ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №10
Тема занятия: «Анализ переходных процессов в электрических цепях второго порядка сложности классическим методом»
Домашнее задание
Подготовиться к ответам на вопросы:
1.Какие электрические цепи называются цепями второго порядка сложности?
2.Приведите наиболее распространённый пример цепи второго порядка сложности.
3.Каким дифференциальным уравнением описываются свободные процессы в цепях второго порядка?
4.По какому временному закону изменяются токи и напряжения при свободных процессах в цепях первого порядка?
5.Какие виды свободных процессов имеют место в цепях второго порядка?
6.При каких условиях в цепи второго порядка наступают незатухающие колебания?
7.Какие основные характеристики незатухающих колебаний вам известны?
8.Какие существуют характеристики затухания свободных колебаний в реальных цепях второго порядка в колебательном режиме?
9.Как определить логарифмический декремент затуха-
ния?
10.При каких условиях наступает критический и апериодический процессы?
Решить задачи
10.1.Последовательный колебательный контур (рис. 10.1)
снулевыми начальными условиями подключают в момент t = 0
12
к источнику постоянной э.д.с. Е. Составить дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи после коммутации.
t=0 L
C R
e(t)
0 при |
t < 0 |
e(t) = |
при t ≥ 0 . |
E = const |
Рис. 10.1
10.2.Принимая во внимание условия задачи 10.1, определить начальные значения тока в цепи и его первой производной по времени.
10.3.В соответствии с задачей 10.1 для дифференциального уравнения цепи составить характеристическое уравнение
иопределить его корни.
10.4.Для случая вещественных различных корней найти зависимость i(t) для цепи рис. 10.1.
10.5.Для случая комплексно-сопряжённых корней найти зависимость i(t) для цепи рис. 10.1.
10.6.Определить характер свободных процессов в последовательной R L C –цепи, составленной из элементов со следующими параметрами: R = 15 Ом; L = 20 мГн; С = 500 пФ. Внутреннее сопротивление источника сигнала Ri = 5 Ом.
10.7.Определить частоту свободных колебаний ωсв и логарифмический декремент затухания последовательного контура, рассмотренного в задаче 10.6.
10.8.По графику тока свободных колебаний, возникающих в цепи рис. 10.1, предложите способ определения добротности контура.
13
Примеры решения задач
10.9. Для схемы рис. 10.2 составить дифференциальное уравнение относительно напряжения u и тока iL.
iR R |
ic |
e(t) |
iL |
C |
|
|
L |
Рис. 10.2
Решение
На основании законов Кирхгоффа запишем, что iR = iL+ iC , e = uR+u. Используя далее компонентные уравнения
iL = |
1 |
∫t udt, ic = C |
duc |
, |
запишем ток для iR в виде |
||||||||
L |
dt |
||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
t |
duc |
|
|||||
|
|
|
iR = |
|
∫udt +C |
|
|
. |
|||||
|
|
|
L |
|
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
При |
uR = R· iR по уравнению e = uR+u |
определяем, что |
|||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
t |
|
duc |
|
|||
|
|
|
e = |
|
|
∫udt + RC |
|
|
|
+u. |
|||
|
|
|
L |
|
|
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
После дифференцирования этого уравнения имеем окончательно
d 2u |
+ |
1 |
du |
+ |
1 |
u = |
1 |
|
de |
. |
|
dt 2 |
RC dt |
LC |
RC dt |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
Определим напряжения и токи через ток iL
|
di |
L |
|
|
|
du |
|
d 2i |
|
u = L |
|
; |
i |
= C |
|
= LC |
L |
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
dt |
с |
|
dt |
|
dt 2 |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
iR = iL + LC d 2i2L . dt
Выражая uR = R·iR через |
iL |
в соответствии с уравнением e = uR+u |
|||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d 2i |
1 |
|
di |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
L |
+ |
|
|
|
L |
+ |
|
i |
L |
= |
|
e(t). |
|
dt 2 |
RC |
|
dt |
LC |
|
|
LRC |
|
||||
10.10. В схеме представленной на рис. 10.3, после размыкания ключа К начинаются свободные колебания. Определить вид свободных колебаний, если R = 100 Ом, L = 6 · 10 –3 Гн,
С = 5000 пФ.
|
t=0 |
|
|
||||
|
R |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
E |
uL |
|
|
|
|
L C |
uc |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uR |
|
|
|
R |
||
|
|
|
|||||
|
Рис. 10.3 |
||||||
Решение
Согласно второму закону Кирхгоффа можно записать, что uL +uR +uC = 0.
