие Нi – выбор i-й урны (i = 1, 2, 3, 4). Известно, что вероятность выбора i-й урны равна i / 10, т.е. Р(Н1) = 1/10,
Р(Н2) = 1/5, Р(Н3) = 3/10, Р(Н4) = 2/5. Выбирают наугад одну
34
из урн и вынимают из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Р е ш е н и е. Из условия следует, |
что Р(А / Н1) = 1 / 2 |
|||||||||||||||||||||
(условная вероятность извлечения белого |
шара из |
первой |
||||||||||||||||||||
урны); аналогично Р(А / Н2) = 2 / 5, |
|
|
|
Р(А / Н3) = 3 / 8, |
||||||||||||||||||
Р(А / Н1) = 4 / 11. |
Вероятность |
|
извлечения |
|
белого |
шара |
||||||||||||||||
находим по формуле полной вероятности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
P( A) = P(H1)P( A / H1) + P(H 2 )P( A / H 2 ) + P(H3 )P( A / H3 ) + |
|
|||||||||||||||||||||
+P(H4 )P( A / H4 ) = |
1 |
|
1 |
+ |
1 |
|
2 |
+ |
3 |
|
3 |
+ |
2 |
|
4 |
= |
1707 |
. |
|
|||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
10 2 |
5 |
|
10 8 |
|
5 |
11 |
4400 |
|
|
||||||||||||
Задача 28. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули -на угад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.
Р е ш е н и е. После того как из второй урны переложили в |
|
|||||||||||||||
первую один шар, в первой урне оказалось две совокупности |
|
|||||||||||||||
шаров: 1) 5 |
белых |
|
и 10 |
|
черных |
|
шаров, первоначально |
|
||||||||
находившихся в этой урне; 2) один шар, переложенный из |
|
|||||||||||||||
второй урны. Вероятность появления белого шара из первой |
|
|||||||||||||||
совокупности |
составляет P( A/ H1) = 5 /15 =1/ 3, |
а из второй |
|
|||||||||||||
совокупности |
P( A / H3 ) = 3/10. |
Вероятность |
того, что |
|
||||||||||||
произвольно |
вынутый |
|
|
|
|
|
шар |
принадлежит |
п |
|||||||
совокупности, |
есть |
P(H1 ) =15 /16, |
а |
второй совокупности – |
|
|||||||||||
P(H2 ) =1/16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя формулу полной вероятности, получим |
|
|||||||||||||||
P( A) = P(H1)P( A/ H1) + P(H2 )P( A / H2 ) = |
|
|||||||||||||||
|
|
= |
15 |
|
1 |
+ |
1 |
|
3 |
= |
53 |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
16 3 |
|
16 10 |
160 |
|
|
|
||||||||
Задача 29. В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, во второй – 5 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают не глядя один шар, после чего из второй урны
35
извлекают один шар. Найти вероятность, что этот шар белый. Какова вероятность, что из первой во вторую урну был переложен черный шар, если извлеченный из второй урны шар оказался белым?
Р е ш е н и е. Пусть А – событие, состоящее в том, что извлеченный шар из второй урны оказался белым, Н1 – из первой урны во вторую переложили белый шар, Н2 – черный, Н1 и Н2 – гипотезы.
P(H1 ) = 4 = 2 , P(H2 ) = 6 = 3 . |
|||
10 |
5 |
10 |
5 |
Найдем P( A / H1) и P( A / H2 ).
Если переложили белый шар, то во второй урне стало 10
шаров, из них 6 белых P( A / H ) = |
6 |
|
= |
|
3 |
, |
|
|
если черный, то |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
10 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
шаров также 10, но белых 5, тогда P( A/ H2 ) = |
|
= |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
По формуле полной вероятности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P( A) = P(H1)P( A/ H1) + P(H2 )P( A/ H2 ) = |
2 |
|
3 |
+ |
3 |
|
1 |
= |
27 |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 5 |
|
|
5 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
По формуле Байеса: |
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
P(H 2 )P( A / H 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
P(B / A) = |
|
= |
|
5 |
|
2 |
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
P( A) |
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 30. Вероятность рождения мальчика равна0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
Р е ш е н и е. По условию задачи n = 100; k = 50; p = 0,51; q = 1– p = 0,49.
Так как n = 100 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
P (k) » |
1 |
j( x) , где x = |
k - np |
. |
|
|
|||
n |
npq |
|
npq |
|
|
|
|||
36
Hайдем значение x:
x = |
k - np |
= |
50 -100 ×0,51 |
» -0, 2 . |
|
100 ×0,51×0, 49 |
|||
|
npq |
|
||
По справочным таблицам найдемj(-0, 2) = j(0,2) » 0,3910
(так как функция j(x) – четная). Искомая вероятность
P (50) » |
0,3910 |
» 0, 0782 . |
|
||
100 |
5 |
|
|
|
Задача 31. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее75 раз и не более 90 раз.
Р е ш е н и е. По условию задачи n = 100; k1 = 75; k2 = 90; p = 0,8; q =1 - p = 0, 2, q = 1 – p = 0,2.
