Учебное пособие 129

стенками сосуда приведет к ее остыванию, а любое вещество при температуре плазмы немедленно испарится. А.Д. Сахаров и И.Е. Тамм предложили удерживать плазму в заданном объеме с помощью магнитного поля. Силы, действующие в этом поле на движущиеся заряженные частицы, заставляют их двигаться по траекториям, расположенным в ограниченной части пространства.

Работы по управлению термоядерными реакциями синтеза ведутся во многих странах. Одним из основных направлений этих работ является создание установки типа Токамак (сокращение от «тороидальная камера с магнитными катушками»). Такая установка представляет собой замкнутую магнитную ловушку, имеющую форму тора. Плазма удерживается в токамаке магнитным полем очень сложной конфигурации. Разогрев плазмы осуществляется протекающим по ней током.

2. Примеры решения задач

Задача 1. При бомбардировке изотопа лития 36 Li дейтронами

12 H (mH = 3.3446.10-27 кг) образуются две α – частицы 24 He (mHe =

6.6467.10-27 кг) и выделяется энергия Е = 22,3 МэВ. Определить массу изотопа лития.

Дано: 36 Li + 12 H → 2 24 He + Е, Е = 22,3 МэВ =35,68∙10−13 Дж,

11

поэтому из выражений (1) и (2) найдем искомую массу изотопа лития:

вый номер и массовое число образовавшегося ядра, записать ядерную редакцию и определить её энергетический эффект.

Дано: 49 Be+12H →ZAX +01n .

Найти:

Решение: Из законов сохранения зарядовых и массовых чисел следует, что образовавшееся в результате

ядерной реакции ядро – изотоп бора 105 B . Поэтому ядерную реакцию запишем в виде

49 Be+12H →105 B+01n ,

Энергетический эффект ядерной реакции

(где в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых – массы ядер продуктов реакции). При расчетах вместо масс ядер используют массы нейтральных атомов, так как, согласно закону сохранения зарядовых чисел, в ядерной реакции (а

12

зарядовое число Z нейтрального атома равно числу электронов в его оболочке), получаются одинаковые результаты.

Массы нейтральных атомов в выражении (1):

m( 12 H ) = 3.3446.10-27 кг, m(104 Be ) = 1,4966.10-26 кг, m(105 B ) = 1,6627.10-26 кг; m(n) = 1.675.10-27 кг.

Вычисляя, получаем Q = 4.84 MэВ; энергетический эффект положителен; реакция экзотермическая.

Ответ: 4.84 MэВ, реакция экзотермическая.

Задача 3. Покоившееся ядро полония 20084 Po испускает α - частицу с кинетической энергией Tα = 5.77 МэВ. Определить:

1) скорость отдачи дочернего ядра; 2) какую долю кинетической энергии α - частицы составляет энергия отдачи дочернего ядра.

Дано: 20084 Po→825196Pb+24He , Tα = 5.77 МэВ.

Найти: vд , Tд /Tα .

Решение: Запишем закон сохранения импульса mα vα = mд vд.

Скорость α – частицы определим из энергии

Tα = mα2vα2 .

Тогда

13

Зная скорость дочернего ядра, можно определить его кинетическую энергию и ее долю от энергии α – частицы:

известно, что кинетические энергии протона Tp = 5.45 МэВ, ядра гелия THe = 4 МэВ и что ядро гелия вылетело под углом 90o к

направлению движения протона. Ядро-мишень 49 Be неподвижно.

Дано: 49 Be+11H →24He+36Li , Tp = 5.45 МэВ, THe = 4 МэВ,

α = 90o.

Найти: Q.

Решение. Энергия реакции Q есть разность между суммой кинетических энергий ядер-продуктов реакции и кинетической

В этом выражении неизвестна кинетическая энергия лития. Для ее определения воспользуемся законом сохранения импульса

Векторы pH и pHe , по условию задачи, взаимно перпендикулярны и, следовательно, вместе с вектором pLi образуют прямоугольный треугольник. Поэтому

14

Выразим в этом равенстве импульсы ядер через их кинетические энергии. Так как кинетические энергии ядер, по условию задачи, много меньше энергий покоя этих ядер, то можно воспользоваться классической формулой

Заменив в уравнении (3) квадраты импульсов ядер их выражениями (4), получим

mLi= mHeTHe + mHTH

откуда

T = mHeTHe + mH TH . Li mLi

Подставляя табличные значения масс и числовые значения энергии, получаем

TLi = 4,00260 4 +1,00783 5,45 =3,58 МэВ

6,00513

Из формулы (1) находим Q = 2,13 МэВ.

Ответ: Q = 2,13 МэВ

Задача 5. Решить задачу предыдущего примера, считая, что кинетические энергии и направления движения ядер неизвестны.

Решение. Применим закон сохранения релятивистской полной энергии

Релятивистская полная энергия ядра равна сумме энергии покоя и кинетической энергии:

В формуле (6) для упрощения записи масса покоя обозначена не через mo, а через m.

