Учебное пособие 95

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра «Высшая математика и физико-математическое моделирование»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Сборник индивидуальных заданий по разделу «Интегральное исчисление функций одной действительной переменной дисциплины «Математический анализ»

для студентов специальности 090301.65 «Компьютерная безопасность» и 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем»

очной формы обучения

Воронеж 2016

Составитель: канд. физ.-мат. наук Е.Н. Провоторова УДК 517.9

Методические указания: Сборник индивидуальных заданий по разделу «Интегральное исчисление функций одной действительной переменной» дисциплины «Математический анализ» для студентов специальностей 090301.65 «Компьютерная безопасность» 090302.65 и «Информационная безопасность телекоммуникационных систем» очной формы обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост.: Е.Н. Провоторова.

Воронеж, 2016. 56 с.

Методические указания представляют собой сборник домашних индивидуальных заданий по разделу «Интегральное исчисление функций одной действительной переменной» дисциплины «Математический анализ», изучаемому во втором семестре. Методические указания составлены в соответствии с учебными планами специальностей 090301.65 «Компьютерная безопасность» и 090302.65 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем».

Издание подготовлено в электронном виде и содержится в файле int.PDF.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. А.Н. Шелковой

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2016

1. Введение

Эффективная организация изучения дисциплины «Математический анализ» основанная на правильном сочетании аудиторных учебных занятий, продуктивной самостоятельной работе студентов и систематическом контроле, играет основополагающую роль в глубоком математическом образовании современного студента. Исходя из этих принципов, рекомендуются следующие индивидуальные задания, обеспечивающие систематическую работу студентов и ее контроль в течение семестра и, в совокупности, охватывающие почти весь материал раздела « Интегральное исчисление функций одной действительной переменной» дисциплины «Математический анализ».

Наряду с традиционными текущими заданиями, студенты в течение каждого семестра выполняют индивидуальные домашние задания. Задания содержат теоретические вопросы, теоретические упражнения, расчетную часть – типовые задачи и задачи прикладного характера.

Теоретические вопросы и теоретические упражнения являются общими для студентов, задачи – для каждого студента группы индивидуальные. Номер варианта, выполняемого студентом, соответствует его порядковому номеру в списке группы и сообщается преподавателем студенту.

Теоретические упражнения и расчетные задания выполняются в отдельной тетради и проверяются преподавателем. Завершающим этапом является защита ИДЗ . Во время защиты студент должен уметь правильно ответить на теоретические вопросы, пояснить решения теоретических упражнений и задач, решить задачи аналогичного типа.

2.Теоретические вопросы

1. Понятие первообразной функции. Теоремы о пер-

вообразных.

2.Неопределенный интеграл, его свойства.

3.Таблица неопределенных интегралов.

4.Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

5.Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.

6.Интегрирование простейших дробей. Интегрирова-

ние рациональных функций.

7 Интегрирование выражений, содержащих тригоно-

метрические функции.

8.Интегрирование иррациональных выражений.

9.Понятие определенного интеграла, его геометриче-

ский смысл.

10.Основные свойства определенного интеграла.

11.Теорема о среднем.

12.Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница.

13.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

14.Интегрирование биномиальных дифференциалов.

15.Вычисление площадей плоских фигур.

2

16. Определение и вычисление длины кривой, диффе-

ренциал длины дуги кривой.

3.Теоретические упражнения

1. Доказать, что для любой нечетной функции f x

справедливо равенство

0 a

f x dx f x dx

a 0

2. Какой из интегралов больше:

x2

4. Найти d et2 dt.

dx x

5. Найти точки экстремума функции

x

f x t 1 t 2 e t2 dt.

0

3

6. Пусть f x – непрерывная периодическая функ-

ция с периодом T. Доказать, что

a T T

12. Доказать, что для любой нечетной функции

a

4. Основные методы интегрирования

Задача 1. Найти неопределенные интегралы.

1.1.xsin2 xdx.

1.2.arctg9x 1dx.

1.3.sinxdx2 x.

1.4.6x 2 cos2xdx.

1.5.2 18x sin4xdx.

1.6.3x 2 e2xdx.

1.7.1 6x e2xdx.

1.8.ln x2 4 dx.

1.9.ln 4x2 1 dx.

5

1.102 4x sin2xdx.

1.11.arctg6x 1dx.

1.12.e 5x 4x 3 dx.

1.13.e 3x 2 9x dx.

1.14.arctg2x 1dx.

1.15.arctg3x 1dx.

1.16.arctg5x 1dx.

1.17.5x 6 cos2xdx.

1.18 cosxdx2 x.

1.19.x2 3 cos2xdx.

xcosxdx

1.20.sin3 x .

6

Задача 2. Вычислить определенные интегралы.

0x

2.1.x2 2 e2 dx.

2

0

2.2. 3x2 4 cos5xdx.

2

0

2.3. x2 4x 3 cosxdx.

1

0

2.4. x 2 2 cos3xdx.

2

0

2.5. x2 7x 12 cosxdx.

4

2.6. 2x2 4x 7 cos2xdx.

0

2.7. 9x2 9x 11 cos3xdx.

0

2.8. 8x2 16x 17 cos4xdx.

0

2

2.9. 3x2 5 cos2xdx.

0

2

2.10. 2x2 15 cos3xdx.

0

2

2.11. 3 7x2 cos2xdx.

0

2

2.12. 1 8x2 cos4xdx.

0

0

2.13. x2 2x 1 sin3xdx.

1

3

2.14. x2 3x sin2xdx.

0

2.15. x2 3x 2 sinxdx.

0

2

2.16. x2 5x 6 sin3xdx.

0

0

2.17. x2 6x 9 sin2xdx.

3

4

2.18. x2 17,5 sin2xdx.

0

2

2.19. 1 5x2 sin xdx.

0

1x

2.20.x2 e 2 dx.

1

Задача 3. Найти неопределенные интегралы.

5x3

3.1. x2 3dx.

3.2. 1 4lnx xdx.

3.3. x 5dxx2 1.

3.4. x2 lnx2 dx.

3x

3.7. tgxlncosxdx.

x 1

3.8.cos2 x 1 dx.tg

x3

3.9.dx.

x2 1 2

1cosx

3.10.(x sinx)2 dx.

7xdx

3.15.3x 5.

3.16.1 ln(x 1)dx.

x1

x2 1 dx

3.17.(x3 3x 1)5 .

3.18.4arctgx xdx.

1x2

x3

3.19.2 4dx.x

Задача 4. Вычислить определенные интегралы.

4

4.1.tgxlncosxdx.

0

8 x 1xdx.

3 x2 1

8 x 1xdx.

3 x2 1

31 x

4.16.1 x x 1 dx.

8 dx

4.17.x x2 1.3

2dx

4.19.2 x x2 1.

Задача 5. Найти неопределенные интегралы.

x3 2x2 3

5.7. x 1 x 2 x 3 dx.

3x3 2x2 1

5.8. x 2 x 2 x 1 dx.

x3

5.9. x 1 x 1 x 2 dx.

x3 3x2 12

5.10. x 4 x 3 x 2 dx.

x3 3x2 12

5.11. x 4 x 3 x dx.

5.12. x x 1 x 2 dx.

3x3 2

5.13. x3 x dx.

x3 3x2 12

5.14. x 4 x 2 x dx.

5.15. x5 x3 1dx.

Задача 6. Найти неопределенные интегралы.

Задача 7. Найти неопределенные интегралы.

2x3 3x2 3x 2

7.1. x2 x 1 x2 1 dx.