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Pn(k1 £ k £ k2) = F(x2) – F(x1),
где F(x) – функция Лапласа, x = |
k1 - np |
, x |
2 |
= |
k2 - np |
. |
|
|
|||||
1 |
npq |
|
|
npq |
||
|
|
|
|
|||
Вычислим x1 и x2:
x |
= |
k1 - np |
= |
|
75 -100 ×0,8 |
= -1, 25 , |
|||
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
npq |
100 × 0,8 ×0, 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
x |
= |
k2 - np |
= |
90 -100 ×0,8 |
|
= 2, 25 . |
|||
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
npq |
100 ×0,8 ×0, 2 |
|
||||
|
|
|
|
||||||
Так как функция Лапласа нече, тна.е. Ф(-х) = -Ф(х) , получим
P (75 £ k £ 90) = Ф(2, 25) - Ф(-1, 25) = Ф(2, 25) + Ф(1, 25).
100
По справочным таблицам найдем:
F(2,25) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.
37
Искомая вероятность
P100(75 £ k £ 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
Задача 32. Найти наиболее вероятное число правильно
набитых |
работницей |
перфокарт |
среди19 перфокарт, если |
|
|
вероятность того, что перфокарта набита неверно, равна 0,1. |
|
||||
Р е ш е н и е. По условию задачи n = 19; p = 0,9; q = 0,1. |
|||||
Найдем |
наиболее |
вероятное |
число |
правильно |
набитых |
перфокарт из двойного неравенства
np – q £ k0 < np + p.
Подставляя данные задачи, получим
19 × 0,9 – 0,1 £ k0 < 19 × 0,9 + 0,9 или 17 £ k0 < 18.
Так как np – q = 17 – целое число, то наиболее вероятных чисел два: k0 = 17 и k0 + 1 = 18.
Задачи для самостоятельного решения
1.Определение вероятностей, элементы комбинаторики
1.1.Брошена игральная кость. Найти вероятность выпадения четного числа очков.
1.2.Участники жеребьевки тянут из урны жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу вытащенного жетона будет содержать цифру 5.
1.3.В пяти мешочках находятся 5 одинаковых кубиков. На
всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному из каждого мешочка кубиках и расположенных в одну линию можно будет прочесть слово «спорт».
1.4.На каждой из шести одинаковых карточек написаны одна из букв: А, Т, М, Р, С ,О. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной и расположенных в одну линию карточках можно будет прочесть слово «трос».
1.5.Куб, все грани которого окрашены, распилили на тысячу кубиков, которые затем тщательно перемешали. Найти
38
вероятность того, что наудачу вытащенный кубик будет иметь одну окрашенную грань, две и три.
1.6.Из полного набора28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость оказалась: а) дублем, б) не дублем.
1.7.Восемь различных книг наудачу расставляются на полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся стоящими рядом.
1.8.В библиотеке имеются 10 различных книг, причем
5 книг имеют цену 4 рубля, 3 книги – по 1 рублю каждая и две книги – по 3 рубля каждая. Найти вероятность того, что две наудачу взятые книги будут стоить вместе 5 рублей.
2.Теорема сложения вероятностей
2.1.В лотерее разыгрываются 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Число лотерейных билетов равно10000 штук. Чему равна вероятность выигрыша?
2.2.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; 8 очков и меньше – 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не меньше 9 очков.
2.3.В партии из 10 деталей – 8 штук стандартных. Найти
вероятность |
того, |
что |
среди |
двух наудачу извлеченных |
деталей хотя бы одна будет стандартной. |
||||
2.4. В |
партии |
из10 |
деталей |
оказалось 8 стандартных. |
Наудачу отобрали две. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей окажется:
а) не более одной стандартной, б) хотя бы одна стандартная, в) только одна стандартная.
3.Теорема умножения вероятностей
3.1.В урне находятся 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в извлечении наугад одного шара,
причем |
он |
не |
возвращается |
обратно . в Найтиурну |
39
вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором – черный, а при третьем – синий.
3.2.Вероятность того, что стрелок попадет в мишень, равна 0,9. Произведено 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела попали в цель.
3.3.Брошены монета и кость. Найти вероятность того, что одновременно на монете появится "орел", а на кости "6".
3.4.В студии находится три телекамеры. Вероятность включения каждой камеры равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент хотя бы одна камера будет включена.
3.5.Из ряда цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех– другая. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра:
а) только в первый раз; б) только во второй раз; в) в первый и во второй.
3.6.Вероятность того, что событие А появится хотя бы
один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события А в одном испытаний.
3.7. Вероятность поражения цели при одном выстреле первым стрелком равна 0,8, а вторым – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком (первым или вторым).
3.9.Из последовательности чисел 1, 2,…,10 наудачу одно за другим выбирают два числа. Найти вероятность того, что одно из них меньше числа 5, а другое – больше.
3.10.Осуществляется проверка изделий на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что:
а) из трех проверенных деталей только одна окажется нестандартной;
б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.
40