Используя компонентные уравнения для L и С, можно записать
L dtdi + Ri + С1 ∫idt = 0.
Дифференцируя полученное выражение по времени и разделив все слагаемые на L, приходим к выражению
15
d 2i |
+ |
R di |
+ |
i |
= 0. |
||
dt 2 |
|
|
|
||||
L dt |
LC |
||||||
|
|
|
|||||
Для решения этого уравнения составим характеристическое уравнение
|
|
|
|
|
p2 + |
R |
p + |
|
1 |
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
корни которого равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
R |
|
|
R |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
p1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
, |
|||||||||||||
|
|
= − |
|
± |
|
|
|
− |
|
|
|
|
= δ± δ |
|
|
−ω0 |
|||||||||
2L |
|
|
|
LC |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где δ = |
R |
- коэффициент затухания, а ω = |
|
|
1 |
|
|
- резонансная |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
LC |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
частота цепи.
Колебательный режим в цепи будет возникать, когда корни характеристического уравнения p1 и p2 будут сопряжёнными. Это будет иметь место приδ< ω0. Запишем это неравенство
в |
виде |
|
R |
< |
1 |
|
или |
R<2ρ. Вычислим |
|||||||||
|
2L |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 10−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ρ= |
L |
= |
|
|
|
|
|
=1100 Ом. Так как R = 100 Ом, то в цепи бу- |
|||||||||
C |
5000 10−12 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
дет наблюдаться колебательный режим.
10.11. Определить логарифмический декремент затухания для цепи из задачи 10.10.
Решение
Определим логарифмический декремент затуханияθ ч е- рез логарифм отношения амплитуд тока, взятых через период колебаний, т.е.
|
|
|
|
|
|
− |
t1 |
|
|
|
|
|
t1−t1−T0 |
|
|
T0 |
|
|
|
|
|
I1m |
|
|
I0m e |
|
τ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
T0 |
|
||||
θ= ln |
|
= ln |
|
|
|
|
|
= ln e |
|
τ |
|
= ln e τ |
|
= |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t1+T0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I 2m |
|
I0m e |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|||
|
τ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где τ = |
2L |
- постоянная времени цепи. Через параметры контура |
||||||||||
|
||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
θ выражаются, если учесть, что T0 = 2π |
|
|
, т.е. |
|||||||||
LC |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
θ= |
T 0 |
= |
2π |
LC |
R |
= |
|
πR |
. |
|
|
|
|
τ |
|
2L |
ρ |
||||||
Теперь можно определить, что
θ= πR = 3,14 100 = 0,285.
ρ1100
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №11
Тема занятия: «Операторный метод анализа переходных процессов в линейных цепях»
Домашнее задание
Подготовиться к ответам на вопросы:
1.Что такое прямое и обратное преобразование Лапла-
са?
2.Как обозначается операторное изображение функции?
3.Что такое понятие «оригинал» в преобразовании Лап-
ласа?
4.Что такое оператор преобразования Лапласа?
5.Что соответствует умножению и делению изображения функции на оператор преобразования Лапласа?
6.Какие ещё основные свойства преобразования Лапласа Вам известны?
7.Напишите закон Ома для R, L, C в операторной форме для нулевых начальных условий.
8.Что такое операторные сопротивления для R, L, C?
9.Как обозначается операторная схема замещения заряженной ёмкости?
10.Как обозначается операторная схема индуктивности при не нулевых начальных условиях?
11.Запишите законы Кирхгоффа в операторной форме.
17