15

Так как ядро-мишень 9 Be неподвижно, то на основании формулы (6) уравнение (5) принимает вид

mBec2 + mHc2 + TH = mHec2 + THe + mLic2 + TLi (7)

Определим энергию реакции:

Q = TLi + THe - TН = c2(( mBe + mH) – (mHe + mLi)) (8)

При числовом подсчете массы ядер заменим массами нейтральных атомов. Легко убедиться, что такая замена не повлияет на результат вычисления. В самом деле, так как масса m ядра равна разности между массой ma нейтрального атома и массой Zme электронов, образующих электронную оболочку, то

Q = c2(( mBe +4me + mH + me) – (mHe + 2me +mLi + 3me )).

Упростив это выражение, мы получим формулу (8). Подставив числовые значения коэффициента пропорцио-

нальности с2 (МэВ/а.е.м.) и масс нейтральных атомов (а.е.м.), получим

Q = 931,5 ((9,01219+1,00783) - (4,00260+6,01513)) = 2,13 МэВ

что совпадает с результатом, полученным в предыдущей за-

даче.

Ответ: Q = 2,13 МэВ

Задача 6. Радиоактивное ядро магния 23 Mg выбросило пози-

трон и нейтрино. Определить энергию Q β+ -распада ядра.

Решение. Реакцию β+ -распада ядра магния можно записать следующим образом:

1223Mg→1123Na+10e+00ν .

Принимая, что ядро магния было неподвижным, и учитывая, что масса покоя нейтрино равна нулю, напишем уравнение энергетического баланса. На основании закона сохранения релятивистской полной энергии имеем

16

mMgc2 = mNac2 + TNa + mec2 + Te + Tv

Энергия распада

Q = TNa + Te + Tv = c2(mMg – mNa - me)

Выразим массы ядер магния и натрия через массы соответствующих нейтральных атомов:

Q = c2((mMg – 12 me) – (mNa - 11 me) - me)

Так как массы покоя электрона и позитрона одинаковы, то после упрощений получим

Q = c2(mMg – mNa - 2me).

Сделав подстановку, найдем Q = 3.05 МэВ.

Ответ: Q = 3.05 МэВ

Задача 7. Определить зарядовое число Z и массовое число A частицы, обозначенной буквой x, в символической записи ядерной реакции:

1) 147 N +24He→178 B + x ;

2) 49 Be+24He→126 C + x ;

3) 36 Li + x→13H +24He .

Найти: x.

Решение: Используя законы сохранения массового и зарядового числа, получаем

1) 147 N +24He→178 B + x ; Z = 1, A = 1, x = 11 p ;

2) 49 Be+24He→126 C + x ; Z = 0, A = 1, x = 01n ;

17

3) 36 Li + x→13H +24He ; Z = 0, A = 1, x = 01n .

Задача 8. Определите суточный расход чистого урана 23592U атомной электростанцией мощностью Р = 300 МВт, если при делении 23592U за один акт деления выделяется 200 МэВ энергии.

где NA = 6,02 • 1023 моль-1 — постоянная Авогадро, М = 235 • 10-3 кг/моль — молярная масса. Мощность

P = E1кгt m ,

откуда

Подставив в формулу (2) выражение (1), получим искомый суточный расход урана:

Подставляя числовые значения, получаем: m = 316 г.

18

Ответ: m = 316 г.

Задача 9. Определить, во сколько раз увеличится число нейтронов цепной ядерной реакции за время t = 10 c, если среднее время жизни T одного поколения составляет 80 мс, а коэффициент размножения нейтронов k = 1.002.

Дано: t = 10 c, T = 80 мс, k = 1.002.

Найти: N / No .

Решение: Пусть T — среднее время жизни одного поколения, a N — число нейтронов в данном поколении. В следующем поколении их число равно kN, т.е. прирост числа нейтронов за одно поколение dN = kN — N = N(k — 1). Прирост же числа нейтронов за единицу времени, т.е. скорость нарастания цепной реакции,

dNdt = N(kT−1) .

Интегрируя это выражение, получим

(k −1)t

N = N0e T ,

где N0 - число нейтронов в начальный момент времени, а N

— их число в момент времени t. Тогда искомое

N / N0 = e(k −1)t / T .

Подставляя числовые значения, получаем N / No =1,284.

Ответ: N / No =1,284.

Задача 10. В процессе осуществления реакции γ→−10 e++10e энергия фотона составляет 2,02 МэВ. Определить полную

19

кинетическую энергию T позитрона и электрона в момент их возникновения.

Дано: γ→−10 e++10e , = 2,02 МэВ.

Найти: T.

Решение: По закону сохранения энергии энергия фотона идет на образование электрона и позитрона и сообщение им кинетической энергии:

Eo = 2mc2 + T.

Здесь mc2 – энергия покоя каждой из частиц (масса электрона равна массе позитрона). Отсюда

T = Eo - 2mc2.

Подставляя числовые значения, получаем T = 1 МэВ.

Ответ: T = 1 МэВ.

Задача 11. При достаточно больших энергиях нейтронов (≈ 10 МэВ) на ядре урана 23892U идет ядерная реакция типа (n,2n), в

результате которой образуется искусственно-радиоактивное ядро, испытывающее β--распад. Запишите указанные процессы.

Дано: 23892U , (n,2n); β--распад.

Решение. Ядерная реакция (n,2n) на ядре 23892U запишется в

виде:

23892U +01n→23792 U +201n .

Ядро 23792U претерпевает β--распад по схеме:

23792U →23793 Np+−10e+00ν~e

20