Учебное пособие 361

Если все значения случайной величиныХ заключены в промежутке (а, b), то последнее равенство можно записать в виде

b

ò f (x)dx =1.

a

Рассмотрим теперь функцию F (x) = P( X < x). Эта функция называется функцией распределения вероятности случайной величины X. Функция F (x) существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Если f (x) –

функция плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины Х, то

x

F (x) = ò f (x)dx.

интегральной функцией распределения вероятности.

Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятности:

1°. F (x) – неубывающая функция. 2°. F (-¥) = 0.

3°. F (+¥) =1.

Понятие функции распределения является центральным в теории вероятностей. Используя это понятие, можно дать

11

6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

то математическое ожидание М(X) определяется по формуле

n

M ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn , или M ( X ) = åxi pi .

i=1

Так как p1 + p2 + ... + pn =1, то

M ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn . p1 + p2 + ... + pn

Таким образом, М(X) является взвешенной средней арифметической случайной величины х1, х2,…, хп при весах

р1, р2,…, рп.

плотность вероятности случайной величиныХ. Тогда

математическое ожидание непрерывной случайной величины Х определяется равенством

12

+¥

M ( X ) = ò xf (x)dx

непрерывной, так и дискретной случайной величины равно абсциссе центра тяжести площади, ограниченной кривой (или полигоном) распределения и осью абсцисс. Поэтому при симметрии кривой (или полигона) распределения относительно некоторой прямой, параллельной оси ординат, математическое ожидание совпадает с абсциссой точки пересечения этой оси симметрии с осью абсцисс.

Точка оси Ох, имеющая абсциссу, равную математическому ожиданию случайной величины, часто называется центром распределения этой случайной величины.

Дисперсией случайной величины наз математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D( X ) = M [ X - M ( X )]2.

Если ввести обозначениеМ(Х) = т, то формулы для вычисления дисперсии дискретной случайной величиныХ запишутся в виде

n

D( X ) = å pi (xi - m)2 ,

i=1

¥

D( X ) = å pi (xi - m)2 (при n = ¥ ),

i=1

а для непрерывной случайной величины Х – в виде

+¥

D( X ) = ò (x - m)2 f (x)dx.

-¥

Для дисперсии случайной величины справедлива формула

13

D( X ) = M [( X - a)2 ] -[M ( X ) - a]2 ,

или

D( X ) = M [( X - a)2 ] -[m - a]2 ,

где а – произвольное число. Этой формулой часто пользуются для вычисления дисперсии случайной величины, так как вычисление по этой формуле обычно проще.

Среднее квадратичное отношение есть мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

7. Равномерное распределение

Равномерным называется распределение таких случайных величин, все значения которых лежат на некотором отрезке [а, b] и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке. Таким образом,

ì0 при x < a,

ï

f (x) = íh при a £ x £ b,

ïî0 при x > b.

8. Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона

определяется формулой Бернулли:

14

события, заключающиеся в попадании одной точки на любой наперед заданный отрезок постоянной (например, единичной) длины, равновероятны.

Если N ® ¥, п ® ¥ и a = lim n , то случайная величина

N ®¥ N

X, равная числу точек, попадающих на заданный отрезок единичной длины (которая может принимать значения 0, 1, ..., т, ...), распределяется по закону Пуассона.

б) Если п равно среднему числу вызовов абонентов, поступающих за один час на данную телефонную станцию, то число вызовов, поступающих за одну минуту, приближенно распределяется по закону Пуассона, причем а = п/60.

Математическое ожидание и дисперсия случайных величин, распределенных по биномиальному закону и закону Пуассона, определяются по следующим формулам:

для биномиального закона: М(Х) = пр; D(Х) = прq; для закона Пуассона: М(Х) = а; D(Х) = а.

15

9. Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция надежности

Аналогом закона Пуассона для непрерывных случайных величин служит показательный (экспоненциальный) закон,

функция плотности распределения которого имеет вид

· дисперсия

16

¥

D( X ) = ò x2le-lxdx -[M ( X )]2 =

Если Т – непрерывная случайная величина, выражающая продолжительность времени безотказной работы какого-либо элемента, а l – интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени), то продолжительность времениt безотказной работы этого элемента можно считать случайной

17

Кривая y = f (x) симметрична относительно прямой х = т,

максимальная ордината кривой (при х = т) равна 1/(s 2p) ,

18

Отметим следующие свойства функции Лапласа.

3°. Ф(х) – нечетная функция. Справедлива также формула

С помощью этой формулы можно находить вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, в интервал, симметричный относительно точки т.

11. Теорема Муавра–Лапласа

19

частота (или число наступлений) случайного события, можно использовать приближенную оценку с помощью интеграла вероятностей (функции Лапласа), а именно, справедливы следующие приближенные формулы:

12. Системы случайных величин

Часто результат опыта описывается не одной случайной величиной X, а несколькими случайными величинами: Х1, Х2, …, Хп. В этом случае принято говорить, что указанные случайные величины образуют систему (Х1, Х2, …, Хп).

Систему двух случайных величин (Х, Y) можно изобразить случайной точкой на плоскости.

Событие, состоящее в попадании случайной точки (X; Y) в

20